7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版2019）

７．解析:４π９＝ ４π ９× １８０ π( )°＝８０°． 答案:８０° ８．解析:时 钟 共 走 了 ３ 小 时 ５０ 分 钟,分 钟 旋 转 了 － ３×２π＋５６ 􀅰２π( )＝－２３π３ ． 答案:－２３π３ ９．解析:设这两个角为α,β弧度,不妨设α＞β, 则 α＋β＝１, α－β＝ π １８０ ,解得α＝１２＋ π ３６０ ,β＝ １ ２－ π ３６０． { 答案:１ ２＋ π ３６０ ;１ ２－ π ３６０ １０．解析:(１)因为０≤４π３＜２π ,所以１６π ３ ＝４π＋ ４π ３． (２)－３１５°＝－３１５× π１８０＝－ ７π ４＝－２π＋ π ４． 因为０≤π４＜２π ,所以－３１５°＝－２π＋π４． １１．解:(１)因为圆O 的半径为１０,弦AB 的长为１０, 所以△AOB 为等边三角形,所以α＝∠AOB＝π３． (２)α＝π３ ,所以l＝αr＝１０π３ , S扇形＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ ． 又因为S△AOB＝ １ ２×１０×１０× ３ ２＝２５ ３ , 所以S＝S扇形－S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ １２．解:(１)１６９０°＝４×３６０°＋２５０°＝４×２π＋２５１８π． (２)∵θ与α终边相同,∴θ＝２kπ＋２５１８π (k∈Z)． 又θ∈(－４π,４π),∴－４π＜２kπ＋２５１８π＜４π． 解得－９７３６＜k＜ ４７ ３６ (k∈Z),∴k＝－２,－１,０,１． ∴θ的值是－４７１８π ,－１１１８π ,２５ １８π ,６１ １８π． １３．解:(１)设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,圆心角为 θ,则l＋２r＝２０,∴l＝２０－２r． 又∵１２lr＝９ ,即１ ２ (２０－２r)r＝９,∴r２－１０r＋９＝０, 即(r－１)(r－９)＝０,∴r１＝１,r２＝９． 当r＝１时,l＝１８,则θ＝lr ＝１８＞２π (舍去),当r＝９ 时,l＝２,则θ＝lr ＝ ２ ９ ,即 扇 形 圆 心 角 的 弧 度 数 为２ ９． (２)设扇形的半径为rcm,则弧长为l＝(２０－２r)cm． 由０＜l＜２πr,得０＜２０－２r＜２πr,∴ １０π＋１＜r＜１０． 于是扇形的面积为S＝１２ (２０－２r)r＝－(r－５)２＋ ２５ １０π＋１＜r＜１０( )． 当r＝５时,l＝１０,α＝２,S 取到最大值,此时最大值 为２５cm２． 故当扇形的圆心角α等于２弧度时,这个扇形的面积 最大,最大面积是２５cm２． ７．２　任意角的三角函数 ７．２．１　三角函数的定义 １．D　[直接利用任意角的三角函数的定义求解．因为角 α的终边经过点(－４,３),所以x＝－４,y＝３,r＝５,所 以cosα＝xr ＝－ ４ ５． ] ２．C　[由 题 意 得 P(１,－ ３),它 与 原 点 的 距 离r＝ １２＋(－ ３)２＝２,∴sinα＝－ ３２． ] ３．B　[∵角α的终边经过点P(－４,３),∴r＝|OP|＝５． ∴sinα＝３５ ,cosα＝－４５ ,tanα＝－３４．∴２sinα＋tanα＝ ２×３５＋ － ３ ４( )＝ ９ ２０． 故选B．] ４．C　[∵α为第二象限角,∴sinα＞０,cosα＜０． ∴|sinα|sinα － cosα |cosα|＝ sinα sinα－ cosα －cosα＝２． ] ５．A　[要使原式有意义,必须cosαtanα＞０,即需cosα, tanα同号,所以α是第一或第二象限角．] ６．CD　[在α 的 终 边 上 任 取 一 点P(－１,２),则r＝ １＋４＝ ５,所以sinα＝yr ＝ ２ ５ ＝２ ５５ ． 或者取P′(１, －２),则r＝ １＋４＝ ５,所以sinα＝yr ＝－ ２ ５ ＝ －２ ５５ ． ] ７．解析:∵点P ３５ ,－４５( ) 在角α的终边上,∴sinα＝ －４５ ,tanα＝－４３ ,∴sinα􀅰tanα＝１６１５． 答案:１６ １５ ８．解析:由余弦函数的定义知, ２a＋１ (２a＋１)２＋(a－２)２ ＝ －３５． 化简并整理,得１１a２＋２０a－４＝０．解得a＝－２ 或a＝２１１ ,又因为２a＋１＜０,所以a＝－２． 答案:－２ ９．解析:∵tanx＞０,∴x是第一或第三象限角． 又∵sinx＋cosx＞０,∴x是第一象限角． 答案:一 １０．解析:由x＝４,y＝－３,得 r＝|OP|＝ ４２＋(－３)２＝５． 故sinα＝－３５ ＝－ ３ ５ ,cosα＝４５ ,tanα＝－３４ ＝－ ３ ４． １１．解析:(１)因 为 ３４０°是 第 四 象 限 角,２６５°是 第 三 象 限角, 所以sin３４０°＜０,cos２６５°＜０, 所以sin３４０°􀅰cos２６５°＞０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 必修第三册 (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４是第三象限角, 因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角． 所以sin４＜０,tan －２３π４( )＞０, 所以sin４􀅰tan －２３π４( )＜０． １２．解:由题意知,cosα≠０． 设角α的终边上任一点为P(k,－３k)(k≠０),则x＝ k,y＝－３k,r＝ k２＋(－３k)２＝ １０|k|． (１)当k＞０时,r＝ １０k,α是第四象限角, sinα＝yr ＝ －３k １０k ＝－３ １０１０ , １ cosα＝ r x ＝ １０x k ＝ １０ , ∴１０sinα＋ ３cosα＝１０× － ３ １０ １０ æ è ç ö ø ÷＋３ １０ ＝－３ １０＋３ １０＝０． (２)当k＜０时,r＝－ １０k,α为第二象限角, sinα＝yr ＝ －３k － １０k ＝３ １０１０ , １ cosα＝ r x ＝－ １０k k ＝－ １０ , ∴１０sinα＋ ３cosα＝１０× ３ １０ １０ ＋３× (－ １０) ＝３ １０－３ １０＝０． 综上所述,１０sinα＋ ３cosα＝０． １３．解析:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意,可知sinα ＝－ ２２ ,即y１＝－ ２ ２． 因为点 M 在圆x２＋y２＝１上, 所以x２１＋y２１＝１, 即x２１＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１, 解得x１＝ ２ ２ 或－ ２２． 所以cosα＝ ２２ 或cosα＝－ ２２ , 所以tanα＝－１或tanα＝１． ７．２．２　单位圆与三角函数线 １．D　[终边在y轴上的角的正切线不存在,故 A、C不 正确;对任意角都能作出正弦线、余弦线,故 B 不正 确;D显然正确．] ２．AC ３．B　[当α＝６０°时, 因为０°＜α＜９０°时,sinα＜α＜tanα, 所以tan６０°＞sin６０°． 又因为α＞４５°时,sinα＞cosα,所以sin６０°＞cos６０°, 所以OM＜MP＜AT．所以应选B．] ４．A　[如图所示,在x 轴正半轴上取 OM＝１２ ,过点 M 作x 轴的垂线交 单位圆于A,B 两点,由图可知满足 cosx≥１２ 的角x的范围如图所示中 阴影部分所示．因为x∈[０,２π],所以x的取值范围是 ０,π３[ ]∪ ５π ３ ,２π[ ]．] ５．D　[分析１弧度角的范围,作出单 位圆及三角函数线,如图所示,设１ 弧度角 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P (x,y),x轴正半轴与单位圆交于点 A(１,０),过P 作PM⊥Ox,垂足为 M,过A 作单位圆的切线与OP 的 延长线交于点T,则有OM＜MP＜AT,即cos１＜sin １＜tan１．] ６．AD　[可以从三角函数线看,α,β的 正 弦 线 分 别 为 M１P１,M２P２,它 们 是 相 等 的;α,β 的 余 弦 线 分 别 为 OM１,OM２,它们是相反的．] ７．解析:如图所示,在单位圆中,作出－３π４＜α＜－ π ２ 内 的一个角及其余弦线、正弦线、正切线OM→,MP→,AT→． 由图知,|OM|→＜|MP|→＜|AT|→, ∴－|MP|→＜－|OM|→＜|AT|→,即sinα＜cosα＜tanα． 答案:sinα＜cosα＜tanα ８．解析:不等式的解集如图所示(阴影部分), ∴ α|kπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ }． 答案:α|kπ－π６＜α＜kπ＋ π ２ ,k∈Z{ } ９．解析:作 出２π３ 和４π ５ 的 三 角 函 数 线,如 图 所 示．根 据 三 角 函 数 线得: sin２π３＝MP＞sin ３π ４＝M′P′ ; cos２π３＝OM＞cos ３π ４＝OM′ ; tan２π３＝AT＜tan ３π ４＝AT′． 答案:(１)＞　(２)＞　(３)＜ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 参考答案 第七章三角函数 课时作业与 数课时 7.2任意角的三角函数 空 间 学作业 7.2.1三角函数的定义 纠错空间 基础过关 9.已知tnx>0,且sinx十co5x>0,那么角x JI CHU GUO GUAN 是第 象限角. 1.已知角a的终边经过点（一4,3），则cosa= 10.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负 半轴重合，角a的终边经过点P(4,一3) A号 B号 求sina,cosa,tana. c. D.-者 2.如果角a的终边过点P(2sin30,一2c0s30),则 sina的值等于 ( A名 &-号 c. D. 3.已知角a的终边过点P(一4,3)，则2sina+ tana的值是 A易 B易 方法总结 c-号 D号 +当a为第二象限角时，sin al sin a cosa-的值 cos a 是 ( ) 11.判断下列各式的符号： A.1 B.0 (1)sin340°·cos265 C.2 D.-2 (2)sin4·tan 5.使得lg(cos atan a)有意义的角a是( A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 6.(多选题)若角a的终边在直线y=一2x上，则 sinx等于 () 9 B号 C26 5 D.-2 5 7.若角a的终边经过点P -)则netn a的值是 8.已知角a的终边经过点(2a十1，a-2),且cos a=一号，则实数a ·5 止数学日 必修第三册 0记 能力提升 13.已知点M是圆x十y2=1上的点，以射线 NENG LI TI SHENG 空 间 12.已知角a的终边在直线y=-3x上，求10sin OM为终边的角a的正弦值为一号求cs。 纠错空间 a十3的值 cos a 和tana的值. 方法总结 ·6·