达标演练42 概率的基本性质&达标演练43 事件的相互独立性-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

达标演练四十二 概率的基本性质 (2)若是止随乱诗取2个复元素,求这2个氧元素是国一种展位素的要奖 [基础巩固] 1.盘子里有肉,家笔和豆涉馅的包子共10个,从中随航取出1个,若是肉馅包子的题来为一,不是 豆没包子的概零为一,素馅包子的个数为 -。 B.2 D4 A1 0③ [能力提升] D.甲,乙两人对同一个起各射击一次,设事件A一“甲击中配”,事件召一“乙击中配”,事抖”一“肥未 击中”,事件F一”配被击中”,事件G一”恰一人击中靴”,对下到关系式(A表示A抗对立事件,B 从中任意取出?税恰好是间一色的概率是 ) 1 1 表示B的对立):①E-AB,②F-AB.③F-A+B④G-A+B.③G-AB+AB.P(F)-1 D! P(E)P(F)-PA)+P(B).其中正确的关系式的个数是 A B& C. D. 3.某204年的空气质量状况如下表所示 0 40 100 10 100 140 10.七巧板,又称七巧图,智慧板,是中国古代劳动人民的爱明,其历史至少可以追测到 析慧r 公无前一世纪,到了明代基本定型,干明,请两代在民问广泛流,某同学用选长 短? 4m的正方形本板作了一套七巧板,如图所示,包括5个等腰直角三角形,1个 其中污染指数750时,空气质量为忧;50{1100时,空气质量为良;100 1 150时,空气 正方形和1个平行因边形,若该词学从5个三角形中任取出2个,则这2个三角形 () 。 量为轻微污染,该城市2024年空气质量达到良或无的概率为 的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是 1 D } _ 4.拢一个质迫均匀的般子的试验,事件A表示”小干的例数点出现”,事作8表示”不小于5的点 11.(多选)下羽四个命题中.命题有 A.对立事计一定是互事f 数出现”,明一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为 ) D B.若A.B两个事件,测P(AUB)-P(A)+P(B) B C.若件A.B.C夜此兵.判P(A)+P(B+P(C)-1 5.(多)一个看独均匀的听子,提一次数子并观察向上的点数.A表示事件“是子向上的点数大干等 D.若事件A.凸满足P(A)+P(B一1.则A,B是对立事件 A._ 于3”,君表示事件“般子向上的点数为奇数”,则 B.P= C.P_ D_-一 13.已知事得A与事件B互异,如果P(A)-0.3.P()-0.5.那么P(AUB)- 14.在“六一”段欢会上改有一个拍奖游戏,抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖,二等奖,三等奖,无奖 6.在一整假子(一种正方体玩具,六个面分别标有1.2,3,4,5.6字)的试整中,事件A表示“不 国种,从中任攻一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是 大子3的奋数点出现”,事件点表示”小于的点数出现”,则事件A十的概率为 7.已P(A)-05.P(B)-0.6.PCAUB)-0a.则P(AB)- (求任取一张,中一等奖的概率: 8.科学家在107年至192年到发现自整界中的氢含有三种回位素,分到为0.0.*0.根报1940 (2)若中一等奖或二等奖的概率是一,求任取一张,中三等奖的概率。 年比较精确的质谐测定,自然界中这三回位素的含是比为”0占9.755,0占0.037%,”0 #_}。 占0.204%.现有3个“0.2个0.d个”0.若从中随机选取1个氧元素,这个氧元素不是0的根 (1) (t2 达标演练四十三 事件的相互独立性 [力提升] [基础巩团] 1.下列关于五兵事件、对立事件,相互独立性(上述事件的概都大干零)的说法中正确的是 A.A与B互乓不耐立 BA与B对立 ) C.A与B相互立 D.A与既互文独立 A.互事件一定是对立事件 B.对立事件一定是互斥事得 10.某回学参加社团面试,已等其第一次通过面试的概率为0.7.第二次试递过的概率为0.5.若第 C.互斥事件一定是相互独立事件 D.朝互立事件一定是互事件 2.已知事件A与件B相互立,且P(A)-0.2.P(B)-0.7.则P(AB)- 一次未通过,仍可选行第二次面试,若两次均通过,则面试失败,否则视为面试通过,则该同学 ) 送过直试的概率为 C024 A.6.66 8.0.14 D.0.56 ) A.0.35 B.0.7 C:0.5 D.0.1 3.已知事件A与B相互独立,且P(A)-0.5.P(B)-0.6.则P(AUB)- 心) A.0.3 日0.6 C.0.8 D. 0.D 11.(多选)下列各对事件中,M.N为相互独立事件的是 A.擦一枚反地均勾的数子一次,事件M为出现的点数为奇数”,事件V为“出现的点数为偶数 ) B.袋中有个白球,5个黄球(球除颜色外完全相同).现不效回地依次模出?个球,事件M为”第 1 D. 一次摸到黄球”,事件V为“第二次摸到黄球” (C. 一枚硬币擦活次,事件AM为“第一次为正面”,事件N为”两次批摇的结果相园 5.(多选)某疫场指出抽奖活动,在甲挂奖箱中有国张有奖奖,六张无奖奖;乙挂奖箱中有三张有 D.一枚硬而排两次,事件M为“第一次为正真”,事件N为“第二次为反面” 交奖,七条无奖奖,每人能在甲乙内箱中各挂一次,以A表示在甲拍奖箱中中奖的事件,B表 12.已知甲,乙、丙3名运动员击中目标的概分别为0.7.0.8.0.85,若勉们3人病目标各发1检, 示在乙抽奖箱中中奖的事件,C表示两次抽奖均卖中奖的事件.下列结论中正确的是 目标设有孩击中的率为 . B.事件A与事件B相互稳立 13.某产品的所量检验包括生产过程检验(POC).出检验(0O()再个环节,1POC通过后才能进人 00C环节,0OC通过后才是合格严品.每个检验环节有两次机会(第一次检验未通过可修复后进 C.P(A与P(C)和为54% D.事件A与事斜B厅 行第二次检验),已知每个产品每个检验环节第一次题过的颤率均为,第二次送过的概率均为 6.事A.B是互独立事料若PA三”:P(B一PA+B0.7.实数的值为 7.如洲:,.上.满个开关事联再与开关了,并联,在某段时间内提个开关配够困合的概率都是35 计算在这段时间内线路正工作的概李为_. 一.且每次检验是善通过相互独立,则每个产品成为合格品的概率为 1.与学生安全有关的间现填来情受强社会的关注程重视,为了寄及学生安全教育,基社区举办学 知甲家庭因答正确这适题的是-甲,丙两个家庭都回答错误的概率是乙,丙两个家庭都 安全知证意赛活动,某场比赛中,甲,乙,内三个家应同时目答一道有关学生安全知识的时题,已 8.有3个明别的球,分列标有数字1,2,3.从中有故回地限机取两次,提次取1个球.用(i;v)表示样 本点,其中。表示第一次取应球的数字。y表示第二次墩出球的数字,设事件A一“第一次取出的 答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响. 球的数字是1”,事件B一“两次取出的球的数字之和是!” (1)求乙、丙两个家庭各自国答正确这道题的概: (1)写出这个试验的样本空间; (2)求甲,乙、丙三个家庭中不少于2个家回答正确这道题的概率 (2)判断事件A和件B是否相互独立,并说明理由 s其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不大于5” 了.。解析：从八卦中任取一卦，样本点总数m=8,这一卦的 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，共4个样本点， 根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的样本点个数m=3, 5所求概率为P-是 则抽出的2个球的编号和不大于5的概率为P=5 4 1 8.解：该试验的样本空间可表示为：={(1,3,5)，(1,3,7)，(1， 13.7解析：在闭区阿[10,30]中，任取一个鉴数，样本点总数 3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9), n=21, (5,7,9)},共有10个样本点， 由题意，一一列举出区间[10,30]内的通体质数，有11,13， 其中能构成三角形的样本点有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共 17,根据古典概率模型，可以计算出概率为P一=7 31 3个，故所求餐率P=高 14.解：(1)根据频率分布直方图得：(0.004十0.006十a十0.030 9.A解析：由题意得，新数字有2.17,2.18,2.71,2.78,2.81,2. +0.024+0.016)×10=1, 87,共6种， 解得：a=0.020, 其中数字不大于2.78的有2.17,2.18,2.71,2.78，共4种，所 平均成绩为：(45×0.004+55×0.006+65×0.020+75× 以得到的最半不大于2.8的概率为子 0.030+85×0.024十95×0.016)×10=76.2. 10.D解析：(，b)所有的可能结果有（一3，一4）、（一3，一2）、 (2)来自[80,90)小组的有3人记为a1a2,a3, (-3,2)、(-3,6)、(-1,-4)、(-1,-2)、(-1,2)、(-1, 来自[90,100]小组的有2人记为b1,b2 6)、(1,-4)、(1,-2)、(1,2)、(1,6),共计12种， 从5人中随机抽取2人， 当时，直线不经过第三象限，有（一3,2》、（一3,6 样本点为a1ag,a1a3a1b1,abx,aa3,ab1,a2bg,ab1: a,b:,b1b2共10个， (-1,2)、(-1,6)这4种情况， 这2人来自不同组的有a,b1,a1b:,ab1,a:b:,ab1a3b:共 所以直线y一虹十6经过第三象限的餐事为1一意-1一 1 6个， 所以这2人来自不同小组的概率为P=5=3 10=5 11.ACD解析：因为某种作物要求最高气温t满足：27℃≤t≤ 达标演练四十二概率的基本性质 30℃， 1.C 2.C 3.A 4.A 5.ACD 由图可知，10月6日的平均最高气温为26℃，从10月18日 起的平均最高气温均低于27℃， 解析：依题意，抛锦一颗般子的试验有6个不同的结果， 所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日， 它们等可能，其中事件A有2个结果，事件B有3个结果， 故选项A正确： 因为10月1日至10月10日的最高气温分别为：30,31,29， 于是有PA)=名-日PCB)-是-，两事件A布B是 28,27,26,27,27,27,27, 其平均数为云=0(30+31+29+28+27+26+27+27+27 互斥的，则P(A+B)=PA)+P(B)=5,/ +27)=27.9, 所以率件A十B的颜率为吕 D,=10[30-27.9+(31-27.9+(29-27.9 7.0.2解析：因为P(AUB)=P(A)+P(B)一P(A∩B), (28-27.9)2+(27-27.9)2×5+(26-27.9)2]=2.29, 所以P(A∩B)-P(A)+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6- 又10月1日至10月10日的最低气温分别为：19,19,18,18 0.9=0.2. 17,18,18,17,17,17, 8.解：(1)依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素 其平均数为y-19X2+18X4+17X417.8, 2 10 是0的复率P,子5测有1一子5=号解得n=1 所以D,=[2×19-17.8+4×18-17.8y+4X(17 (2)记3个"0分别为a,b,c,2个”0分别为x,y,1个0为 m,从中随机选取2个，所有的情况为： -17.8)2]=0.56, (a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(a,m),(b,c),(b,x),(b,y), 故D1>D2,所以选项B错误，选项C正确， (b,m),(c,x),(c,y),(c,m),(x,y),(x,m),(y,m),共15 对于选项D,设“所选连续3天中日平均最高气温值都在[27， 种，它们等可能， 30]”为事件A, 其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b),(a,c), 易知，样本空间0={(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30， b,c),(xy),共4种，共概率为P,= 4 31)},共29个样本点， 又由题图可以看出，事件A中包含(3,4,5)，(7,8,9)，(8,9， 10),(9,10,11),(10,11,12),(11,12,13),(12,13,14),(13, 所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是行 14,15),(14,15,16),(15,16,17),共10个， 9.B解析：由题可得：①E=AB,正确；②事件F=“被击中”， 所以PA)-号款选项D正璃 AB表示甲乙同时击中，F=AB十AB十AB,所以②错误； ③F=A十B,正确，④A十B表示靶被击中，所以④错误；⑤G 4 12.5解析：由题意，所有的样本底为：1,2)，1,3)，(1,4， =AB十AB,正确；⑥E,F互为对立事件，P(F)=1一P(E), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3, 正确，⑦P(F)=P(A)十P(B)一P(AB),所以⑦不正确. 6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个， 正确的是①③⑤⑥. ·33· 10.D解析：如图所示，△ADO,△ABO,△GHO,△BEF, 1 △MCF的面积分别为S0m=Sa-子X4X4=4, (2)P(A+B)=,而P(A+B)=P(A)+P(B), 111 S6o-Sar-子×号×4X4=1,5ae-×合×4X4 1 P(B)=4-2-6' =2. 又PB+C)=PB)+PC)=是P(C)= 将△ADO,△ABO,△GHO,△BEF,△MCF分别记为S1, S2,Sa,S,S6,从这5个三角形中任取出2个，则样本空间 “任取一张，中三等笑的叛率为 2={(S1,S2),(S1,S),(S1,S,),(S1,S,),(S2,,),(S2, 达标演练四十三事件的相互独立性 S),(S2S),(S,S,),(S,S),(S4,S),共有10个样 本点.记事件N表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三日 1.B 2.D 3.C 4.D 5.ABC 角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件 8 解析：因为P(A十B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) N包含的样本点为(S1,Sz),(S1,Ss),(S,Ss),共3个，所 以P(N)=0 3 P(B)一P(A)P(B),所以0.7=m+0.3一0.3m,解得m 4 7.0.625解析：由题意，开关JA,Ja在某段时间均正常工作的 概率为P,=0.5×0.5=0.25, 开关Jc在某段时问正常工作的概率为P,=0.5, 这段时间内线路正常工作的概率为P=1一(1一P,)(1一P,)》 =1-0.75×0.5=0.625. 8.解：(1)依题意试验的样本空间n=(1,1),(1,2),(1,3),(2, 11.BCD解析：对于A,因为对立事件一定是互斥事件，A 1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. 正确： (2)事件A和事件B相互独立，理由如下： 对B,当且仅当A与B互斥时才有P(AUB)=P(A)十 因为A=(1,1),(1,2),(1,3)},B=(1,3),(2,2),(3,1)}, P(B),对于任意两个事件A,B,满足P(AUB)=P(A)+ P(B)一P(AB),B错误； n0)9=3,P(B)=n(B-3=1 所以P(A)=n(A=3=1 n(2)93' 对C,若事件A,B,C彼此互斥，不妨取A,B,C分别表示掷 霰子试验中的事件“掬出1点”，“掷出2点”，“掬出3点”，则 因为AB=(1,3),所以P(AB)=AB)-1, n(Q)9 P(AUBUC)=分，所以C错误： 因为PA)P(B)=日×号-号-PAB),所以率件A和率 对于D,例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中 件B相互独立， 任摸一个球，设事件A=〈摸到红球或黄球}，事件B={摸到 71 黄球或黑球)， 9,C解析：由PA0-又可得P(A)=1-P(A)=1P8=g 满是PA)=号，P(B)=号，PA)+P(B)=1,但率件A 7 因为P(A)+P(B)=8≠P(AUB),则A与B不互斥，不对 与B不互斥，也不对立，D错误. 立，由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)可得P(A∩B) 12.8解析：因为A,B互为对立事件，则P(A)十P(B)= 3 a b -是，图为PA)XPB)-是-PAnB,所以A与B相 =1,且a>0,b>0, 互独立。 可得2a+6-(日+号)(2a+6)-4+名+号≥4+ 10.A解析：依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二次 a 面试不通过的概率为0.5，因此面试失败的概率为0.3×0.5 b.4-8, 2 a'b =0.15,所以该同学通过面试的概率为1一0.15=0.85. 当且仅当2-会即6-28-4时，等号成立，房以2a十6的 1.cD解析：对A:PM)-名-合，P(V)-名- P(MN)=0,故P(MN)≠P(M)P(N),所以M,N不相互 最小值是8. 独立，故A错误： 13.0.2解析：由题意P(AUB)=1-P(AUB)=1-[P(A) +P(B)]=1-(0.3+0.5)=0.2. 对BP0=品=子，P(N0=品×音+8×号-日 51 14.解：设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件 分别为A,B,C,D,它们是互斥事件. PMN)-x-台 由条件可得PD)-=子，P(B+C)=PB)+P(C)=是 5 数P(MN)≠P(M)P(N),所以M,N不相互独立，故B 错误； (1)由对立事件的概率公式知 对C:P(M)= PA)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1- 5 PN=1x号-P(MN)=×号 11 2=2 有PMN)=PM)P(N)=子，所以M,N相互接立，黄C “任取一张，中一等笑的概率为己 正确： ·34· 对D,PM0=,PN)=号×号+ 1 2X. ,P (MN) 10.AC解析：根据频率和概率的定义易得A、C正确；对B,因 为概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，不能说频率 11 就是概率，放B错误；对D,任意事件A发生的概率P(A)总 满足0≤P(A)≤1，故D错误. 有PGMN)=PMP(N)=},所以M,N相互接立，放D 1 11. 解析：产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组 正确. 数中，如果含有1或2的个数恰有2个，就表示恰有两天涨湘 12.0.009解析：由相互独立事件的概率计算公式，三人向目标 ,其中包括3142486,5241478,3215687,1258697，共4组，则 各发枪一次，目标没有被击中的概率为：P=(1一0.7)(1一 0.8)(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009. 所求概率的近仪值为站-青 121 13.144 解析：每个环节两次检验都不通过的概率为 1 ×4 12.3.5%解析：依题可知，图1中第一个小矩形的面积为5× 0.002>0.5%,所以95<c<100, =12' 所以(c一95)×0.002=0.5%，解得：c=97.5, 则每个环节通过的概率均为1一=是。 由图2的频率分布直方图可得g(c)-0.01×(100-97.5)+ 12121 5×0.002=0.035=3.5%. 所以每个产活我为合格品的板率为（侣）-器 13.解：1)平均数工0(8+7+9+9+10+6+8+8+7+8) 14,解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道 =8, 题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C, 方差=0[(6-8)+2X7-8)+4X(8-8)产+2X9- 则PA-号，PPC)-元PB)PC)- 8)2+(10-8)2]=1.2. (P(BP(C 1 (2)设该运动员射击一次时， A=“命中7环”，B=“命中8环”，C=“命中9环”，D=“命 所以P(B)-是，P(C)-专， 中10环”，用频率告计：率，则P(A)=行P(B)=号， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 P(C)=号P(D)=0: 1 34 45 (1)若E=“命中9环或者10环”，则P(E)=P(CUD)= (2)有3个家庭回答正确的概率为 1+1=3 P,=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=- ××营-号 P(C)+P(D)=5+10-10 (I)解法1：若F=“至少命中7环”， 有2个家庭回答正确的概率为 P(F)=P(AUBUCUD)=P(A)+P(B)+P(C)+ ,=PABC+ABC+ABC)=号××+号× 4 5 pD)-+号++品-品 19 解法2：若F=“至少命中7环”，G=“命中不超过6环”，则 .1 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P=P:十P。 P(G)=0' 所以PF=1-PG=1--品 达标演练四十四频率与概率 310 14.解：(1)分配比例为7200+11800+12000100' 1.D 2.B 3.C 4.A 5.BCD 所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了 6.0解析：因为转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后 7200×100 所在位置均为标为偶数的区域， 72(人).11800×d0=18(人)，1200×700 又因为得到随身所对应的区城均标为奇数，所以得到的奖品 =120(人). 为随身听的概率为0. 总样本量为310的学生的近视率为 7.0.65解析：由题意得甲获胜的情况有：423,123,423,114， 72×80%+118×70%+120×36%_183.4≈59%， 332,152,342,512,125,432,334,151,314,共13种，所以估计 310 310 甲获得活军的概率为P一品-65， 在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计 总体平均数， 8.解：(1)由表可知当n≥500时，频率值稳定在0.6左右，由此 所以可以估计该地区全体中小学生的近视率约为59%. 可估计，当n很大时，棋到白球的频率将会接近0.6. (2)抽取的样本的近视率是 (2)由(1)可知，摸到白球的频率约为0.6，因此可估计摸到白 60×80%+100×70%+150×36%_172 球的概率是0.6.由对立事件的概率加法公式可得，摸到黑球 60+100+150 310 ≈55%， 的概率约为1一0.6=0.4. 由于总体中的个体数为7200+11800+12000=31000， 9,A解析：根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0， 得该地区全体中小学生的近视率为 10]内的频率为：1-(0.06+0.08十0.02)×5=1-0.8=0.2， 720×80%+11800×70%+12000×36%_18340≈59%， 以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人， 31000 31000 估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2. 即该地区全体中小学生的近视率约为59%. ·35·