专题02 万有引力定律（期中复习课件）高一物理下学期教科版

GREEN BUSINESS 专题02 万有引力定律 物理 高一期中考点大串讲·教科版 01 知识导图·思维引航 知识导图·思维引航 02 核心精讲·题型突破 精准划分题型以把握命题规律，深入掌握考试动态与趋势 4 考点突破·考法探究 考题研析 考点1 开普勒行星运动定律的理解及应用 5 考点突破·考法探究 考题研析 2．开普勒行星运动定律是总结行星运动的观测结果而得到的规律．它们中的每一条都是经验定律，都是从观测行星运动所取得的资料中总结出来的． 3．开普勒三定律是对行星绕太阳运动的总结，实践表明开普勒三定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动． 6 考点突破·考法探究 考题研析 2.对速度大小的认识． （1）如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律． 7 考点突破·考法探究 考题研析 （2）近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小． 行星运动的速度与它到太阳距离的关系 ①相同时间内面积：SAB＝SCD＝SEK. ②A到B速度变小，C到D速度变大，E到K速度先变大，后变小． 8 考点突破·考法探究 考题研析 3.对周期长短的认识． （1）行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短． （2）该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．例如，绕某一行星运动的不同卫星． 9 考点一  力 弹力 重力概念辨析 考点突破·考法探究 考题研析 例1.（多选）如图所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是 （　　） A．速度最大点是A点 B．速度最小点是C点 C．m从A到B做减速运动 D．m从B到A做减速运动 答案BD 10 考点突破·考法探究 考题研析 答案C 11 考点突破·考法探究 考题研析 变式1.(多选)(2024年广州培英中学期中)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是 (　　) A．若图中两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积大于左侧面积 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点速率小于远日点运行的速率 【答案】BC 12 考点突破·考法探究 考题研析 变式2．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍．另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　) A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 答案C 13 考点突破·考法探究 考题研析 考点2 万有引力的建立和理解 1．万有引力定律的建立 14 考点突破·考法探究 考题研析 2．对万有引力定律的理解 (1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力． (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力． (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用． 15 考点突破·考法探究 考题研析 (4)适用条件 ①两个质点间的相互作用． ②一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离． ③两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离． 16 考点突破·考法探究 考题研析 A．公式中G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 C．m1和m2所受引力大小总是相等的 D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 答案AC 17 考点突破·考法探究 考题研析 答案B 18 考点突破·考法探究 考题研析 考点3 万有引力和重力的关系 19 考点突破·考法探究 考题研析 20 考点突破·考法探究 考题研析 21 考点突破·考法探究 考题研析 22 考点突破·考法探究 考题研析 23 考点突破·考法探究 考题研析 (1)航天员在火星表面上受到的重力是多少？ (2)若航天员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？ 24 考点突破·考法探究 考题研析 25 考点突破·考法探究 考题研析 变式4　如果物体在地球表面处的重力为G，则该物体在离地面高度等于地球半径处的重力为 (　　) 答案 C 26 考点突破·考法探究 考题研析 考点4 天体质量和密度的计算 天体质量的计算方法 分类 “自力更生法” “借助外援法” 情境 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 27 考点突破·考法探究 考题研析 28 考点突破·考法探究 考题研析 29 考点突破·考法探究 考题研析 30 考点突破·考法探究 考题研析 31 考点突破·考法探究 考题研析 答案AD 32 考点突破·考法探究 考题研析 33 考点突破·考法探究 考题研析 34 考点突破·考法探究 考题研析 35 考点突破·考法探究 考题研析 答案CD 36 考点突破·考法探究 考题研析 变式6.(多选)(2024年湖北七校联考)航天器登陆某星球(可视为质量分布均匀的球体)的过程中，测得航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为T，着陆后用测力计测得质量为m的砝码重力为F，已知引力常量为G.忽略星球自转影响，以下说法正确的是(　　) 答案BD 37 考点突破·考法探究 考题研析 38 考点突破·考法探究 考题研析 39 考点突破·考法探究 考题研析 40 考点突破·考法探究 考题研析 41 考点突破·考法探究 考题研析 例7.(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　) A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同且大于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 答案 ABD 42 考点突破·考法探究 考题研析 43 考点突破·考法探究 考题研析 答案B 44 考点突破·考法探究 考题研析 45 考点突破·考法探究 考题研析 46 考点突破·考法探究 考题研析 47 考点突破·考法探究 考题研析 48 考点突破·考法探究 考题研析 49 考点突破·考法探究 考题研析 50 考点突破·考法探究 考题研析 例8.(多选)(2024年佛山期中)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是(　　) A．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点 B．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动 C．以7.9 km/s<v<11.2 km/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动 D．以11.2 km/s<v<16.7 km/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动 答案AC 51 考点突破·考法探究 考题研析 A．0.4 km/s　 B．1.8 km/s C．11 km/s　 D．36 km/s 答案 B 52 考点突破·考法探究 考题研析 答案 A 53 考点突破·考法探究 考题研析 变式10.若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这颗行星的第一宇宙速度约为 (　　) A．2 km/s　 B．4 km/s C．16 km/s　 D．32 km/s 答案C 54 考点突破·考法探究 考题研析 考点8 人造卫星的运行规律 1．万有引力与匀速圆周运动规律结合 设卫星的轨道半径为r，线速度大小为v，角速度大小为ω，周期为T，向心加速度大小为a. 55 考点突破·考法探究 考题研析 2．人造地球卫星 (1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图所示． (2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心． 56 考点突破·考法探究 考题研析 3．近地卫星、同步卫星和极地卫星 (2)同步卫星：位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球自转的角速度相同，周期为24 h，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星． (3)极地卫星：轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星，运行时能到达南北极上空． 57 考点突破·考法探究 考题研析 58 考点突破·考法探究 考题研析 答案BD 59 考点突破·考法探究 考题研析 变式11.(多选)(2024年常德汉寿一中段考)如图所示，地球半径为R，甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动，甲离地面的高度为R，乙离地面的高度为2R，下列说法正确的是 (　　) 【答案】AC 60 考点突破·考法探究 考题研析 考点9 相对论时空观 例12.(2024年肇庆广信中学质检)下列说法中正确的是(　　) A．在高速运动的火车车厢中央，光源同时向车厢前后两壁发出了一个闪光，地面上的人看到闪光同时到车厢的前后壁 B．在任何惯性参考系中，物体的运动速度都不能超过光速 C．一条沿自身长度方向高速运动的杆，其长度总比杆静止时的长度大 D．同样的两个事件，在不同的参考系中观测，时间间隔都相同 答案B 61 考点突破·考法探究 考题研析 变式12.如图所示，一同学在教室上课，教室的长度为9 m，教室中间位置有一光源．有一飞行器从前向后高速通过教室外侧，已知光速为c、飞行器中的飞行员认为(　　) A．教室中的时钟变快 B．教室的长度大于9 m C．从光源发出的光先到达教室后壁 D．光源发出的光，向后的速度小于c 答案C 62 考点突破·考法探究 考题研析 考点9 经典力学(牛顿力学)的适用范围 1．经典力学只适用于处理物体的低速运动(v≪c). 2．经典力学不适用于微观领域中能量不连续的运动． 3．经典力学规律只在惯性参考系中成立——经典力学规律只能用于宏观、低速(与光速相比)的情形，且只在惯性参考系中成立． 63 考点突破·考法探究 考题研析 例13.(多选)(2023年韶关名校质检)如图甲所示，质子束被加速到接近光速；如图乙所示，中子星是质量、密度非常大的星体．下列说法正确的是(　　) A．牛顿力学适用于质子束的运动规律 B．牛顿力学不适用于质子束的运动规律 C．牛顿力学适用于中子星的引力规律 D．牛顿力学不适用于中子星的引力规律 答案 BD 64 考点突破·考法探究 考题研析 变式13.以下说法正确的是(　　) A．经典力学理论普遍适用，大到天体，小到微观粒子 B．相对论与量子力学否定了经典力学理论 C．在经典力学中，物体的质量随运动状态而改变 D．经典力学理论具有一定的局限性 答案 D 65 考点突破·考法探究 考题研析 66 考点突破·考法探究 考题研析 67 考点突破·考法探究 考题研析 68 考点突破·考法探究 考题研析 69 考点突破·考法探究 考题研析 例14.(2023年北京延庆一模)2023年5月30日，搭载“神舟十六号”飞船的“长征二号F遥十六”运载火箭成功发射．“神舟十六号”与中国空间站对接的示意图如图所示，空间站处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；“神舟十六号”飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与空间站对接.则下列说法正确的是(　　) 70 考点突破·考法探究 考题研析 答案 B 71 考点突破·考法探究 考题研析 变式14.(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　) A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C．在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的 速度 D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 答案CD 72 考点突破·考法探究 考题研析 73 考点突破·考法探究 考题研析 74 考点突破·考法探究 考题研析 75 考点突破·考法探究 考题研析 76 考点突破·考法探究 考题研析 例15.(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO>OB，则(　　) A．恒星A的质量一定大于恒星B的质量 B．恒星A的线速度一定大于恒星B的线速度 C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 答案BD 77 考点突破·考法探究 考题研析 变式15.引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测.1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动．由于双星间的距离减小，则 (　　) A．两星运动的周期均逐渐减小 B．两星运动的角速度均逐渐减小 C．两星的向心加速度均逐渐减小 D．两星运动的线速度均逐渐减小 【答案】A 78 考点突破·考法探究 命题预测 1．(2024年广州科学城中学期中)开普勒定律指出，行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．太阳与这些椭圆的关系是 (　　) A．太阳处在所有椭圆的中心上 B．在相等时间内，太阳与每一颗行星的连线扫过相等的面积 C．所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，且该比值与太阳无关 D．所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，且该比值与行星无关 答案D 79 考点突破·考法探究 命题预测 2．(2024年云南保山期中)下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　) A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力 答案C 80 考点突破·考法探究 命题预测 3．(2024年保定期中)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R.则飞船所在处的重力加速度大小为(　　) 答案C 81 考点突破·考法探究 命题预测 答案C 82 考点突破·考法探究 命题预测 5.金星是太阳系的八大行星中从太阳向外的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣．如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则(　　) 答案C 83 考点突破·考法探究 命题预测 6.(多选)物理学家卡文迪什测出了引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，可以计算出(　　) 答案AB 84 考点突破·考法探究 命题预测 7．2023年5月，“神舟十五号”航天员乘组带来太空授课第二节课．为大家介绍高端运动—微重力抗阻装置．空间站绕地球转一圈的时间约90分钟，保证太空授课信号通畅的功臣是中继卫星，中继卫星在地球同步静止轨道运行，空间站、中继卫星绕地球的运动均可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．空间站的角速度小于中继卫星的角速度 B．空间站的加速度大于中继卫星的加速度 C．空间站的线速度小于中继卫星的线速度 D．中继卫星的线速度等于第一宇宙速度 答案B 85 考点二  运动和力 考点突破·考法探究 命题预测 8.（2024江苏南通月考）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在位置的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（　　） 答案 D 86 考点突破·考法探究 命题预测 87 考点突破·考法探究 命题预测 88 考点突破·考法探究 命题预测 10．(2024年中山一中月考)如图所示，卫星定位导航系统使人们可以更顺利地到达目的地．我国“北斗三号”导航系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星(　　) A．发射速度一定大于11.2 km/s B．线速度一定小于7.9 km/s C．轨道可能是椭圆 D．可以经过苏州正上空 答案B 89 考点突破·考法探究 命题预测 11.2023年5月17日，第五十六颗“北斗”导航卫星在西昌成功发射．“北斗”卫星导航定位系统由地球同步卫星、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．下列说法正确的是 (　　) A．地球同步卫星的运行速度大于7.9 km/s B．地球同步卫星的线速度比静止在赤道上物体的小 C．中轨道卫星的周期大于24 h D．中轨道卫星的向心加速度比地球同步卫星的大 答案D 90 考点突破·考法探究 命题预测 12．(2024年哈尔滨期末)据2023年6月30日消息，包括我国科学家在内的团队找到了宇宙背景引力波的新证据．物理学史上许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程，关于相对论时空观与牛顿力学的局限性，下列说法正确的是(　　) A．经典力学能够说明微观粒子的规律性，仍能适用于宏观物体的高速运动问题 B．相对论与量子力学的出现否定了经典力学，表示经典力学已失去意义 C．经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础 D．经典力学在现代广泛应用，它的正确性无可怀疑，仍是普遍适用的 答案 C 91 考点突破·考法探究 命题预测 答案BCD 92 考点突破·考法探究 命题预测 14.（多选）我国某科研团队在距离地球约300光年到1万光年的地方，发现了罕见的“雾绕双星”，其电脑模拟图如图甲所示．假设某“双星”系统示意图如图乙所示，两恒星A、B以连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动，两恒星A、B间的距离保持不变．已知恒星A、B的质量分别为m1、m2，恒星A、B到O点的距离分别为r1、r2，两恒星均可看成质点，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） 93 考点突破·考法探究 命题预测 答案AC 94 GREEN BUSINESS 汇报：xxx 谢谢 聆听 1．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转，在不同的情况下(不论是太阳在焦点上还是地球在焦点上)，比例式＝k中的k值是不同的．这里的k值仅与该系统的中心天体质量有关，而与绕行的天体无关．也就是说，在中心天体不同的系统里k值是不同的，在中心天体相同的系统里k值是相同的． 例2.如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点到太阳的距离为a，近日点到太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，过近日点时行星的速率为（　　） A．vb＝va B．vb＝va C．vb＝va D．vb＝va C．若椭圆半长轴为a 与公转周期为T，则表达式k＝的k值为常数 例3.(多选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是(　　) 变式3．火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝Geq \f(Mm,R2)。 2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即Geq \f(Mm,R2)＝mrω2＋mg，所以mg＝Geq \f(Mm,R2)－mrω2。 (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝Geq \f(Mm,R2)。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜Geq \f(Mm,R2)，重力的方向偏离地心。 4．重力、重力加速度与高度的关系： (1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)，所以地球表面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)。 (2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝Geq \f(Mm,R＋h2)，所以h高度处的重力加速度g＝eq \f(GM,R＋h2)。 处理万有引力与重力关系的思路 (1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝Geq \f(Mm,R2)。 (2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝Geq \f(Mm,R2)； 赤道处：mg＋F向＝Geq \f(Mm,R2)。 例4.火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，航天员在地球表面上质量为50 kg.(地球表面的重力加速度g取10 m/s2，忽略天体的自转) 解析(1)在地球表面有 mg＝G， 在火星表面上有 mg′＝G， 联立解得g′＝ m/s2， 则航天员在火星表面上受到的重力 G′＝ mg′＝50× N≈222.2 N. (2)在地球表面航天员能够跳起的高度H＝， 在火星表面航天员能够跳起的高度h＝， 联立解得h＝3.375 m． A．　 B．　 C．　 D． 分类 “自力更生法” “借助外援法” 思路 物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力mg＝G 行星或卫星受到万有引力充当向心力G＝m或G＝mω2r或G＝mr 结果 天体(如地球)质量：M＝ 中心天体质量：M＝或M＝或M＝ 2．天体密度的计算。 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度： 由mg＝Geq \f(Mm,R2)和M＝ρ·eq \f(4πR3,3)，得ρ＝eq \f(3g,4πGR)。 (2)利用天体的卫星求天体密度： 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，中心天体质量M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，联立可得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。 例5.(多选)(2024年湖北联考)北京时间2024年10月30日，“神舟十九号”搭载的3名航天员全部顺利进入“天和”核心舱．已知核心舱距地球的高度为h，绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，地球的半径为R，引力常量为G，把地球看成质量分布均匀的球体，球体的体积公式V＝(r为球体的半径)，不考虑地球自转的影响．下列说法正确的是(　　) A．地球的质量为 B．核心舱转动的角速度为 C．地球表面的重力加速度大小为 D．地球的密度为 例6.航天员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点间的距离变为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ. 解析 设该星球表面的重力加速度为g.根据平抛运动的特点可得，小球在竖直方向上的位移y＝gt2 设平抛小球的初速度为v，则水平方向上的位移为x＝vt 有＋(vt)2＝L2① 当以2v的初速度平抛小球时，水平位移为x′＝2vt.所以有＋(2vt)2＝(L)2② 在星球表面上，物体的重力近似等于万有引力，有 mg＝G③ 联立①②③式解得星球的质量M＝ 而星球的体积V＝πR3，由密度公式ρ＝得星球的密度ρ＝. 变式5.（多选）（2024上海月考）若在天鹅座有一质量均匀分布的球形“类地球”行星，其密度为ρ，半径为R，自转周期为T0，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A.该“类地球”行星的同步卫星的运行速率为 B．该“类地球”行星的同步卫星的轨道半径为 C．该“类地球”行星表面重力加速度在两极的大小为πGρR D．该“类地球”行星的卫星在行星表面附近做匀速圆周运动的速率为2πR A．航天器在星球表面附近运动的向心加速度大于 B．航天器在星球表面附近运动的向心加速度等于 C．该星球的密度ρ＝ D．该星球的半径R＝ 考点6　天体运动的分析与计算 1．一个模型。 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路。 (1)万有引力提供向心力：Geq \f(m天m,r2)＝ma向＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝Geq \f(m天m,R2)，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 3．四个重要结论。 设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由Geq \f(m天m,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(Gm天,r))，r越大，v越小。 (2)由Geq \f(m天m,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(Gm天,r3))，r越大，ω越小。 (3)由Geq \f(m天m,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up24(2)r得T＝2πeq \r(\f(r3,Gm天))，r越大，T越大。 (4)由Geq \f(m天m,r2)＝ma向得a向＝eq \f(Gm天,r2)，r越大，a向越小。 解决天体运动问题的关键 (1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 (2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 (3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。 变式7．天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的eq \f(1,480)，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为eq \r(3,\f(60,480)) B．轨道半径之比约为eq \r(3,\f(60,4802)) C．向心加速度之比约为eq \r(3,60×4802) D．向心加速度之比约为eq \r(3,60×480) 考点7　宇宙速度的理解与计算 1．宇宙速度。 (1)三个宇宙速度v1、v2、v3。 (2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。 (3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。 2．第一宇宙速度的推导。 (1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s2)，则 (2)其他星球的第一宇宙速度： ①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝eq \r(\f(GM星,R))或v＝eq \r(gR)，式中G为引力常量，M星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。 ②第一宇宙速度之值由中心星球决定。 3．对发射速度和环绕速度的理解。 (1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。 (2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。 处理有关三个宇宙速度的问题时，关键要理解和把握以下两点： ⑴发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。近地卫星可认为v发＝v运，其他较高的卫星则有v发>v运。 (2)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度；当16.7 km/s>v≥11.2 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”；当v≥16.7 km/s时，卫星挣脱太阳的引力，逃到太阳系以外的宇宙空间。 例9.设我国发射探月卫星“嫦娥1号”卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面，已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则月球第一宇宙速度约为 (　　) 变式9.已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　) A．3.5 km/s　　　 B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s G＝⇒⇒ (1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、周期T＝≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大速度和最小周期． (2)地球同步通信卫星的特点： 特点 内容 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量) 向心加速度大小一定 an＝0.23 m/s2 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面 例11.　(多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(　　) A．卫星距地面的高度为eq \r(3,\f(Gm地T2,4π2)) B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq \f(m地m,R2) D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 A．甲、乙做圆周运动的速率之比＝ B．甲、乙做圆周运动的速率之比＝ C．甲、乙做圆周运动的周期之比＝ D．甲、乙做圆周运动的周期之比＝ 考点10　卫星变轨问题 1．变轨问题概述。 2．稳定运行。 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)。 3．变轨运行。 当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和meq \f(v2,r)不再相等，会出现以下两种情况： (1)当卫星的速度突然增大时，Geq \f(Mm,r2)＜meq \f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时减小了。 (2)当卫星的速度突然减小时，Geq \f(Mm,r2)＞meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时增大了。 卫星变轨原理图如图所示。 A．“神舟十六号”飞船在轨道Ⅰ上运动时将不受重力的作用 B．“神舟十六号”飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 C．“神舟十六号”飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于空间站沿轨道Ⅲ运行的周期 D．正常运行时，“神舟十六号”飞船在轨道Ⅱ上经过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点的加速度 考点11　双星问题 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Geq \f(m1m2,L2)＝m1ωeq \o\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \o\al(2,2)r2。 (2)两颗星的“公转”周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为： r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导)。 (1)轨道半径：r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq \f(m1,m1＋m2)L。 (2)星体质量：m1＝eq \f(4π2r2L2,GT2)，m2＝eq \f(4π2r1L2,GT2)。 (3)周期：T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1＋m2))。 B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用F＝G计算 C．由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力只存在于质量大的天体之间 A．　 B． C．　 D． 4.(2024年成都期中)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　) A．G　 B．G C．G　 D．0 A．金星质量为 B．金星质量为 C．太阳质量为 D．太阳质量为 A．地球的质量m地＝ B．太阳的质量m太＝ C．月球的质量m月＝ D．月球、地球及太阳的密度 9．(新情境题，以宇航员体重变化为背景考查万有引力定律的应用)某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝eq \f(g,2)的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到eq \r(\f(19,18))＝1.03，eq \r(\f(21,20))＝1.02)。问： (1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？ 答案　eq \f(20,21)倍　 (2)该位置距地球表面的高度h为多大？ 答案　128 km (3)地球的平均密度是多少？ 答案　5.6×103 kg/m3 13．(多选)(2024年广州二中期中)“北斗”系统由低轨道、中轨道和同步轨道卫星组成．如图，近地轨道卫星在A处点火进入转移轨道，在B处点火最终进入同步轨道．已知地球半径为R，同步轨道距离地面高度约为6R.地球表面重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　) A．卫星在同步轨道运行速率为 B．可以求出卫星在转移轨道的运行周期 C．卫星在A的加速度大于在B处的加速度 D．卫星在转移轨道上A点的速率大于同步轨道的速率 A．＝ B．恒星A转动的角速度为 C．恒星B转动的周期为2π（r1＋r2） D．恒星A的向心加速度大小为 $$