达标演练9 平面向量数量积的坐标表示&达标演练10 平面几何的向量方法 向量在物理中应用举例-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

9.B解析：由题意可得a十ab=(1十入，2).由(a十1b)∥c,得：7.11解析：由题意，可建立如图所示的平面直角坐标系， 1 (1+1)4-3×2=0,解得1=2 10.BCD解析由平面向量基本定理，可知A正确：例如，a= (1,0)≠(1,3)，但1=1，故B蜡误：因为向量可以平移，所以 a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终 点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的始点是原点为前提 O(D)A 的，故D错误. 则D(0,0),C(0,1),B(1,1),A(1,0),设E(1,y),且0≤y 1.(得)或(-号) ≤1， 解析：因为A(1,3),B(4,一1)， DE.CB=(1,y)·(1,0)=1+0=1, 所以向量AB=(3,一4)，所以与向量AB共线的单位向量为 DE·DC=(1y)·(0,1)=y, (层)（号） .当y=1时，DE·DC的最大值为1. 8.解：(1)a=(2,1),b=(3,-1), 12.(3,3)解析：由O,P,B三点共线，可设OP=OB=(4, ∴.a·b=2×3+1×(-1)=5,|a|=√22+1=5,1b1= 4), 则AP=0币-OA=(4以-4,4以). √3+(-1)序=10， 成的量。与b简夹角为0，因s0=日治后X示 5 又AC=OC-OA=(-2,6),由AP与AC共线，得(4a-4) X6-1X(-2)=0,解得1-，所以O市-O成=(33， 2 所以点P的坐标为(3,3). 13.解：：AB=(1,3),AC=(2,4),AD=(-3,5), 又由0e[0,,故0=不，即向量a与b的夹角为开 (2)由2a+b=(7,1), BD=(-4,2),CD=(-5,1), AD+BD+CD-(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)-(-12, ∴.|2a+b1=√7+1下=5√2. (3):ka-b=(2k-3,k+1),且(ka-b)⊥b, 8). .3×(2k-3)一(k十1)=0，解得，k=2. 根据平面向量基本定理，一定存在实数m,,使得 9.C解析：建立如图平面直角坐标系，则a=(2,1),b=(2,一1)， AD+BD+CD=mAB+nAC, .a-Ab=(2-2λ，1+)， ∴.(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), ∴.1a-b|=√(2-2λ)+(1+A)=√5-6x+5 即(-12,8)=(m+2n,3m十4n), :m+2n=12解得m=32, -(-+ 3m+4n=8, ln=-22. ..AD+BD+CD-32AB-22AC. 小当1=号时，a-0取最小雀为5 14.解：(1)AE-AB+BE=(2e1+ea)+(-e1+aea)=e1十(1 +a)e2, 因为A,E,C三点共线，所以存在实数k,使得AE=kE心， a 卿e1+(1+A)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1 1)e, b 因为e1,e:是平面内两个不共线的非零向量， 房以公中”)号-音-一号 10.ABD解析：以A为原点，以AB所在直线为x轴，AE所在 ed-成+成-6-，-2a+6,=-0,70, 1 直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， =-3×8,10-×(-1,-2)=(-9,-30+(分) -(是-2 (3)设A(x,y), 由题意可得A市=BC-(-名，-2小， 8号-=-号8-y=-2=8y=5 对于A,由图可知B(20,0),F(-10,103),D(20,20V3), 故点A的坐标为(8,5). E(0,20√3)， 所以BF=(-30,103),DE=(-20,0), 达标演练九平面向量数量积的坐标表示 1.B2.C3.B4.B5.BD 向量时在向量D成上的投影向量为酝，D正.或 IDEI IDE 6.一6解析：因为a=(4,6-m),b=(m,2),且a⊥b, 所以4m十2(6-m)=0,即2m十12=0，解得m=-6. D=昌成=-是，放A正确： 对于B,由图可知A(0,0),C(30,10√3)， 所以|a+a=√(x4z+1十y4y+1)'+(x4y4+1一x4+1y4)了 所以AD=(20,203),BE=(-20,20√3)，CF=(-40,0), =√江+1十xy+1十x+y+yy+1, 所以AD-BE+CF=(20+20-40,20√5-20√3+0)=(0， 故a+z|-a+1l|aal(k∈N). 0)=0,故B正确； 达标演练十平面几何的向量方法 对于C,AC=(30,103),AE=(0,203), AC+AE1=√302+(303)子=√3600=60，故C错误； 向量在物理中应用举例 1.C 2.B 3.C 4.D 5.ABCD 对于D,设P(x,y),则AP=(xy),AB=(20,0), 所以AP·AB=20x, 6y=-名+2解折0成.0成=)1,2=x+2y 因为点P是正六边形内部（包括边界）的动点， 所以-10≤x≤30， 428y=-x+4,则y=-名+2 所以当x=一10时，AP·AB取最小值，最小值为-200.故 7.30解析：BC=AC-A店=(3,6)=AD, D正确. 又因为AB·BC=(4,-2)·(3,6)=0,所以四边形ABCD 1.名解析：因为C-花-店=(-3,2)，所以aA+A) 为矩形 又1AB1=√/+(-2)-25，|BC1=√3+6=35， ⊥BC→(aAB+AC),BC=0→aAB.BC+AC.BC=0, 所以Ss5AcD=|AB1X|BC1=25X35=30. 即-6似+7=0，解得入-行 8.解：设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b.而|BD1= 12.(1,3)(答案不唯一)解析：由向量b=(4,2),可得向量1b |a-b|=√a-2a·b+b=√1+4-2a·b-=5-2a·b =20, =2,所以5一20·b=4,所以。·b= 国为向量。在b上的投影有重为弓6，可得合·合= 又1AC=1a+b13=a2+2a…b+b=1+4+2×号 名：可得ab=10, 所以AC1=6,即AC=6. 9.B解析：如图，由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG 设a=(x,y),可得4x+2y=10,取x-1,y=3, 与垂直方向成60°角.设A处所受力为F。,B处所受力为F。, 此时向量a与向量b不共线，故a=(1,3). 物体的重力为G,∠EGC=60°，∠EGD=45°，则有 13.解：(1)a-mb=(-m,1-m),由(a-mb)⊥b, |F.|cos45°+|F,|cos60°=|G=100①，且|F.I·sin45= 则有a-mb)b=-m十1-m=0,即m=之 |F.lsin60②.由①②解得|F.=150√2-50√6.故选B. (2)2a-b=(-1,1),a+b=(1,2), F 12a-b1=√（-1)+1=√2，la+b1■√1+22=5， 45 则(2a-b)·(a+b)=-1+2=1, 则cos(2a-b,a+b)=2a-b)·(a+b) 110 2a-b·1a+bT√2×√5 10 10.AC 解析：选项A,设D为BC的中点，由于OA=一(OB+ 则a-a+--(0T-3严 OC)=一2OD,所以O为BC边上中线的三等分点（靠近点 10 AC AB s=2l2a-b11a+b1s血(2a-b,a+b)=号xE× D),所以O为△ABC的重心.选项B,向量 分别 IACI IABI 5×30-2 表示在边AC和AB上取单位向量AC和AB,记它们的差 是肉量BC,则当O·(C AB =0,即OA⊥B'C 14.解：(1)因为a1=(1,2),a2=(3,-2),依题意得B2=(一2， -3),所以x3=a:·a,=3×1+(-2)×2=-1,y=B:· a1=(-2)×1+(-3)×2=-8, 时，点0在∠BAC的平分线上，同理曲O丽·(BC BCI 即a,=(-1,-8),所以|a11=√(-1)2+(-8)7=√65. BA (2)川a,|,la+1l,la+:|的等量关系是a+a=a+1川a: =0,知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC IBAI (k∈N). 证明如下： 的内心.选项C,OA十OB是以OA,OB为邻边的平行四边 依题意得|a:|=√x十y,a4+:|=√+1十y+1, 形的一条对角线，西AB是该平行四边形的另一条对角线， 所以1a1lla:|=√十y√+1十y+t AB·(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形，即IOA =√江+1十xy1十xi+1y十yyi+1, =OB1,同理有OB1=1OC1,于是0为△ABC的外心，选 因为B+1=(y+1,一工+1)， 项D,由OA·OB=OB·OC得OA·OB-OB·OC=0, 所以+=a1·a:=241x,十y+1, ∴.OB·(OA-OC)=0,即OB·CA=0,∴.OB⊥CA.同理 y+8=B+1·a4=工y+1-工+1y, 可证OA⊥CB,OC⊥AB.OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB, 即a+=(xx+1十yy+1x4y+1x+1ya), 即点O是△ABC的垂心. 8 n.[ 解析：取线段AC的中点O,连接OB,则 设P(xy), 则PM=(1-x,-y),PC=(0-xW3-y), OB⊥AC, (PA+PB)·PC=2PM·PC=2[(1-x)(1-x)-y(W3 以点O为原点，OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如下 y)]=2(x+y2-2x-3y+1) 图所示的平面直角坐标系， 则A(2,0),D(1,W3),设点E(x0),则-2≤x≤2 -2-w+(-]- EA=(2-x,0),ED=(1-xW3), 所以Ei.E前=(2-x01-x)=x2-3x+2=(x-2)】 款当-1y-时，i+P丽…P元取最小值-是 达标演练十一余弦定理 1.A2.A3.B4.A5.AD 因为面数f)-(x-）广-号在[-2,2）上为减面数， 85 解析：由余弦定理可得64=62十49一2×b×7×7= 1 b2-2b+49, 在(2,2]上为增函数， 故b2-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 所以fx)=f(）=- 文cmC-4装-安两ce0.成c-号 又因为f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)mm=12, 7.子解析：由余弦定莲得：a2=6十2-2 becos A=26 因此，·前饰取位花国是[以 26*cos A=26*(1-cos A), ,a2=2b2(1-sinA),.cosA=sinA,又cosA≠0， ..tan A=1, :A∈(0，x,A=有 8.解：(1)因为a=2,c=3,c0sB= 4， 所以6-d3+e-2 accoB-2+3-2X2X8x}-10, E O 所以b=√10. 12.25e1000J解析：：|F|=50,且F与小车的位移方向的 (②)由余弦定理可得c0sC=。+6-c2=4+10-9 2ab 2×2×√10 夹角为60°，.F在小车位移上的授影向量为F|·cos60°e 25e.,'力F作用于小车G,使小车G发生了40m的位移， =10 8 ∴.力F做的功W=25×40=1000(). 又C为△ABC的内角， 13.解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得 G+Gltn0. 所以sinC=V1-cosc-35 8 当0从0趋向于90°时，F,,F2都逐渐增大. 9.C解析：在△ABC中，a:b:c=3:√7：2， 设a=3t,b=√7t,c=2t(t>0),由余弦定理得cosB= e自R-lR2IGl,得m>2 a2+c2-6=1 又因为0°≤0<90°，所以0°≤0≤60. 2ac 14,解：(1)当AP=PD时，则P为AD的中点， 因为B∈0，动，所以B=子 由于△APQ△CBQ,所能-是- 10.C解析：因为∠ABC=120°，AB=2,BC=1, 所以AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+1-2X 2x1x(-2）-1 11 所以x=一3y=3 所以AC=√7， 所以c0s∠BAC=AC+AB-BC_7+4-15 2AC·AB (2)由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC= 3, 2×7×227 建立如图所示的直角坐标系， 所以AB.AC=|AB1·IAC1cos∠BAC=2X7X。 5 27 =5. 山.(，) 解析：因为a2<b2十c2,所以cosA= 0+a>0,所以A<受 2bc 又因为a为最大边且三角形是不等边三角形，所以A>B, A>C,所以3A>A+B+C=x,即得A>子， 则A(2,0),B(0,0),C(1,3), 取AB中点M,连接PM,PB,则M(1,0),PA+PB=2PM, 所以晋<A<受 ·9·达标演练九 平面向量数量积的坐标表示 1a,(多志)（到龄魔）我木钢装韵正、反面可加管印制公司m、图片，产品广告、联名方式等，表而较 强的摩擦力反可以动止城璃，烧杯滑落，又可保护桌看不被黄坏，如图。，这是一个边长为0用米 [基础巩固] 的正六边形的软木据装ADE下，属下列透项正确的是 ( 1,已日年-(2.-1).h-(14-10,娟(a十2h1·(g-3b等于 A.10 且一10 C.3 D.-1 8,已每向量。一.一)，h-〔6，四，若g⊥h,划2a一等于 A.80 且160 .4 D416 8,已向景年-(1.2).-(x,一1，若8Lb,期实数x的值为 A,-2 且 C-1 DI 人间铁厅在尚量正上的投影间禁为一A石 4.已抛点A(-1,2>,B10).C1,2》.D(4,2),屏向量A后与CD夹角的余弦值为 A哥 B.AD-BE+CF=0 c- C.IAC+AE-30 五，（多4）向感4=(2,0》一(r,1》,雨下列说法E端的是 D.点P是正大边形内花（包括边界）的动点，AP·AB的最个值为一0 A.若x=2,荆ab 且，若4上，则x=0 11.已知向量AD-(2,0),AC--1,2》,且满足2A面+AC)LC,臂A的值为 C.若b一21a,期z=/5 12.已知向量b一(4,2，若量。在b上的投步向量为。，且a与b不共线，请写出一个符合第件的 n若0与0一6夹箱的余弦值为受，喝- 向慧年的坐标 13.已知向量g=(0,1,b=(1,1)- 6.已知向绿a=I4,0一m》,d=〔w,2),且a⊥b,期m (1若(：一mh)⊥b.求实数m的值： 无，已自正方形ACD的边长为I,点E是AB边上的动点，期DE·CB的值为 DE.DC (2)求以a=b与a4b为邻边的三角形的置积. 的量大值为 8.已短向量8=2.1》，b=(8.-1), (11求与的失角 (2)求2a+赤1 (8)若(a一)1B.求实数占的值， 1儿（到新题）设非零向量，=()月=。一，长水：并定这· y。a一。1·， (1若a=1,2,2=43.一2).求a31 (2)写出a,a,-,+1(∈N)之间的等量关吊，井证明. [能力提升] 0,已每向量年：，雀正方悬网精中的位置如图所示.若同格策上小正方形的边长 为1，属a一bA€民》的量小值是 A.2 我5 分 1房 达标演练十平面几何的向量方法 1,《多选》点)在△A拟C所在的平面内，喇以下说法正晚的有 向量在物理中应用举例 A.若OA+O+风-0，周点0为△A以的重C [基础巩因] 若成(C丽}-丽：（区厨 =,期点0为△AC的看心 LACI IABI BC .在△A风中，若C不+C)·C-C)-0,期△AC C若0A+O站·AH=《0B+(无)·报=0，荆点0为△A以C的外心 A.是正三角形 B是直角三角形 u.若0i.OE-O话·-元.OA,则点0为△ABC的内 C.是等碳三角形 D形状无法绳定 3.两个大小相等的共点力F+F,当它们夹角为0时，合力大小为20N,期当它钉的卖角为120时. 1,已知等边三角彩AC的边长为，D为边AB的中点，E是边AC上的动点，期E以·ED的取算 合力大小为 范围为 A.40 N a.10,2N C20,厘N 2.如图一个力F作用于小车G,使小车G发生了的m的位移.P的大小为列 D.105N N,且与小车的位移方向的夹角为的是与小车位移方向相同的单位向量，属 品，已知正方BA联p的边长为1.设AB=a风-，AC-c.则g一青+e等于 F在小车位移上的投感向量为三，力F做的功为 ● A.0 且E C.2 D.2应 品，如图：在相蝇)处用水平力F:缓慢拉起所受重力为G的物体，蝇子与船任方向的夹角为，阻子 4.考两人是起重量为G的蜜行包时，夹角为9，两人用力大小都为F,若F一G,则的作为 所受列的拉力为F, (1求F,,F,的音角的变化面变化的情况： A.10 且6 C.0 D.12 《2》当引F,2G引时，求g角的颗植范围， 五.（多该）两个力F,=+:F:=4一5可作用于可一周点，使该线点从A(,15移到点H70,其 中（是x结y轴正方向上的单位向量，下列销论正确的有 A.下，对该质点做的功为一8 BF:对领质点做的功为 C下，F,的合力为=M一 DF,F,的合力F甘该项点做的功为一6 在半面直角坐标系y中，若定点A(1,2)与动点Pa)情是OP,1-.则y与x的数关 系式为 7.在四边形ABCD中，已知AB-(4.-2》.AC-(7.).AD-(3.),雨四边形ABCD的直 .已知四边形AD是边长为z的菱形，∠A以=看，P为平雨AD内一点C与P相交于 积是 点Q 从.如图，平行西边忌AD中，已知AD一1，AB一2，对角线D一2，求对角线A( 的长 1》若A正-PD,AQ=x+yB,求ry的值： 《2求《P+PB)·P心最小慎 [能力提升 马，如图，用两根分别长5,2米和10米的调子，将10N的物体吊在水平展顶A4上，四 平衡后，G点距层面距离恰好为5米，绳子的重量氢略不计，则A处所受力的大小 为 A112ow2-506)N 且(1502-50%)N .(1203-0t1N D150w8-502)N 像