精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

武强中学2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 出题人:郝敬先 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 2. 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果. 【详解】， . 故选：B. 3. 在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理可求解. 【详解】，， ， 由正弦定理得， . 故选：B. 4. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 5. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 6. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案. 【详解】解:由余弦定理, 故代入边角互化得: ,整理得: 所以,故三角形为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化. 7. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可. 详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C． 法2：选项验证法！ 观察选项，当时，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 故选:C． 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意. 【详解】选项A，，，，又， 由正弦定理得：，只有一种情况， 此时三角形只有一解，故A符合题意. 选项B，，，， 由正弦定理：得：， 又，，只有一解，故B符合题意. 选项，，，， 由正弦定理得：， 无解，不符合题意. 选项D，，，； 由正弦定理：得， 此时 三角形只有一解，故D符合题意. 故选：. 【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题，属于中档题. 10. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若为非零向量，则与同向 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若，，则 D. 的充要条件是且 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由共线向量的概念和单位向量的求法即可判断；对于B，考虑特殊情况与的夹角为即可判断；对于C，由相等向量的概念即可判断；对于D，由相等向量和共线向量的概念即可判断. 【详解】对于A，因为是个正数，所以与是同方向的单位向量，故A正确； 对于B，当与的夹角为时，，，故B错误； 对于C，由，得，的长度相等且方向相同；由，得，的长度相等且方向相同， 所以，的长度相等且方向相同，即，故C正确； 对于D，当且方向相反时，不成立，所以且不是的充要条件，故D 错误. 故选：AC. 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量，的夹角为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】由单位向量，的夹角为，得， 所以. 故答案为： 13. 已知，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式可得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 14. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积定义和运算性质进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，且与夹角为， ，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， ， 又， 所以，即与的夹角为． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 17. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 18. 在中，． （1）求及的值； （2）若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的正弦、余弦公式即可求解； （2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，又， 则，， ， 所以， . 【小问2详解】 在中，因为，则锐角， 又，则， 因为，，则是锐角， 所以， 在中，， 所以 . 19. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）若成立，求的取值范围． 【答案】（1），最小正周期 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再根据最值待定的值与最小正周期； （2）利用整体角代换求解函数单调区间即可； （3）将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围. 【小问1详解】 ， 由题意，解得，的最小正周期． 【小问2详解】 令，则． 因为的单调递增区间是， 由，得； ，得； 所以，在的单调递增区间是． 【小问3详解】 由题意知，，即， 当时，， 所以当，即． 所以，即． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武强中学2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 出题人:郝敬先 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若非零向量，则与同向 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若，，则 D. 的充要条件是且 11. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量，的夹角为，则_____________. 13. 已知，则的值为______． 14. 若复数是纯虚数，则实数__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断形状． 17. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 18. 在中，． （1）求及的值； （2）若，求． 19. 已知函数的最小值为1． （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间； （3）若成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$