高二下学期期中测试卷（1）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二下册期中测试卷（1） 【人教A版2019】范围：选择性必修一，选择性必修二，选择必修三 第六章～第七章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的通项公式为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．曲线的图像在处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 5．已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D．2 6．随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 7．某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（    ） A．2080 B．2520 C．3375 D．3870 8．定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 10．在的展开式中（    ） A．常数项为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 11．已知等差数列的首项为29，公差为，其前项和为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则最大 B．若最大，则 C．若，则 D．若，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 . 13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 14．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，其中，且在x=3处取得极值. (1)求函数的解析式： (2)求在点处的切线方程. 16．设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 17．某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 18．已知椭圆，经过点，且右准线为. (1)求椭圆的方程； (2)若过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，直线交右准线于点，右准线交轴于点，记，的面积分别为，，求的最大值. 19．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有唯一的极值点， ①求实数取值范围； ②证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下册期中测试卷（1） 【人教A版2019】范围：选择性必修一，选择性必修二，选择必修三 第六章～第七章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的通项公式为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据通项公式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 2．曲线的图像在处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为. 故选：D. 3．设等差数列的前项和为，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设首项为，公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，再根据通项公式计算可得. 【详解】设首项为，公差为，依题意，解得， 所以. 故选：B 4．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5枚邮票任取3枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则不同的取法种数为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 【答案】A 【分析】分类讨论3枚邮票的组成情况，根据分布乘法计数原理和分类加法计数原理运算求解. 【详解】由题意可知：会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有2枚，“志愿者标志”有1枚， 若任取3枚，取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则有： 若会徽邮票有2枚，吉祥物邮票有1枚，共有种； 若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有2枚，共有种； 若会徽邮票有1枚，吉祥物邮票有1枚，“志愿者标志”有1枚，共有种； 故共有种. 故选：A. 5．已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求出渐近线方程，依题意可得点在渐近线上，即可得到，再根据离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为，设，，则， 因为点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形， 所以点在渐近线上，所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A 6．随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得. 【详解】因为， 所以，，，， 则，解得， 所以，， 所以. 故选：A 7．某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（    ） A．2080 B．2520 C．3375 D．3870 【答案】B 【分析】分别计算两人全不相同，一人与另外两人全不相同，三人全不相同的种类数，可得所求结果. 【详解】设甲，乙两人全不相同为事件，甲，丙两人全不相同为事件，乙，丙两人全不相同为事件 则，，的种类数都为， ，，的种类数都为， 的种类数为， 所以至少有两人全不相同的方法数为， 故选：B. 8．定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出导函数，即可得到的单调性，则问题转化为，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在定义域上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：C 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】BD 【分析】根据导函数符号判断原函数单调性和极值，逐项分析判断. 【详解】由题意可得：当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则仅在处取得极值，且为极大值， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD. 10．在的展开式中（    ） A．常数项为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【答案】BCD 【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可. 【详解】的展开式的通项公式， 对于A：令，解得，可得， 即常数项为，故A错误； 对于B：令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，解得， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则， 所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 11．已知等差数列的首项为29，公差为，其前项和为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则最大 B．若最大，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A， 利用等差数列的前项和公式求解即可； 对于B，最大，得到，建立关于的不等式，求出的取值范围即可判断； 对于C，利用数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d求解即可； 对于D，利用等差数列通项公式展开，得到，即可判断； 【详解】对于A，，，=，故选项A正确； 对于B，，若最大，则，即，只是其中的一种情况，故选项B错误； 对于C，设，则，数列，S6－，S9－S6，S12－S9，…(m∈N*)也是等差数列，首项为，公差为，，，故选项C正确； 对于D，若，则，显然无论取何值，都不成立，故选项D错误； 故选：AC. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 . 【答案】/0.6 【分析】 先设事件A、B，写出，；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案. 【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”. 则， 所以 故答案为： 13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用 求解即可. 【详解】数列的前n项和， 可得； 时，，不满足， 则， 故答案为：. 14．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果. 【详解】由， 得， ， 令， ， ，， 令， 当时，，当时， 在上递减，在上递增， ， 在上递增， ， ， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，其中，且在x=3处取得极值. (1)求函数的解析式： (2)求在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由，求出，得到解析式； （2）在第一问基础上，得到故A点在上，，从而得到切线方程. 【详解】（1）. 因为在处取得极值，所以. 解得：，所以，经检验符合题意. （2）， 故A点在上，由（1）可知， 则，所以切线方程为. 16．设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用、的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得，即可证明. 【详解】（1）因为， 当时，，又，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，即， 所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以， 所以. 17．某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算； （2）根据期望公式结合与之间的关系分析运算. 【详解】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为，则， 则， 所以甲只生产10件产品即结束考核的概率. （2）由（1）可知：，， 可得随机变量的期望， 故， 由题意可得：，或， 则 ， 故随机变量X的数学期望. 18．已知椭圆，经过点，且右准线为. (1)求椭圆的方程； (2)若过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，直线交右准线于点，右准线交轴于点，记，的面积分别为，，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据椭圆所过点得，再由列出方程求解即可； （2）根据直线过定点，判断椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，由根与系数关系求出，联立准线与直线方程求出点坐标，即可得出的表达式， 化简后利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 又，解得或， 所以或， 故所求椭圆方程为或. （2）因为直线，所以直线过定点， 而直线过焦点， 所以椭圆方程为， 联立，消元得， 设，， 则，， 由可得， ， 由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 19．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有唯一的极值点， ①求实数取值范围； ②证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)①；②证明见详解 【分析】（1）求导，分类讨论判断原函数单调性； （2）①根据（1）中的单调性，分析判断极值点；②根据①可知，整理分析可得原不等式等价于，构建新函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，则在定义域内恒成立， 故函数的递增区间为，无递减区间； 当时，令，解得， 令，解得；令，解得； 故函数的递增区间为，递减区间为； 综上所述：当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （2）①由（1）可知：当时，函数的递增区间为，无极值点； 当时，函数的递增区间为，递减区间为 函数有唯一的极值点； 综上所述：若函数有唯一的极值点，则实数取值范围为. ②∵函数有唯一的极值点，则， 即，可得， 故 ， 若，即，且， 等价于， 构建，则， 当时，构建，则， ∵，则， 故对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 故在上单调递减，可得， 即对恒成立； 当时，则， 构建，则， ∵在内单调递增，则， ∴在内单调递增，则， 即当时，可得， 故对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立； 综上所述：对恒成立. 故，即. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$