第7章 复数（知识清单）-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第七章 复数 [知识结构] 复数的定义 形如+ia.方ER)的数叫椒复数，a为实部，b为虚部 虚数单位 把平方等于-1的数川i表示，7=-1 复数的相大概念 复数柴 全体复数所组战的华合，HC表示 复数的分类 实数、虚数、纯墟数 复数相等 a+bi与©+相等的充耍条件是a-r且b-d 共扼发数 实部相等，而棕部五为相反数】 复平而 x轴为实轴，y轴为壶轴 复数的儿何创意义 复数的儿何意义 复数，复平而内的点、平而向量一一对成 复数的模 )加法：z+2=+i)+e+=u++地+i 2)减法：-2=a+bi)-c+=a-+b-d加 复 3)乘法：z1·z=a+hi·r+i=(ac-bd+ad+hri 降法：兽等器到 复数的运算法则 训达、诚法，柔法可直接安照代数运件进行计算.复数除 法运算的核心是实现分母“实激化” 复数的运算 发数运算的儿个重妥结论 啦数位1的乘方 周期性：ii.m2-1.i-3-i.-1 复数方程的解 复数的三州形式 =r(cos0+isin0） 复数的三角形式 知角丰价 乘法：挺数相乘，捐布相加 复数彩除法的二布表示 涂法：模数相除，轺角相减 [知识梳理] 知识点1复数的有关概念 1.复数的定义：形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，实部是a,虚部是b. 2.虚数单位：把平方等于一1的数用符号i表示，规定=一1，我们把i叫做 虚数单位， 3.复数集：①定义：全体复数所组成的集合.②表示：通常用大写字母C 表示。 4.复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复 数实际上是一个实数 ·12· 实数(b=0) (1)复数 纯虚数(a=0) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0) (2)复数集、实数集、虚数集，纯虚数集之间的关系 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 5.复数相等：a十bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d. 6.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数 叫做互为共轭复数， 复数x的共轭复数用表示，即当x=a十bi(a,b∈R)时，=a一bi. 题型1复数的相关概念应用 [满分技法] 1.判断复数a十bi(a,b∈R)的实部、虚部的关键 (1)看形式：看复数的表示是否是a十bi的形式： (2)看属性：看a,b是否都是实数； (3)看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点 2.复数的分类：对于复数a十bi, (1)当且仅当b=0时，它是实数： (2)当且仅当a=b=0时，它是实数0： (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a=0且b≠0时，叫做纯虚数」 [例1]若纯虚数x=a2-1+(a+1)i,则a= 1a2-1=0 1解析由题意可知， 得a=1. a十1≠0 题型2复数相等及应用 [满分技法] 求解复数相等问题的步骤：(1)等号两侧都写成复数的代数形式：(2)根 据两个复数相等的充要条件列出方程（组）；(3)解方程（组）. ·13· [例2]已知x+(2x+7y)i=1一5i,其中x,y∈R,i为虚数单位.则实数 x= ,y= x=1 1-1 解析由题意x十(2x十7y)i=1一5i,得 2.x+7y=-5' x=1 解得 y=-1 知识点2复数的几何意义 1.复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复 平面，x轴为实轴，y轴为虚轴 复平而 实轴 -17(a.b 虚轴 2.复数的几何意义 (1)任意一个复数之=a十bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对 应的. (2)任意一个复数x=a十bi(a,b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一 一对应的. 注：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对 应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是x=0十0i=0,表示的是 实数. 复数 z=a+bi 对应 a.b∈R) 复平面 内的点 向量 对应 OZ=(a.b) Z(a.b) ·14· 3.复数的模 (1)定义：向量OZ的模r叫做复数x=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数x=a+bi的模记为x|或|a+bi. (3)公式：|x|=|a+bi=r=a2+b(r≥0，r∈R). 题型3复数的几何意义及应用 [满分技法] (1)任意一个复数=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一 对应的. (2)任意一个复数x=a十bi(a,b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是 一一对应的. [例3]设在复平面内，复数2+3i和3一i对应的点分别为A,B,则向量 AB表示的复数所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D解析 由复数的几何意义知，A(2,3),B(3,-1),故AB=(1,-4), 所以AB表示的复数所对应的点(1，一4)位于第四象限. 题型4复数的模长相关计算 [满分技法] 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的 公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小： [例4]复数之=1一3i,其中i为虚数单位，则x| A.√2 B.2 C.√10 D.5 C解析因为之=1一3i,所以=√1+(-3)=√10. 知识点3复数的运算 1.复数的运算法则 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R),则： ·15· (1)加法：x1+≈2=(a十bi)+(c十di)=(a十c)+(b+d)i. (2)减法：之1-之2=(a+bi)-(c十di)=(a-c)+(b-d)i. (3)乘法：1·x2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. (4)除法：-a+i-a+bDe-dn-ac十bd+bc一ad 3:c+di (e+di)(e-didi(e+di+o). 2.复数运算的几个重要结论 (1)川之1+x212+|1-212=2(|112+1x22). (2)2·x=|x12=|12 (3)若之为虚数，则|g≠x (4)(1±i)2=±2i. 1+i.1-i 3.虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，”有如下性质： =i,2=-1,=i·2=-i,i=i3·i=-i·i=1. 从而对于任何n∈N,都有i+1=i·i=(i)”·i=i, 同理可证+2=一1，+8=一i,i*4=1. 这就是说，如果n∈N,那么有i+1=i,i0+2=一1，im+3=一i,i*4=l. 南此可选-步得1+议=2i.1-=一2-=- 4.复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的求解方法： (1)求根公式法： ①当4≥0时，x=一b土VB-4ac 2a ②当4<0时，x=-b±V一(b-4ac)i 2a (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m,n∈R), 将此代入方程a.x2+bx十c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. ·16· 题型5复数的四则混合运算 [满分技法] 解决复数四则运算问题的思路： 1.复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果 的实部与虚部.把ⅰ看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； 2.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 一1，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用 于复数，常用公式有(a+bi)(a-bi)=a2+b2,(a士bi)2=a2-b2土 2abi,(a±bi)3=a3-3ab2±(3a2b-b)i. 2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形 式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数， 使分母成为实数，再计算。 ■例5设复数：在复平面内对应的点为3，一2)，则一 A.5-g 3+4: B.5+ C-3 4 3 4 -1 D.-5+5 C解析因为复数之在复平面内对应的点为(3，一2)，所以之=3一2i, 房以计+ (1-2i) -3-4i_ 1+2i 1+2i(1+2i)(1-2i) 5 题型6复数高次幂的周期性应用 [满分技法] 计算复数的乘积要用到虚数的单位ⅰ的乘方，”有如下性质： =i,i=-1,i3=i·=-i,i=3·i=-i·i=l. 从而对于任何n∈N,都有+1="·i=(i)”·i=i 同理可证+2=一1，m+3=一i,i+4=1. 这就是说，如果n∈N,那么有+1=i,i+2=一1，w+3=一i,+=1. 由此可造-乡得1+=a1-=-么吊-= ·17· [例6]已知复数之满足=1十2，则|x|= () A.1 B.√2 C.3 D.√5 D解析 :=1+21_1+2i1+2ii -i -i.i =-2+i, ∴.lx=(-2)2+1=5. 知识点4复数的三角形式(*)》 1.复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成之=r(cos0+isin0)的形 式，其中r是复数的模，0是复数的辐角. 注：复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连 2.辐角主值 (1)辐角的定义：设复数x=a十bi(a,b∈R)的对应向量为OZ,以x轴的 非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ)为终边的角0，叫做复数 的辐角」 (2)辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零 的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍， 规定：其中在0≤0<2π范围内的辐角0的值为辐角的主值，通常记作 arg之. 注：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角 是任意的 3.复数乘、除法的三角形式表示：已知z1=r,(cos0,十isin01),x2=r2(cos02十 isin 02 ) (1)乘法：之1之1=r1r2[cos(0,+02)+isin(0,十0，)]，即模数相乘，辐角 相加. e模法子一8+8}[o0-a计n0一4小.即骏 数相除，辐角相减. ·18·