7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

第七章三角函数 课时作业兰 数课时 7.2.3同角三角函数的基本关系式 间 学作业 纠错空间 基础过关 9.(多空题)已知tana=3,则 JI CHU GUO GUAN (1)2sin a-3cos a L.a是第四象限角，tana= 2'sina= 4sin a-9cos a A (2)sin'a-3sin acos a+1= 1+44 B-号 10.化简：(1)os36-1-c0s36 c是 n是 V1-2sin 36 cos 36 (2)sin 0-cos 0 2.化简sina十cosa十sin'acos2a的结果是 tan 0-1 ( (3)tan0+,1 A号 tan cos'Osin 0. C.1 号 3.已知sina=5,则na-cos'e的值为 444444+d4444 ( A-号 &-号 方法总结 c n号 1 4.若3sina十cosa=0,则 的 0444444+444+4+ cos'a+2sin acos a 值为 AID R号 11.求证： ,1+2 sin rcos r=1十tanx 卡卡卡生十卡中中时卡卡行年计中 cos.r-sin'r 1-tan c号 D.-2 1444440444444444444a 5.若0是△ABC的一个内角，且sin0cos0=- 名则如一o0的值为 () A号 B要 c-9 D. 6.(多选题)若tana=3,则sna十2cosa= B.-10 2 c n-2 1.已知ana=m<a<）则血a 8已知女)名期。) ·9 旦数学H 必修第三册 能力提升 NENG LI TI SIIENG 13.已知关于x的方程2.x2-(3+1)x+2m=0 的两根为sin0和cos0(0∈(0，r),求： 12.已知ina十cosg=2,计算下列各式的值： sin a-cos a (1)m的值 纠错空间 cos 0 (1) 3sin a-cos a (2)-sin 0 2sin a+3cos a' (2)sin'a -2sin acos a 11 十R的值： +1. tan (3)方程的两根及此时0的值。 卡中中卡卡中十卡卡中中卡卡中 方法总结 年年中年卡年中卡年年中年年中中 +44中444444444 444444444444 10·１０．解:如图,在单位圆O 中分别作 出角５π ７ 的正弦线 M１P１ 和 ２π ７ 的 余弦线OM２、正切线AT．由 ５π ７ ＝π－２π７ 知 M１P１＝M２P２, 又π ４＜ ２π ７＜ π ２ ,易知AT＞M２P２＞OM２, ∴cos２７π＜sin ５π ７＜tan ２π ７ ,故b＜a＜c． １１．解:由 题 意 得,要 使 函 数 有 意 义,则须 sinx＞０且sinx≠１, ２cosx＋１＞０,{ 如 图 所 示,阴 影 部 分 (不 含 边 界 与 y 轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为 x|２kπ＜x＜２kπ＋π２ ,或２kπ＋π２＜x＜２kπ＋ ２π ３ ,k∈Z{ }． １２．解:(１)如图(１)所示,过点(１,－１)和原点作直线,交 单位圆于点P 和P′,则角α的终边在直线PP′上,所 以满足条件的角α的集合是 α{ α＝kπ－π４ ,k∈Z}． (２)如图(２)所示,过点 ０,－１２( ) 作x 轴的平行线, 交单位圆于点P 和P′,连接OP,OP′,则sin∠xOP ＝sin∠xOP′＝－１２ ,所以∠xOP＝１１６π ,∠xOP′＝ ７ ６π , 所以满足条件的角α的集合是 α{ ７６π＋２kπ＜α＜ １１ ６π＋２kπ ,k∈Z}． (３)如图(３)所示,过点 ３ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ 作x 轴的垂线,与单 位圆交于点P 和P′,则∠xOP＝π６ ,∠xOP′＝－π６． 所以满足条件的角α的集合是 α{ －π６＋２kπ≤α≤ π ６＋２kπ ,k∈Z}． １３．证明:如图所示,单位圆O 与x 轴正 半轴交于点A, 与角β,α的终边分别交于点P,Q,过 点P,Q 分别作OA 的垂线,垂足分 别是 M,N,则sinα＝|NQ→|,sinβ＝ |MP→|．过点 Q 作QH ⊥MP 于 H, 则|HP→|＝|MP|→|－|NQ→|＝sinβ－sinα．连接PQ, 由图可知|HP→|＜PQ︵＝AP︵－AQ︵＝β－α,即β－α＞ sinβ－sinα． ７．２．３　同角三角函数的基本关系式 １．D　[∵tanα＝sinαcosα＝－ ５ １２ ,sin２α＋cos２α＝１,∴sinα ＝±５１３．α 是第四象限角,∴sinα＝－５１３． ] ２．C　[sin２α＋cos４α＋sin２αcos２α ＝sin２α＋cos２α(cos２α＋sin２α) ＝sin２α＋cos２α＝１．] ３．B　[sin４α－cos４α＝(sin２α＋cos２α)􀅰(sin２α－cos２α) ＝sin２α－cos２α＝２sin２α－１＝２×１５－１＝－ ３ ５． ] ４．A　[由３sinα＋cosα＝０,得tanα＝－１３． １ cos２α＋２sinαcosα ＝ sin ２α＋cos２α cos２α＋２sinαcosα ＝tan ２α＋１ １＋２tanα ＝ －１３( ) ２ ＋１ １－２×１３ ＝１０３． ] ５．D　[由题意知θ∈(０,π)． 因为sinθcosθ＝－１８ ,所以sinθ－cosθ＞０, 即sinθ－cosθ＝ (sinθ－cosθ)２＝ １－２sinθcosθ ＝ ５２． 故选 D．] ６．AB　[(sinα＋２cosα)２＝sin２α＋４sinαcosα＋４cos２α ＝sin ２α＋４sinαcosα＋４cos２α sin２α＋cos２α ＝tan ２α＋４tanα＋４ tan２α＋１ ＝３ ２＋４×３＋４ ３２＋１ ＝５２． 又tanα＝３＞０,所以sinα,cosα同号,故sinα＋２cosα ＝ １０２ 或－ １０２ ． ] ７．解析:因为tanα＝m,所以sin ２α cos２α ＝m２． 又因为sin２α＋cos２α＝１, 所以cos２α＝ １ m２＋１ ,sin２α＝ m ２ m２＋１ ． 又因为π＜α＜３π２ , 所以sinα＜０,tanα＞０,即m＞０． 因而sinα＝－ m m２＋１ ． 答案:－ m m２＋１ ８．解析:cosα－π４( )＝± １－sin ２ α－π４( ) ＝± １－ １３( ) ２ ＝±２ ２３ ． 答案:±２ ２３ ９．解析:(１)２sinα－３cosα４sinα－９cosα＝ ２tanα－３ ４tanα－９＝ ２×３－３ ４×３－９＝１ ; (２)sin２α－３sinαcosα＋１ ＝sin ２α－３sinαcosα＋sin２α＋cos２α sin２α＋cos２α ＝２sin ２α－３sinαcosα＋cos２α sin２α＋cos２α ＝２tan ２α－３tanα＋１ tan２α＋１ ＝２×３ ２－３×３＋１ ３２＋１ ＝１． 答案:(１)１　(２)１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 必修第三册 １０．解析:(１)原式＝ cos３６°－ sin ２３６° sin２３６°＋cos２３６°－２sin３６°cos３６° ＝ cos３６°－sin３６° (cos３６°－sin３６°)２ ＝ cos３６°－sin３６°|cos３６°－sin３６°| ＝cos３６°－sin３６°cos３６°－sin３６°＝１． (２)原式＝sinθ－cosθsinθ cosθ－１ ＝cosθ (sinθ－cosθ) sinθ－cosθ ＝cosθ． (３)原式＝ sinθcosθ＋ cosθ sinθ( )cos ２θsinθ ＝sin ２θ＋cos２θ sinθ􀅰cosθ 􀅰cos２θsinθ＝cosθsinθ 􀅰sinθ＝cosθ． １１．证明:左边＝１＋２sinxcosx cos２x－sin２x ＝sin ２x＋cos２x＋２sinxcosx cos２x－sin２x ＝ (cosx＋sinx)２ (cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝ cosx＋sinx cosx－sinx ＝ cosx cosx＋ sinx cosx cosx cosx－ sinx cosx ＝１＋tanx１－tanx＝ 右边． ∴１＋２sinxcosx cos２x－sin２x ＝１＋tanx１－tanx． １２．解析:由sinα＋cosαsinα－cosα＝２ ,化简得sinα＝３cosα,所 以tanα＝３． (１)原式＝３tanα－１２tanα＋３＝ ３×３－１ ２×３＋３＝ ８ ９． (２)原式＝sin ２α－２sinαcosα sin２α＋cos２α ＋１ ＝tan ２α－２tanα tan２α＋１ ＋１＝３ ２－２×３ ３２＋１ ＋１＝１３１０． １３．解析:(１)由一元二次方程根与系数的关系可知, sinθ＋cosθ＝ ３＋１２ ,①sinθcosθ＝m．② 将①式平方,得１＋２sinθcosθ＝２＋ ３２ ,所以sinθcosθ＝ ３ ４ ,代入②得m＝ ３４． (２) sinθ １－ １tanθ ＋ cosθ１－tanθ＝ sin２θ sinθ－cosθ＋ cos２θ cosθ－sinθ ＝sin ２θ－cos２θ sinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝ ３＋１ ２ ． (３)由(１)得m＝ ３４ ,所以原方程化为２x２－(３＋１)x ＋ ３２＝０ ,解得x１＝ ３ ２ ,x２＝ １ ２． 所以 sinθ＝ ３２ , cosθ＝１２ ì î í ï ï ïï 或 sinθ＝１２ , cosθ＝ ３２． ì î í ï ï ïï 又因为θ∈(０,π),所以θ＝π３ 或π ６． ７．２．４　诱导公式 第１课时　诱导公式(一) １．C　[由角α和β的终边关于x 轴对称,可知β＝－α＋ ２kπ(k∈Z),故cosα＝cosβ．] ２．C　[原式＝sin(３６０°－４５°)＋sin(－３６０°－１２０°)＋ cos(－３６０°＋３０°)＝－sin４５°－sin６０°＋cos３０°＝－ ２ ２－ ３ ２＋ ３ ２＝－ ２ ２． 故选C．] ３．D　[sin２０２０π３ ＝sin ６７２π＋ ４π ３( ) ＝sin ４π ３＝－ ３ ２． 故 选D．] ４．D　[原式＝(－sinα)２－(－cosα)􀅰cosα＋１＝sin２α ＋cos２α＋１＝２．] ５．B　[由题知,sinα＝１２ ,所以sin(４π－α)＝－sinα＝ －１２． ] ６．CD　[由cos(π＋α)＝－１２ ,得cosα＝１２ ,故sin(２π＋ α)＝sinα＝± １－cos２α＝± ３２． ] ７．解析:２＋２sin(２π－θ)－cos２(π＋θ)＝ ２＋２sin(－θ)－cos２θ＝ １－２sinθ＋sin２θ＝|１－sinθ| ＝１－sinθ． 答案:１－sinθ ８．解析:∵cos(－８０°)＝k,∴cos８０°＝k,∴sin８０°＝ １－k２,∴tan８０°＝ １－k ２ k ,∴tan１００°＝－tan８０°＝ － １－k ２ k ． 答案:－ １－k ２ k ９．解析:∵cos(π－α)＝－cosα＝ ３２ , ∴cosα＝－ ３２ , ∵π２＜α＜π ,∴sinα＝１２ ,tanα＝－ ３３． ∴sin(π＋α)＝－sinα＝－１２ , tan(π＋α)＝tanα＝－ ３３． 答案:－１２　－ ３ ３ １０．证明:左边＝－tanαsin (－α)cos(－α) cos(π－α)sin(π－α) ＝ －tanα(－sinα)cosα －cosαsinα ＝－tanα＝ 右边,∴原式得证． １１．解析:(１)sin －１０π３( )＝－sin １０π ３ ＝－sin ２π＋４π３( )＝－sin ４π ３ ＝－sin π＋π３( )＝sin π ３＝＝ ３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 参考答案