达标演练13 余弦定理、正弦定理应用举例&达标演练14 数系的扩充与复数的概念-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

l3.解：(1)利用正弦定理得w2 sin Bcos C=√2sinA一sinC, 达标演练十三余弦定理、正弦定理应用举例 pv2 sin Bcos C=√2sin(B+C)-sinC=√2 sin Bcos C+ 1.D 2.D 3.ACD 4.D 5.C √2 cos BsinC-sinC, 6.(30+30V3)m解析：在△PAB中，∠PAB=30°，∠APB= 化简得sinC=√2 sin Ceos B, 由C为△ABC的内角，得sinC≠0， 15,AB=60m,血15°=i血(45°-30)=5,2，由正弦定 A 可得cosB-2 2 理，得PB=ABsin30 sin15° =(30√6+30√2)m,所以建筑物的高 又B为△ABC的内角，所以B=子 度为PBin45°=(30,5+30,2)×号-(30+30,5)m (②)已知B时-DC.则BD=兰BC-=兰a, 7.√6-1解析：由条件知，∠ACB=80°+40°=120°， 设BC=xkm,则由余弦定理知9=x2十4-4rcos120°， 5,即ac 因为x>0,所以x=√6一1. o. 8.解：(1)由已知得AC=AD=CD=BC=√2， ∠DAC=∠ADC=∠ACD=6O°，∠ABC=∠BAC=45°， 由cosC=号，可得加C=-osC=号， 所以△BCD是等腰三角形，∠BCD=60°+90°=150°， 'sin A=sin(C+B)=sin Ccos 所以∠DBC=2180°-150)=15， 所以∠ABE=45°-15°=30°. +3×2_7 (2)由(1)知△ABD中，∠ABD=30°，∠DAB=60°+45 52=10' =105°， 又sin105°=sin(45°+60)=sin45cos60°+sin60°cos45°= 利用正弦定理可得，sin A sin C7,2=4,即 105 4 -70 所以5am-号×ABXADX血105=°-1中 1 2 联立①②可得c=2. 9.D解析：在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，所以 14.解：(1)因为m=(2b+c,a),n=(c0sA,cosC),m⊥n, ∠CAD=30°， 所以m·n=(2b十c)cosA十a cos C=0, 则有∠ADC=∠CAD, 由正弦定理可得2 sin Bcos A+(sin Acos C十cosA sin C)= 所以AC=CD=10√5」 0, 又∠ACB=75°，所以∠BCD=45°， 即2 sin Bcos A十sin(A十C)=0,又A+C=π-B, 在△BDC中，∠CBD=180°-(30°+45+45)=60°，由正弦 所以2 sin Bcos A十sinB=0, 因为A,B∈(0，x,则血B>0,所以c0sA=-合 定里，得BC=10,5m75=55+5v6。 sin60° 在△ABC中，由余弦定理，得 又0KA<,周光A=答 AB2=AC2+BC-2AC·BCcos∠ACB=(103)2+(5V2 （2)设B=0,因为A-行则C=x-行-0-吾-0，。 +562-2X105×5v2+56)×65-2)=500. 4 因为AD=BD=2,所以∠BAD=B=9,∠ADC=29, 所以AB=10√5，即A,B两个基站之间的牵离为10V5km. ∠DAc-5-g, 10.D解析：由题意，在△ABD中，由余弦定理，cos∠ADB= AD2+BD-AB9+36-25_5 在△ACD中，由正弦定理可知AD CD sin C= in∠DAC,即 2AD·BD 2×3×69 2 3 因为∠ADB∈(0，π)，所以sin∠ADB=√1-cos∠ADB= sa(号-)sm(答-) (g2, 9 年s停m0-言n0)-=2停0+no）小， AC AD 在△ACD中，由正弦定理 sin∠ADB sin∠ACD 化简可得5sn0=月cos0,即an9=5. 4 所以 51 214 sin∠ACD:解得sin∠ACD=年 3 6· 9 所以sin20= 2sin 0cos 0 2tan 0 53 sin0+cos'0 tan 0+1 14' 因为∠ACD为锐角， 所以Sa-号AD·BDsin(-20)-号AD·BDsm29- 所以es∠ACD=V-ZAcD=-(g） s22 7 6 ·11· 11.70W3解析：由题可得∠APB=∠PAB=30°，所以PB= 3 140米，由正弦定理P0 1.2 里。一BS可得PO=C0° 解折：由公式d=ms0叶如0得e=as号is血号 sin90° 15 =140×5=705米 2 2i. 2 12 所以复数。子虚邦为汽 解析：在△ABC中，AB=30√2，AC=20,∠BAC= 135,由余弦定理，得BC2=AB2十AC-2AB·AC·c0s135= 8.解：(D由（分x-）+(红+号）i=5+14可得 3400,所以BC=10√34.由正弦定理，得sin∠ACB= 2x-y=5 AB BC in∠BAC-3Y3,由∠BAC135°知∠ACB为 得=4 4红+2g=14 y=-3 角，放as∠ACB=5g厘款s9=os（∠ACB+45)= 3 、2)由(x+)=i=二2+15i可得仁152解得 cos∠ACB cos45°-sin∠ACBsin45°= 竖x( y=-5 33)= 34 17 (3)由(x2-x-2)+(2y2+5y+2)i=0可得 |x2-x-2=0 1以.解，1)由△ABC面我公式释S-号×2XAB×号 2y2+5y+2=0 解得x=2或-1y=一号或-2：故实数 x=2 23, (x=-1 x,y的值可以为： 所以AB=4, y=- 23y=一2y—0 在△ABC中，由余弦定理得AC2=22+42一2×2×4× c05120°=28， 或/rs-1 y=-2 所以AC=2√7 9.C解析：方程x+3=0,即x2=-3=30,开方得x=士51 (2)令AD=m,CD=n, 10.A解析：当a=1时，复数(a-1)(a十2)十i=i,为纯虚数： 在△ACD中，由余弦定理得(27)2=m2+n3-2 nn cos60 当复数(a一1)(a十2)十i为纯虚数时，有 =(m十n)2-3mn (a-1)(a+2)=0,得a=1或a=-2. 则6m+m)=28+3mm≤28+3x(士"）， 所以“a=1”是“复数(a一1)(a十2)+i为纯虚数”的充分不必 即m十n) 要条件， 4 -≤28 11.(x-1)(x十1)(x-i)(x+i)解析：由已知x-1=(x2)2 -12=(x2-1)(x2+1)=(x-1)(x+1)(x-iD(x+iD. 所以m十n≤47， (m=2cos 0 当且仅当m=n=2√7时，等号成立. 2[时] 解析：由1=得： +sin0=4-m21 所以四边形ABCD周长的最大值为6十4W7. 14.解：如图所示，考点为A,检查开始处为B, 祭得=40-血0=4（如0-君）广-方：雨-1<血0 设检查员行驶到公路上C,D两点北 ≤1， 之间时收不到信号，印公路上C,D 1 两点到考点的距离为1km, 当sin9=g时，d=一16，当sin9=-1时，Am=5, 在△ABC中，AB=√5(km), 综上，A的取值范围为一6 f17 AC=1(km),∠ABC=30°， 13.解：(1)因为M={2,m2-2m十(m2十m-2)i,所以2≠m2 由正弦定理，得sin∠ACB=sin30 >×AB—2、、 -2m+(m2+m一2)i,m∈R; ∴.∠ACB=120°（∠ACB=60°不合题意）， 因为2∈M,2∈N. .∠BAC=30°，.BC=AC=1(km). 所以2∈(MnN),所以M∩N≠g恒成立. 在△ACD中，AC=AD=1,∠ACD=60°， 即无论实数m取任何值，M∩N≠心恒成立. ∴.△ACD为等边三角形，.CD=1(km). 故m∈R. “s×0=5 (2)因为MUN=N,所以M二N. 因为M={2,m2一2m+(m°+m一2)i},N={-1,2,4i}, ∴.在BC上需5min,CD上需5min. 所以m2一2m十(m2十m-2)i=一1或m2一2m十(m2十m ∴.最长需要5min检查员开始收不到信号，并持续至少5 2)i=4i min才算合格. m2-2m■-1 当m2-2m十(m+m-2)i=一1时，有： 解 m2十m-2=0 达标演练十四数系的扩充与复数的概念 得：m=1: 1.B2.B3.C4.D5.BD jm2-2m=0 解 6.1解析：因为(m°+3m-4)+(m2一2m-24)i(m∈R)是纯 当m2-2m+(m2+m一2)i=4i时，有： m3+m-2=4 虚数，所以m+3m-4=0 入n2-2m-24≠0解得m=1. 得：m=2. 综上所述：m=1或m=2 ·12· 14.(1)解：由题意得，2-6一m)+(3m十2i2 所以102,1=√/+2=5,10221=√-1D+3= 10 =10-m)+(3m+2i √10，Z,Z21=√22+(-3)=13. 10 ,复数之的实部与虚部相等， 由余孩定理可得cos∠2,02Z,=,5+10-13-V巨 2×5×1010' .10-m=3m十2，.m=2. (2)证明：由(1)得，a+b=2, 所以z,02,-语。 法1：a+b=2,.(3a+2)+(36+2)=10, 所以△02，乙，的重象S=102102,1sim∠2,02，= 由基本不等式得，（√3a+2+√3b+2)°=3a+2+3b+2+ 2√(3a+2)(36+2)≤[(3a+2)+(36+2)]·(1+1)=20, 吉×w5x而×9-子 当且仅当3a+2=√3b+2,即a=b=1时等号成立， 12.-2十i解析：因为复数一1十2i在复平面内对应的点为A √3a+2+√3b+2≤25. (一1,2)，此点关于直线y=一x的对称点为点B(一2,1)，所 法2：要想证明√/3a+2+√/3b+2≤2√5成立， 以OB对应的复数为一2+i, 只需证明（√3a+2+√3b+2)”≤20成立， 13.解：(1)因为OZ的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0， 即证明(3a+2)+(3b+2)+2√/(3a+2)(36+2)≤20成立， 则有1og(m2-3m-3)=0,所以m2-3m-3=1. a+b=2,.(3a+2)+(3b+2)=10, 所以m=4或m=一1. 即证明√(3a+2)(36+2)≤5成立， 因为四，3加-3>0所以m=4, 由基本不等式得：√3a+236+2刀≤3a+2斗36+2-=5， m一2>0， 2 此时x=i,0Z=(0,1),1021=1. 当且仅当3a十2=36+2，即a=b=1,即时等号成立， (2)因为OZ的终点Z在第二象限内， 命题得证。 1og2(m2-3m-3)<0, 达标演练十五复数的几何意义 则有 1og2(m-2)>0, m2-3m-3>0, 1.B2.A3.C4.B5.AD m-2>0, 6.5解析：由已知可得引z=√2+(-1)严=√5 7.(-1,2) 解折：由题意十0：解得，-1<m<2.则实数 所以n(中区.)款实数曲聚准范程为件百小 m-2<0, 14.解：(1)因为点Z(2m-1,m+1)在函数y=2x-6图象上， m的取值范围是（一1,2）. 所以m十1=2×(2m-1)-6,解得m=3. 8.解：复数x=(a3-1)十(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2 (2)0Z=(2m-1,m+1),0A=(2,-1), -1,2a-1). 因为O2与OA的夹角为纯角，所以Oz·OA<0, 1)若x对应的点在实轴上，则有2a-1=0,解得a=2, 所以(2m-1,m+1)·(2,-1)<0, |a-1<0, 即4m-2-m-1<0,即m<1, (2)若x对应的点在第三象限，则有 2a-1<0. 当两向量共线且反向时，设O2=AOA,A<0, 解得-1a<号，放实数。的取值花国是(-1，)】 即/2m-1=2a lm+1=-11 解得X=一号m=一子 (3)若x对应的点在抛物线y=4红上， 则有(2a-1)2=4(a2-1),即4a2-4a+1=4a2-4, 所以实数m的取值范圈为(-©-)U(-子1) 得a一 达标演练十六复数的加、减运算及其几何意义 9.A解析：1z12-21x|-3=0,∴.(x-3)(x|+1)=0, 1.C 2.C3.A 4.C 5.ABD x=3,表示一个圆. 6.5解析：原式=(2+i)-(-1-3i)=3+4i=√3+4 10.AC解析：对A,若之为实数，则m一1=0，所以m=1或 =5. m=一1，A正确： 7.2解析：由题意知AB=O品-OA,∴A店对应的复数为(1+ 对B,若：为纯虚数，则m-1≠0 m3-2m-3=0 ,解得m=3,B 3iD-(1+iD=2i,∴.|AB=2. 错误； 8,解：因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是04与0B,其 对C,若复数之对应的点位于第二象展，则m一1>0 {m2-2m-3<0 中O是原点， 所以0A=(-3,-1),0B=(5,1), 解得1<m<3,C正确： 所以OA+0B=(-3,-1)+(5,1)=(2,0), 对D,若复数￥对应的点位于直线y=2x上，则m2一1 所以向量OA+OB对应的复数是2， 2(m2-2m-3),解得m=5或m=-1,即x=12+24i或 z=0,D错误. 又BA=OA-OB=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2), 11.2解析：因为0Z,=(1,2),0Z=(3,-1,Z乙2-0Z, 所以BA对应的复数是-8一2i, A,B两点之间的距离BA=|-8-2i=√/(-8)2+(-2) 021=(2,-3), =2√17. ·13·达标演练十三余弦定理、正弦定理应用举例 [能力提升] [基础巩固] 多.为加快推进G+光网”双千兆线市建设，知图，在某地地翼有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D 1,如图所示，两伟灯塔A相B与青岸观察站亡的距离等，灯塔A在风察请南偏挥“方向上，灯塔 再个基站建在汇的唐岸，距商为103km:基站A,B在江的北撑，测得∠A进=7，∠AD= B在残察站南精60方向上，则灯塔4在灯精B的 1o,∠ADC一°，∠AD用一，图A,B再个基站的距离为 440 4 n 第11画阁 第11圈围 第行墨国 第1魅m 第后延丽 嘉7圈圆 A.10 km B.30-1)km C.302-1)k 久105km A.北篇东10方向上 我北信程1方向上 1(,条类金会徽以汉学“冬“为灵感来源，结合中国书法的艺术形 二，南箭东0方向上 包，南编西0方向上 态，将整久的中国传统文化底虚与国际化风练融为一体，星现 2.一缠轮船以18里/时的过直答北镜东的方向直线航行，在行触其某处时，该轮图南偏东方 出中同在新叶代的新形象，新梦想，某同学查阁翼料得知。书法 向上10海里处有一灯塔，继续行装即分柳后，轮精与灯坼的师离为 中的一些背殊国笔都有周定的角度，比如在喜折位置通常采用 A.17海里 B16汽里 C15寿里 D14海里 30,后，60,0,120°，150等特殊角度下，为了判斯”冬“的岁折角度是香符合书法中的美学要求 3.(多4)△AC的内角A,H,C的对边分别为u,,c,且(26一raA=u0mC,b=23,若边倒 废同学取瑞点绘刻了△ABD,测料AB-5.BD-8,AC一1.AD一-多.若点C价好在边BD上·请 的中线AD一$，则下列结论正确的有 银实计算©∠AD的简 A4-3 热A=活 ng C.AB.AC=6 D.△ABC的M积为3，S 11.某人想了解大桥的最高点到地而的距离，在地面上的A,目两从测得最高点P韵和角分料为和 4,如图，在离地面青m的格气球M上，昆察到山原C处的仰角为0，在山群A处裂案到山顶C处的 C点A,B与P在泡面上的拉影)在同一条直线上).又量得AB一1O米，根整测址数黎可背 第角为0，且热气球M在电面上的射影D在A左侧，若A到热气球的电离AM=400:m,山的 高度)= 米 高度BC-60mm,∠ACM-4,屏8= 1?,如图，位于A处的信息心我透：在其玉素方向相矩30,2海里的B处有一壁酒图君险，在原地等 A.30 B C20 D.15 作膏教，信息中心立即把消息告如在其南偏程4后”，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝戈编东d 5.已知△AC中，角A,B,C所对的边分崩是a,春，r,若{a十h一》(6+十a)=3山，且nC一 的方向沿直线C形前住B处数报，期*的值为 2mBA,那名△A以是 ( 13,如用，在平面四边形ACD中，∠出120，C=2,△AC的面积为23， A.直角三角形 丘等腰三角形 C等边三角形 D等题直角三角形 (11求AC, 5,如图所示，为湖一建就物的高度，在地而上选夏A,H两点，从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分 (2)看∠ADx=G0,求圆边形AD周长的量大值， 联为30，，且A,B再点可的距离为0曲，烟该建城物的高度为 7,已复A精在订塔C北偏东80处，且A到C的矩离为2km:B在句塔C北偏西处：A,B丙 船的距离为多km,用B到C的思离为 km. 8,如周.△A风是等边三希形，△A以是等模直角三角形，∠H=0,BD 14,为保障高考的公平推，高考时解个考点那要安装干魏屏蔽仪，要求在考点周用1k出处不能收到 交AC于E.AB-2. 手帆信号，检養员拍查青岛一考点，在考点正西3k和有一条北偏东0方向的公德，在此处检 (1求∠AE的度数： 查员用手机接通电话，以每小时12km的速度骨公路行徒，何量长需整多少分件检查员开的收不 (2)米△ABD的面积 到佰号.养至少特修多长时制该考点才草合格？ 25 6 达标演练十四数系的扩充与复数的概念 [能力提升] [基础巩因] ,在复数范国内方程十3一0的解为 L已知复数1一wa十i%《0<®9x)G为虚数单位)的实溶与业溶互为相反数，期x的取值不可 A.- Bi 能为 C土1 D.± A号 10,设4∈服.划“a=1“是“复数(w一1)(，十2)+5为地电数的 C. A.充分不必要条件 生.若寸+(1一2r十8m-20,求实数m的取值能国 弘必要不充分条件 A.l.+o∞ (位+ C.(-,2 充要条作 D.昆不充分又不必要条件 1.若5R且x+含)+红-y-i为业数单位)，期士的值是 一y ,在夏数范围内：，将多项式x”一1分解成为一次因式的积.期'一1= 12.已知复数，一m+(4一w)i(规ER),±1一2sd+(A+n8)(以，0ER》,若1一1，周入的取值 A.-5 且5 c贵 范用为 4.如果用C、R智【分料表景复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集：椰么有 13.已如集合M一2，m一2+(w+w一2，N=一1,2，讨论实数w取何雀时： A.C-RUI 且.R门1={0 《1》∩N≠.2)WUN=N. CR-COI )RI=② 五，（多选已知为桌数单位，下判命避中正确的是 A.若1小EC,煤x十y一1+i的充要条作是1一y一 我(a十1)i(aER)是纯退数 C若：+==0，则1==0 力，当m4时.复数g(m一2w一7)十(w十5w十6i是纯业数 .已知夏数《m十3m一4)+(m一2m2)i(w∈R)量纯虚数，网w一 7.欧拉公式e一日十sn(e为自然对数的放数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家核拉发明的， 十1一)是英国科学期刊物避世界》泽选出的十大县伟大的公式之一，根提欧枚公式可知，复教： 1.已加m为实教，复数：-信一m)十m十21，二韵实部与度部相等，其中为成数单位 虚军为 1》求出m的值于 总.求端足下列条件的实登的值。 2)若正数丝，b离足M十6-m,正明3仙十2十6干区35. a>安l+(x+导-5+1n (2)(+x)-x--241 8)(x2-x-2)+2y2+y+80i0 27 2球