第8章 立体几何初步（知识清单）-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第八章 立体几何初步 [知识结构] 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 结构 圆锥 棱台 台体 简单组合体 圆台 球体 基本立体图形 直观图 展开图 表面积 表面积 侧面积 和体积 底面积 体积 点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面 直线、平面平行 直线、平面垂直 之间的位置关系 的判定及其性质 的判定及其性质 平面概念及其四个基本事实 空间中线与线的位置关系 空间中线与面的位置关系 空间中面与面的位置关系 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 ·19· [知识梳理] 知识点1空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 D E B 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 相交于一点，但不 延长线交于一点，但 侧棱 平行且相等 一定相等 不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正 棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱 锥叫做正棱锥.特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体.反过 来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形 的中心 注：(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何 体却不一定是棱柱 (2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是 棱台. (3)注意棱台的所有侧棱的延长线相交于一点. ·20· 3.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 0 旋转 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 图形 任一边所在的 任一直角边所 垂直于底边的 旋转轴 直径所在的直线 直线 在的直线 腰所在的直线 互相平行且 延长线交于 母线 相等，垂直于 相交于一点 一点 底面 全等的等腰 全等的等腰 轴截面 全等的矩形 圆 三角形 梯形 侧面展 矩形 扇形 扇环 开图 4.空间几何体的直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则 ①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂直，直观图中，x轴、y'轴的夹角为45° (或135)，z轴与x'轴和y轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴 和？轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直 观图中变为原来的一半 ·21· (3)直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： √ S直藏图 4 S原图形i S原图形=2V2S直现图· [例1]下列结论正确的是 A.底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫圆锥 D.圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都 是母线 A解析对于A:底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确； 对于B:如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三 角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示： 故B错误； 对于C:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一 周形成的几何体叫圆锥，显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C 错误； 对于D:过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母 线，故D错误 ·22· 知识点2空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积和体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体（棱柱 S表=S侧十2S底 V=Sh 和圆柱) 锥体（棱锥 S表=S侧十S庭 和圆锥) v-5小 台体（棱台 S表=S侧十S上十S下 V= 3(S上+S,+S上SF)h 和圆台) 球 S=4πR2 几何体的表面积和侧面积的注意点： ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有 底面面积之和 ②组合体的表面积应注意重合部分的处理， 2.柱体、锥体、台体侧面积间的关系 (1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面 缩为一个点时，得到正棱锥， 1 2ch' (2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底 面半径为零时，得到圆锥， 则S世=2lS5台=xr十r)10S=1. ·23· 3.柱体、锥体、台体体积间的关系 V体=3S4SS+Sh S=S S=0 V生体=Sh V体=S [例2](1)如图，在直角三角形ABC中，AB=√3，AC=1,将△ABC绕直 角边AC旋转360°所得的旋转体的表面积为 () B A.3π+2√3π B.2x+2√3π C.3π+2√2元 D.2π十2√2元 A解析在Rt△ABC中，直角边AB=√3，AC=1,则斜边BC=2, 将Rt△ABC绕直角边AC旋转360°所得的旋转体是以AB为底面圆半 径，母线长BC=2的圆锥， 所以所得旋转体的表面积为π·AB2+π·AB·BC=3π+23π. (2)某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下 底面周长分别为32cm,24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm,如图2所 示，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 () B D B 图1 图2 ·24· 148 A.3 cm B.74 cm C.148cm3 D.298cm3 C解析由题意可知，该正四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6cm, 故该香料收纳罐的容积为3×3×(8+62+8×6)-148cm. (3)如图，在圆柱OO'中，AB,CD分别为圆O,O'的直径，AB∥CD,AB= BC=2,E为BC的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从A爬到E的最短路径 的长度为 ) A.√π2+1 B.√4π2+1 C.5 D.√5 A解析如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形ABCD, 在圆柱OO'中，因为AB=BC=2,可得在矩形中AB=x, 即矩形ABCD中，AB=π，BE=1,则最短路径的长度为AE= √AB+BE=√π+1. B 知识点3点、直线、平面之间的位置关系 1.四个基本事实 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. (2)基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在 此平面内。 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 ·25· [拓展]基本事实1和基本事实2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：基本事实1和基本事实2及其推论是判断或证明点、线共面的依据. (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一 条过该点的公共直线， 作用：证明三线共点或三点共线的依据。 (4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或 互补. 3.直线与直线的位置关系 (1)空间中两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'∥a,b仍， 把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. ②范周：0，引或0<0≤90 [例3](1)如图，在三棱柱ABCA,B1C1中，E,F,G分别为棱AC1, B,C1,B,B的中点，则∠EFG与∠ABC () B B ·26· A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 B解析因为E,F,G分别为A:C1,B1C1,BB1的中点，所以EF∥ A1B1,EF∥AB,FG∥BC1, 所以∠EFG与∠ABC,的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另 一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC,互补， (2)在正方体ABCD-A1B,C,D1中，O是A,C1的中点，则异面直线AO 与BC,的夹角为 () A.30° B.45° C.60° D.90° A解析连接AD1,D,O,BC1, D 因为在正方体ABCD-A1B,C1D1中，AB∥C1D1,AB=C,D1, 所以四边形ABC,D1是平行四边形，则AD1∥BC1, 所以∠D1AO(或其补角)是异面直线AO与BC1的夹角，不妨设正方体 ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，则AD1=2√2，D,O=√2，AO= √A1A+A,O=√6， 故AD=D1O2+AO2,即D1O⊥AO,则0°<∠D1AO<90°， 所以sin∠D,AO= 8-R∠DA0-0 4.直线与平面的位置关系 直线a在平面a外 直线a在平 位置关系 直线a与平 直线a与平 面a内 面a相交 面a平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 ·27· 续表 直线a在平面a外 直线a在平 位置关系 直线a与平 直线a与平 面a内 面a相交 面a平行 符号表示 aCa a∩a=A alla -d 图形表示 a a 5.两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直线上） 符号表示 allB a∩B=l 图形表示 B 知识点4直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义：直线1与平面α没有公共点，则称直线1与平 面a平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平面内的 ata, 判定 a 一条直线平行，则该直线平行于 b bCa, 定理 a 此平面 a%→aa ·28·