期中考试数学B卷压轴题模拟训练（三)-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷压轴题模拟训练（三) 一、填空题 1．若x满足，则x的值为 ． 【答案】，0 【分析】本题考查了零指数幂以及1的任何次幂的性质和得偶次幂的性质，熟练掌握指数幂的基本性质是解题的关键； 通过对底数为1，，指数为时，三种不同情况进行分析解方程即可． 【详解】解：当底数为1时 当时，即． 把代入指数，得， 则，满足条件． 当底数为时 当时，即． 把代入指数，得 则，不满足条件． 当指数为时 当时，即． 把代入底数，得， 则，满足条件． 综上，x的值为或． 2．已知，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形，设，则，，于是原式可变形为关于的等式，求出即为所求的式子的值． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 3．已知，，则的值为 ． 【答案】218 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式变形可得，，两式相加并整理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①+②得：， ∴． 故答案为：218． 4．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 5．如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 【答案】 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为， ∵，而， ∴， ∴， 故； 又∵， 而， ∴， ∴， ∴， 而，则， ∵， ∴， 而， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用（或）证明三角形全等是解本题的关键． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 【答案】 【分析】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H， ∵AD⊥BC于点D， ∴AG=AB，∠H=∠ADG=90° ∴∠AGD=∠B， ∵AE//BC， ∴∠EAH=∠B， ∴∠EAH=∠AGD， ∵AE=AB， ∴AE=AG， 在△AEH和△GAD中， ， ∴△AEH≌△GAD（AAS）， ∴EH=AD，AH=GD， 在Rt△EHF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL）， ∴FH=CD， ∴FH-AH=CD-GD， ∴AF=GC， ∴， ∴S△AEF=S△GAC， 设GD=BD=m，则CD=4BD=4m， ∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解． 【详解】证明：如图， 过C作的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵cm，cm， ∴， ∴cm， ∴cm． 故答案为：3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键． 8．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出． 【详解】解：如图，连接，．    ∵，， ∴，． 又∵， ∴，． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键． 9．如图，在中，点是线段的中点，点将线段分成，若四边形的面积是22，则的面积是 ．    【答案】18 【分析】连接，设，，由题意可知，结合中点及，可得，，，，进而，整理得，求出，的值即可求得的面积． 【详解】解：连接，设，，    ∵四边形的面积是22， ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， 则， ∵，则 ∴，， 即：，， 则， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积问题，利用等高求得面积之比是解决问题的关键． 10．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，合理分类讨论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键．分点F在B的左侧；点F在B的右侧，且D在上方；点F在B的右侧，且D在下方三种情况讨论即可． 【详解】解：①如图，当点F在B的右侧，且D在上方，过C作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 同理， 又，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴； ②如图，当点F在B的左侧时， 同理：， ， 又， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③如图，当点F在B的右侧，且D在下方，过D作， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 11．如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．分别过点作，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，设，，由角平分线的定义得到，由平行线性质得到，可得，再根据平行线性质和垂直的定义得到，即得． 【详解】解：设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 即； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 13．已知，则的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 6 【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可． 【详解】解:∵， ∴，， ∴ =2； ∵ ∴，即 ∴ ∴，解得：． 故答案为：2，6． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键． 14．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查归纳推理，首先找出三角形数阵的规律，求出第n行第1个数为和最后一个偶数为，然后求和即可． 【详解】解：由三角形数阵得，第n行有n个偶数， 则前行共有正偶数：个， ∴第n行第1个偶数为：， 第行最后一个偶数为：， 第n行的n个数的和是：． 故答案为：． 二、解答题 16．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________； (3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案： ①若，则__________；②若，则______． (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________； (5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 【答案】(1) (2) (3)16，13 (4) (5)3636 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）利用大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，列出等式即可； （3）①利用（2）的结论进行求解即可；②令，进而得到，，利用完全平方公式进行计算即可； （4）利用2种方法表示出大长方形的面积，列出等式即可。 （5）由，，，，则，，又长方形面积是，即，由题意得，，则，通过，设，，最后利用完全平方公式即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：阴影部分正方形边长为：； 故答案为：； （2）由图可知，大正方形的面积； 故答案为： （3）①∵， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：16； ②令，则：，， ∴， ∴， 即：； 故答案为：13； （4）由图可知：长方形的面积； 故答案为：； （5）解：∵，，，， ∴，， ∵长方形面积是， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为． 17．观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【答案】(1)225 (2) (3) 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键． （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解 【详解】（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 18．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 19．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，，满足．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______，_______，______； (2)若灯射出的光束先转动15秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，在转动过程中，的度数保持不变，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)不变， 【分析】本题考查了角的和差，非负数的和为零，平行线的性质，一元一次方程的应用等； （1）由二非负数的和为零得，，求出、，再由补角的定义，即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当时，由平行线的性质可得 ，得出一元一次方程，即可求解；②当时，同理可求； （3）由角的和差得，，，即可求解； 能熟练利用角的和差表示出所求的角及一元一次方程求解，同时能由边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图2， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，两灯的光束互相平行． （3）解：和关系不会变化． 理由如下：设灯A射线转动时间为t秒， ，， ， 又，， ， ， 又， ， 即， 和关系不会变化． 20．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 21．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷压轴题模拟训练（三) 一、填空题 1．若x满足，则x的值为 ． 2．已知，则 ． 3．已知，，则的值为 ． 4．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 5．如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 7．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 8．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是 ．    9．如图，在中，点是线段的中点，点将线段分成，若四边形的面积是22，则的面积是 ．    10．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 11．如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 12．如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为 ． 13．已知，则的值为 ；的值为 ． 14．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 15．由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ． 二、解答题 16．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分正方形边长为：__________；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2，请你写出之间的等量关系是____________________； (3)利用（2）中的结论，请直接写出下列问题答案： ①若，则__________；②若，则______． (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式____________； (5)如图4，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是300，分别延长交和于D、H两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，延长至P，使，延长至R，使，过点P、R作垂线，两垂线交于点N，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 17．观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 18．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 19．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，，满足．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______，_______，______； (2)若灯射出的光束先转动15秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，在转动过程中，的度数保持不变，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 20．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 21．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$