10.1.4 概率的基本性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦概率的基本性质这一核心知识点，通过掷骰子实例设置5个递进问题，引导学生从具体事件概率分析抽象出性质1至6，构建“实例感知-问题探究-知识梳理”的学习支架，衔接互斥与对立事件概率运算法则。 资料以问题驱动培养数学抽象，通过分层例题（如例2互斥事件加法、例3对立事件转化）强化数学运算，融入“三会”素养。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后训练题与总结助学生查漏补缺，提升概率应用能力。

10.1.4　概率的基本性质 知识点一 问题　（1）提示：P（A）＝1，P（B）＝0，P（C）＝.任意事件的概率取值范围为[0，1]. （2）提示：事件D与E互斥.P（D）＝，P（E）＝，P（F）＝.P（D）＋P（E）＝P（F）. （3）提示：事件H与事件I是对立事件.P（H）＝，P（I）＝，P（H）＋P（I）＝1. （4）提示：M⊆F.P（M）＜P（F）. （5）提示：P（M∪F）≠P（M）＋P（F），原因是事件M与F不互斥. 由P（M）＝，P（F）＝，P（M）＋P（F）＝，而P（M∩F）＝，因此P（M∪F）＝P（M）＋P（F）－P（M∩F）. 知识梳理 ≥　1　0　P（A）＋P（B）　1－P（A）　1－P（B）　≤　P（A）＋P（B）－P（A∩B） 10.1.4　概率的基本性质 【例1】　（1）AC　（2）A　解析：（1）必然事件一定发生，故其概率是1，故A正确；必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，故B错误；不可能事件的概率是0，故C正确；对于一个随机试验中的两个事件，有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），故D错误. （2）因为n（A）＝3，n（B）＝1，所以P（A）＝＝，P（B）＝，故P（A）＞P（B）.故选A. 训练1　D　因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立事件时，P（A）＋P（B）＝1.故选D. 【例2】　解：（1）分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，显然这五个事件两两互斥. 小明的成绩在80分及80分以上的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.18＋0.51＝0.69. （2）小明考试及格的概率为P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 【例3】　解：（1）“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件， 所以“甲获胜”的概率为P＝1－－＝. （2）法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（A）＝＋＝. 法二　设事件A为“甲不输”，是“乙获胜”的对立事件， 所以P（A）＝1－＝， 即甲不输的概率是. 训练2　解：试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，共25个样本点. （1）事件“取到的2个球中恰好有1个黑球”包含的样本点为（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），共12个，故所求的概率为. （2）事件“取到的2个球中至少有1个是红球”的对立事件为“没有一个红球”，即“全是黑球”.事件“全是黑球”包含的样本点为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4个，故所求的概率为1－＝. 【例4】　解：（1）从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥， 则P（A）＝，P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝， P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝，P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝. 联立 解得 故取到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，. （2）事件“取到红球或绿球”可表示为A∪D，由（1）及互斥事件的概率加法公式得P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝＋＝， 故取到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A∪D）＝1－＝. 训练3　解：记事件A为“抽取的为女职工”，事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有 P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（A∩B）＝＝， 所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝＋－＝. 故该职工为女职工或第三分厂的职工的概率为. 随堂检测 1.D　因为A与B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），可得P（A）＝P（A∪B）－P（B）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（）＝1－P（A）＝1－0.2＝0.8.故选D. 2.B　由题得不用现金支付的概率为P＝1－0.4－0.3＝0.3.故选B. 3.C　设摸出红球的概率为P（A），摸出白球的概率为P（B），摸出黑球的概率为P（C），所以P（A）＋P（B）＝0.56，P（A）＋P（C）＝0.68，且P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，所以P（C）＝1－P（A）－P（B）＝0.44，P（B）＝1－P（A）－P（C）＝0.32，所以P（B）＋P（C）＝0.76，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C. 4.0.55　解析：记月收入在[10 000，15 000），[15 000，20 000），[20 000，25 000），[25 000，30 000）内分别为事件A，B，C，D.因为事件A，B，C，D两两互斥，且P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.67，所以P（B∪C∪D）＝0.67－P（A）＝0.55. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.4　概率的基本性质 1.结合具体实例，理解概率的性质（数学抽象）. 2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则（数学运算）. 　　 知识点一｜概率的基本性质 问题　（1）在一次掷骰子试验中，设事件A＝“点数小于7”，事件B＝“点数大于7”，事件C＝“点数大于1”.以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率取值范围是多少？ （2）在一次掷骰子试验中，设事件D＝“出现1点”，事件E＝“出现2点”，事件F＝“出现的点数小于3”.事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？ （3）在一次掷骰子试验中，设事件H＝“出现的点数为奇数”，事件I＝“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ （4）在一次掷骰子试验中，设事件M＝“出现的点数小于2”与事件F＝“出现的点数小于3”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ （5）对于问题（4），P（M∪F）与P（M）＋P（F）相等吗？如果不相等请你说明原因，并思考如何计算P（M∪F）？ 【知识梳理】 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P（A）　　 　0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝　　　　，P（⌀）＝　　　　. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝　　　　　　. 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝　　　　，P（A）＝　　　　. 性质5：如果A⊆B，那么P（A）　　　P（B）. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝　　 　　　　　　. 　　提醒：（1）对于性质3，一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）；P（A）＋P（）＝1；（2）对于性质6，要注意A，B是一个随机试验中的两个事件. 【例1】　（1）〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.必然事件的概率等于1 B.某事件的概率等于1.1 C.某事件的概率是0 D.若A，B为两个事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B） （2）投掷一枚骰子（质地均匀的正方体），设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P（A）与P（B）的大小关系为（　　） A.P（A）＞P（B） B.P（A）＝P（B） C.P（A）＜P（B） D.不确定 【规律方法】 1.由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在0～1之间，即0≤P（A）≤1. 2.利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义. 训练1　若A，B为互斥事件，则（　　） A.P（A）＋P（B）＜1 B.P（A）＋P（B）＞1 C.P（A）＋P（B）＝1 D.P（A）＋P（B）≤1 知识点二｜互斥事件与对立事件概率公式的应用 角度1　互斥事件概率公式的应用 【例2】　在数学考试（满分100分）中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分（包括80分与89分，下同）的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： （1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； （2）小明考试及格（60分及60分以上为及格）. 【规律方法】 运用互斥事件的概率加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果. 角度2　对立事件概率公式的应用 【例3】　（链接教材P243例11）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求： （1）甲获胜的概率； （2）甲不输的概率. 【规律方法】 1.当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P（A）＋P（）＝1，求出符合条件的事件的概率. 2.当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题. 训练2　盒子里装有外形、质量完全相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 提能点｜概率性质的综合应用 【例4】　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率也是. （1）试分别求取到黑球、黄球、绿球的概率； （2）从中任取一球，求取到的不是红球也不是绿球的概率. 【规律方法】 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 训练3　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂的职工的概率. 1.已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3.则P（）＝（　　） A.0.5　 　 B.0.6　 　 C.0.7　 　 D.0.8 2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（　　） A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6 3.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 4.某商店的月收入（单位：元）在[10 000，30 000）内的概率如下表所示： 月收入/元 [10 000，15 000） [15 000，20 000） [20 000，25 000） [25 000，30 000） 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在[10 000，30 000）内的概率为0.67，则月收入在[15 000，30 000）内的概率为　　　　. 1.理清单 （1）概率的基本性质； （2）互斥事件概率公式的应用； （3）对立事件概率公式的应用. 2.应体会 利用概率的性质求解概率问题常用转化法及正难则反的思想. 3.避易错 将事件拆分成若干个互斥的事件时，易重复和遗漏. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.4 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $