专题08 三角形中双角平分线和高线的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题08 三角形中双角平分线和高线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、双内角角平分线 4 类型二、一内角一外角双角平分线 7 类型三、双外角角平分线 11 类型四、高线与角平分线分线 15 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1. 双内角角平分线 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 2. 一内角一外角双角平分线 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 3. 双外角角平分线 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 4. 高线与角平分线分线 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 压轴题型讲练 类型一、双内角角平分线 例：（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的角平分线， 相交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 类型二、一内角一外角双角平分线 例：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴①，②， ∵， ∴由①②得 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得，根据角平分线线的性质定理，结合即可判断． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故③是正确的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故④是错误的， ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 类型三、双外角角平分线 例：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 【答案】（1）①；②猜想，证明见解析；（2）；（3）或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义； （1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出的度数，然后由（2）求出的，利用三角形内角和求出，再分2种情况讨论，求出的度数． 【详解】解：（1）①解：分别是和的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：； ②猜想，证明如下： ∵， ∴ 分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得， ∴， ； （3）是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， 当， ， ， ； 当， ， 解得：， 综上可知：的度数为或． 类型四、高线与角平分线分线 例：（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理、角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 在中，， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，点O是内一点，且点O是两个角平分线的交点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的角平分线的含义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数即可． 【详解】解：∵点O是两个角平分线的交点， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 根据平行线，角平分线，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 又 ∵是的角平分线， ∴，故①正确； 无法证明平分，故②错误； ， ， 平分， ， ， ， ∴，即， ∴，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 故①③④正确，共3个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 5．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，…，以此类推，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形的外角的性质、三角形的内角和定理以及角平分线定义，由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律，注意三角形外角与内角之间的联系是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，同理， 同理：， ， 由此可发现规律， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义以及性质，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理和三角形外角的定义可得出，进而可得出． 【详解】解：∵、是的外角角平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，三个内角的角平分线交于点，其中，，延长至点，与的平分线交于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得得出，代入式子计算即可得解． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵延长至点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角的余角相等证明即可判断根据等角的补角相等先证明，再利用外角的性质即可判断；③；④根据和的关系，即可判断． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 所以，上面说法中正确的①②③， 故答案为：①②③． 10．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知中，．在图（）中、的角平分线交于点，则可计算得；在图（）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则；以此来推，、的三条四等分角线分别对应交于、、，则；请你猜想，当、同时等分时，条等分角线分别对应交于、，⋯，，如图（），则 （用含和的代数式表示）． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，根据等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， ∵和分别是的等分线， ∴ ； ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ． 又，， ， 即与的周长差为1； （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ． 12．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：的高线，角平分线． (1)若，求的度数； (2)若平分，平分的外角，与交点F，请直接写出与的数量关系______ (3)在（2）的条件下，若平分，平分，与交点H，若，，，求的长． 【答案】(1)10° (2) (3)6 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由三角形的高线得出，由三角形的角平分线得出，再利用三角形内角和得出．，等量代换得出，进而根据角的和差关系即可求出 （2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到； （3）根据角平分线的定义设，， ，，分别求出，，，根据已知条件得出，最后根据等面积法得出． 【详解】（1）解：∵为的高线， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）． 证明：∵、分别平分和的外角， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）设与交于点K， ∵平分，平分， ∴设，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，综合性较强， 13．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】探究一：（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； 探究二：先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）中，的角平分线与三角形的外角的平分线相交于点E， (1)如图一，已知，求的度数； (2)如图一，求证：； (3)如图二，F是的延长线上一点，的角平分线交于G，交于H，探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了角平分线定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算可得出答案； （2）根据三角形的外角性质得到，，根据角平分线的定义得到，，进而证明结论； （3）先求得，同理可得：，再由角平分线的定义可得，，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 即； （2）证明：是的外角， ， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ． ； （3）解：如图，设与相交于点，与相交于点， 在中，， 在中，， ， ， ， 同理可得：， 、分别是和的角平分线， ，， 由得：． 15．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知 （1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线． ①若，则________； ②判断与的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________． 拓展应用 （3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示） 【答案】（1）①；；（2）；（3）或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理； （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形的外角的性质可得，，进而得出； （2）根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案． （3）分情况讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可； 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 当时， 故答案为：． ②， 理由如下， ∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）是的外角，是的外角， ，， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， 同理可得， ， ， 同理：， ． 故答案为： （3）如图所示， ∵， ∴ ∵的三等分线与的三等分线交于点 ∴ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； 综上所述，或或或 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形中双角平分线和高线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、双内角角平分线 4 类型二、一内角一外角双角平分线 7 类型三、双外角角平分线 11 类型四、高线与角平分线分线 15 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1. 双内角角平分线 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 2. 一内角一外角双角平分线 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 3. 双外角角平分线 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 4. 高线与角平分线分线 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 压轴题型讲练 类型一、双内角角平分线 例：（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的角平分线， 相交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 类型二、一内角一外角双角平分线 例：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 类型三、双外角角平分线 例：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 类型四、高线与角平分线分线 例：（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，点O是内一点，且点O是两个角平分线的交点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知，若点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，点是和外角的角平分线的交点，…，以此类推，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 7．（24-25八年级上·北京·开学考试）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，三个内角的角平分线交于点，其中，，延长至点，与的平分线交于点，若，则 ． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序 ． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 10．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知中，．在图（）中、的角平分线交于点，则可计算得；在图（）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则；以此来推，、的三条四等分角线分别对应交于、、，则；请你猜想，当、同时等分时，条等分角线分别对应交于、，⋯，，如图（），则 （用含和的代数式表示）． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 12．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：的高线，角平分线． (1)若，求的度数； (2)若平分，平分的外角，与交点F，请直接写出与的数量关系______ (3)在（2）的条件下，若平分，平分，与交点H，若，，，求的长． 13．（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    14．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）中，的角平分线与三角形的外角的平分线相交于点E， (1)如图一，已知，求的度数； (2)如图一，求证：； (3)如图二，F是的延长线上一点，的角平分线交于G，交于H，探究与之间的数量关系并说明理由． 15．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 16．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知 （1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线． ①若，则________； ②判断与的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________． 拓展应用 （3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$