高二下学期期中测试卷（2）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二下册期中测试卷（2） 【人教A版2019】范围：选择性必修一，选择性必修二，选择必修三 第六章～第七章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【详解】由表可得， 又可得,解得， 故选：A 2．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 【答案】B 【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解. 【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组， 则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中， 共有种排法， 所以不同的放法数（种）. 故选：B. 【点睛】本题考查了排列组合求所有可能，考查了平均分组法，解题关键是平均分组时注意消序，计算量不大，属于基础题. 3．已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 【答案】C 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 4．的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的通项公式求解. 【详解】的展开式的第7项的二项式系数是. 故选：C. 5．曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 所以在点处，所以在点处的切线方程为， 所以切线方程为. 故选：A. 6．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段比及椭圆的定义求得，，取的中点为，根据余弦定理建立关于的方程，即可求解离心率. 【详解】设，，则，即， 则，从而，，所以， 如图，取的中点为，则， 在中，. 在中，由余弦定理得，， 化简得，则. 故选：D 8．已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】构造函数，因为， 所以，因此函数是增函数， 于是有， 构造函数，因为， 所以，因此是单调递减函数， 于是有， 故选：D 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列说法正确的是（      ） A．展开式共10项 B．含项的系数为2016 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为512 【答案】ABD 【分析】对于AD：根据二项展开式的性质即可得结果；对于BC：根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】对于选项AD：因为，则展开式共10项，所有项的二项式系数之和为，故AD正确； 对于BC：二项展开式的通项为， 令，可得，则含项的系数为，故B正确； 令，可得，则展开式中有常数项，故C错误； 故选：ABD. 10．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 【答案】AC 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 11．下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 【答案】ABD 【分析】由正态分布曲线的对称性可判断出ABC的正误；由二项分布的方差公式可判断D正确. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，，，解得：，B正确； 对于C，，，， ，C错误； 对于D，，， 当时 ，，D正确. 故选：ABD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】在已知条件中分别令，，将所得两式相减即得所求 【详解】 令，则 令，则 所以 故答案为： 13．已知函数，则 . 【答案】3 【分析】求导，代入，可求导，进一步可得函数表达式，从而代入即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 则，故. 故答案为：3. 14．已知直线与曲线相切，则 【答案】 【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为， 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入可得，解得， 所以. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数的一个极值点是. (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据有一个极值点求出，再利用导数确定单调区间，即可求出极值； （2）由（1）根据函数的单调性求出最值. 【详解】（1）， 有一个极值点是， 即又， 3 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为； （2）由（1）知，在上递减，上递增，上递减， 又， 在上的最大值为， 在上的最小值为. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【详解】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2）由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 17．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)，， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可； （2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数 ； （2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有 人， 所以各自抽取的人数分别为人， 显然“特优选手”有4人， 故X可取，， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 18．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面，从而得证. （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接，由四边形是菱形，， ∴是等边三角形，又E是的中点，则，故，             在直四棱柱中，平面， 而平面，平面， 所以， 所以两两互相垂直， 以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则，即， 而， 又平面， ∴平面． （2）由（1）知平面的一个法向量 ， 结合图形可知平面的一个法向量可以为， 设平面与平面所成角为， 则 ∴平面与平面所成角的余弦值为． 19．已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性； （2）令，得，即，发现其结构相同， 再令，可得，故，问题转化为求函数的值域， 分析其图象与直线的交点个数即得答案. 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下册期中测试卷（2） 【人教A版2019】范围：选择性必修一，选择性必修二，选择必修三 第六章～第七章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 3．已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 4．的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 5．曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 6．记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ） A．， B．， C．， D．， 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列说法正确的是（      ） A．展开式共10项 B．含项的系数为2016 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为512 10．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 11．下列命题中正确的是（   ） A．已知服从正态分布，且，则 B．已知服从正态分布，且，则常数的值为3 C．已知服从正态分布，若在内取值的概率为0.15，则在内取值的概率为0.25 D．已知其中，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ．（用数字作答） 13．已知函数，则 . 14．已知直线与曲线相切，则 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数的一个极值点是. (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最值. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 17．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 18．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 19．已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$