期中考试数学B卷压轴题模拟训练（二)-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷压轴题模拟训练（二) 一、填空题 1．若是关于的完全平方式，则 ． 2．计算： ． 3．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 4．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 5．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 6．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 7．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    8．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 9．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 10．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 11．如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时， ． 12．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 13．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 14．若正整数满足，这样的三个整数（如：或）我们称它们为一组“完美勾股数” ．当时，共有 组这样的“完美勾股数” ． 15．已知，满足，则 ． 二、解答题 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 17．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    18．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 19．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 20．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 21．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 22．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 23．阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷压轴题模拟训练（二) 一、填空题 1．若是关于的完全平方式，则 ． 【答案】或/或 【分析】由是关于的完全平方式，得出，进而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将变形为，通过相邻的项约分化简即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将变形为． 3．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案． 【详解】解： ， ∵64<81， ∴， 即 ， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键． 4．如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 【答案】96 【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键． 过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96． 5．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 6．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】或 【分析】作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：（情况一）作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （情况二）作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 7．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ，，即；   ，， 当时，取最大值，即取最大值． ．故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 8．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 9．如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长至点，使得，连接，可证得到，，进而由可得，即可证得，得到，即可由得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 10．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /0.6 【分析】本题考查的是比的应用，等底等高的两个三角形的面积之间的关系； （1）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为份，的面积为份，再进一步解答即可； （2）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）设、、和四边形的面积都为1份； ∵， ∴， ∵与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， ∴的面积为份， ∴的面积为份， ∴， ∵与是以为底边，而高相同， ∴； 故答案为： （2）如图，连接， ∵， ∴（份）， ∴（份）， 同理：，， ， ∴（份）， ∵的面积为728， ∴， 故答案为： 11．如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质． 根据点与点，点的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可． 【详解】解：①当点N在点P的右侧时， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②当点N在点A的左侧时， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即：， ， ∴， ∴， 将代入上式解得：， ③当点在之间时， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 由已知得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 12．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键． 设，由平分，得，，然后分当点在的右侧，且在上方时，当点在的左侧时，且在上方时，当点在直线的下方时三种情况分析即可． 【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况： 当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以， 同理：， 因为， 所以， 因为，，， 所以，， 得：，代入得， 所以； 当点在的左侧时，且在上方时，如图所示： 同理：，， 因为， 所以，， 得：，代入得：； 当点在直线的下方时，过点作，如图所示： 同理：，即， 因为，， 所以，，， 因为， 所以，将代入得， 所以， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 14．若正整数满足，这样的三个整数（如：或）我们称它们为一组“完美勾股数” ．当时，共有 组这样的“完美勾股数” ． 【答案】 【分析】由于，，大于等于小于的非偶数完全平方数有，一共个，可得共有组这样的“完美勾股数”． 【详解】解：∵ ∴， ∵，n为正整数， ∴为大于等于小于的非偶数完全平方数， 这样的数有：，一共个， ∴共有组这样的“完美勾股数”． 故答案为：8． 【点睛】考查了勾股数，关键是熟悉“完美勾股数”的定义，得到“完美勾股数”最小的数是非偶数完全平方数． 15．已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 二、解答题 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 17．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①先求出的度数，由外角的性质可求解； ②先求出的度数，由外角的性质可求解； （2）分为两种情况：当点F在线段上时及当点F在线段的延长线上时，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； ②，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，当点F在线段上时，      ①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． ②如图3，当点F在线段的延长线上时，   ，平分， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 18．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． 19．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，假设射出的光束交于点C，过点C作交于点D，且，请探究：在转动过程中，与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)30秒或110秒 (3)不变，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 20．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 21．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 22．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 23．阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 【答案】(1)六，15 (2)①；② (3)星期三 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； （2）解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$