2025年九年级中考数学二轮专题：“手拉手”模型与练习

专题七、“手拉手”模型 基础模型 图示 在 内且拉手线无交点 在 外且拉手线无交点 在 外且拉手线有交点 特点 在等腰 中，，在等腰 中，，，将 绕点 旋转一定角度后，连接 （称为"拉手线"，左手拉左手，右手拉右手），相交于点 ，连接 结论 1. （即拉手线相等）； 2. 平分 ； 3. 结论分析 结论 1: 证明: 在 和 中， 结论 2: 平分 证明: 如图，过点 分别作 于点 于点 ∴ , ∴ , ∴ , ∴ 平分 (角平分线的判定). 经典题目： 1．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③ DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（    ） ①△ACD≌△BCE； ②△CPQ是等边三角形； ③平分； ④△BPO≌△EDO． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接． （1）的度数为 ． （2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为 ． 4．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，，则．其中正确的结论有 （填正确的序号） 5．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 6．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 7．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 8．（1）如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 9．【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：． 【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：． （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案） 10．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”， 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形． (2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______． (3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE． (4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断． 【详解】∵DAB=CAE ∴DAB+BAC=CAE+BAC ∴DAC=EAB ∵AB=AD，AC=AE ∴△ADC≌△ABE ∴CD=BE，故①②正确； ∵△ADC≌△ABE ∴ADC =ABE 设AB与CD交于G点， ∵AGD =BGC ∴DOB=DAB=50°,故③正确； 过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点， 则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高 ∵△ADC≌△ABE ∴AF=AH ∴点A在DOE的平分线上，④正确 故选D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定． 2．B 【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可． 【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°， ∴∠ACD =∠BCE， ∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的； ∵△ACD≌△BCE， ∴∠PDC =∠QEC， ∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE， ∴△PCD≌△QCE， ∴PC=QC， ∴△CPQ是等边三角形； ∴②的说法是正确的； ∵△PCD≌△QCE， ∴PD=QE，， 过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H， ∴， ∴CG=CH， ∴平分， ∴③的说法是正确的； 无法证明△BPO≌△EDO． ∴④的说法是错误的； 故答案为①②③， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 3． 90° 【分析】（1）先根据已知条件证明△AOC ≌△BOD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． （2）先利用中位线定理得出BD的长，再根据全等三角形的性质得出AC，利用勾股定理得出AP，根据△AOC≌△BOD，利用相似比和面积的关系计算即可． 【详解】（1)∵△AOB与△COD都是等腰直角三角形 ∴ OA=OB. OC=OD ∠ODC= ∠OCD=45° 又∵ ∠AOB-∠BOC= ∠COD- ∠BOC ∴ ∠AOC=∠BOD， 即OA=OB，OC=OD， ∠AOC= ∠BOD ∴ △AOC ≌△BOD (SAS) ， ∴ ∠BDO=∠ACO=180°-∠OCD=135°， ∴ ∠ADB=∠BDO-∠ODC＝135°-45°=90°； （2)由题意可知PC是△ABD的中位线， ∴ BD=2PC=2， PC∥BD ∴ △ACP是直角三角形， 又∵△AOC≌△BOD ∴AC=CD=BD=2， ∴AP= AB= 又△COD∽△AOB， ∴； 故答案为：90°； 【点睛】本题考查手拉手模型、相似三角形、全等三角形、勾股定理、相似三角形的性质．了解手拉手模型对解决本题有很大的作用．熟悉相似三角形的性质、判定是关键． 4．①②④ 【分析】证明△≌△，可得，，，根据三角形内角和定理可判断①正确；在Rt△中，，即，从而判断②正确；③证明，故可判断③错误；连接AC与BD交于点O，计算可得CO＝9，根据正弦定理可判断④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴△是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在△和△中， ∴△≌△（SAS）， ∴，， ∴， 即△是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形，E在对角线BD上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； 在Rt△中，， 在Rt△中，， ∴，故②正确； 若，则， 在Rt△中，， ∵， ，故③错误； 连接AC与BD交于点O，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EOC＝90°，且是等腰直角三角形， ∵ ∴ CO＝， ∵， ∴sin∠DEC＝，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形等知识，解本题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．(1)①见解析 ② (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①利用定理证明即可； ②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）①证明：因为， 所以，即． 在 和中，， 所以． ②解： 由 ①，可得． 所以． 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以，即． 在 和中， ， 所以， 所以． 所以， 所以． 因为， 所以． 6．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 7．(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（1），见解析 （2）C （3）是， （4）是， 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． （4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． （4）是，。 理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4， ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∴，是定值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 9．（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据，利用勾股定理分别求出和即可证明结论； （2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等量代换求出∠EMN＝90°即可； （3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可． 【详解】解：（1）∵， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°， 由勾股定理得：，， ∴； （2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°， ∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB， ∴△CAE≌△GAB（SAS）， ∴∠CEA＝∠GBA， ∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE， ∴∠CEA＋∠MNE＝90°， ∴∠EMN＝90°， ∴； （3）如图3，连接CG，BE， ∵，，， ∴AC＝8，AE＝， ∴AB＝10， ∴CG＝，BE＝， ∵， ∴由（1）可知：，即， ∵BC＞0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键． 10．(1)是 (2)4或3 (3)见解析 (4)AC=或． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，从而△BDC是等腰直角三角形，又因为△ABD是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=3； （3）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC=BE； （4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵AD=3，AD=DB=DC， ∴BD=CD=3， ∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵△ABD是等腰三角形， ∴四边形ABCD是真等腰直角四边形， 故答案为：是； （2）解：∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线， ∴△ABD是等腰三角形， 当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC==4， 当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC==3， 综上：BC=4或3， 故答案为：4或3； （3）解：由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°， ∴∠ADC=∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE； （4）解：由题意知：△BDC是等腰直角三角形， 当∠BDC=90°时，如图，作DE⊥AD，取DE=AD，连接AE，BE， 由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE， ∵AD=3，△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=3，∠EAD=45°， ∵∠DAB=45°， ∴∠EAB=90°， 由勾股定理得BE=， ∴AC=； 当∠DBC=90°时，如图，同理可得 AE=4， DE=AC=， 综上：AC=或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性． 学科网（北京）股份有限公司 $$