专题07 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题07 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 3 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 5 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 9 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 压轴题型讲练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么 ． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 例题：（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，∠B=90°， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）已知：如图，，分别平分和，，， ． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 三、解答题 7．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 9．（24-25七年级上·吉林·期末）【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 11．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）图①中的图形像我们常见的学习用品一圆规，我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么在这个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？ (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由． (2)请你直接利用上述结论，解决下列问题： ①如图②，把一块直角三角尺放置在上，使直角三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图④，的十等分线分别相交于点，若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 3 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 5 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 9 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 压轴题型讲练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为 ． 【答案】/230度 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和以及多边形内角和，根据在中，，得出，结合四边形内角和是，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由四边形内角和是，则， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 例题：（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，∠B=90°， ． 【答案】/30度 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵∠B=90°， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）已知：如图，，分别平分和，，， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 设与、分别交于点、，由，分别平分和可得，，由三角形外角的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：如图，设与、分别交于点、， ，分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 (3)理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答； （2）根据题中给出的“字”的概念即可解答； （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ． （2）解：图中有个“字”分别是：、、、、． （3）解：平分平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义、对顶角相等 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作射线，根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图所示，作射线， ∵，， ∴ 即 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于E，根据补角的定义得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：延长交于E， ， ， ， ， 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； . 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论； （3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论； ②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论； （4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，，， ， ； （2）．理由如下： 在中，， 在中，， ， ； （3）①，， 、分别平分和， ， ． 故答案为． ②连结． ∵， ． 故答案为； （4）由（1）知，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，然后在中利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 在中，． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 二、填空题 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ． 【答案】 /度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，，再根据三角形的外角性质得出即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 三、解答题 7．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据，即可得证． 【详解】证明：∵是的一个外角， ∴， 即． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 9．（24-25七年级上·吉林·期末）【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角的和差运算，角平分线的意义，正确理解题意，正确运用是解题的关键． （1）由三角形的外角性质即可证明； （2）由角平分线可设，由上得，，即可求解； （3）由题意设，则由上得： ，由上得：，则，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵分别平分， ∴， 设， 由上得：， ， ∵ ∴， 由①得： 由②得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴设， 由上得：， ∴， ∴， 由上得：， ∴， ∴， ∴, 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）图①中的图形像我们常见的学习用品一圆规，我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么在这个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？ (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由． (2)请你直接利用上述结论，解决下列问题： ①如图②，把一块直角三角尺放置在上，使直角三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图④，的十等分线分别相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①；②；③ 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线、几何图形中角度计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键． （1）连接并延长至点，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，结合，，即可证明结论； （2）①结合（1）中结论求解即可；②首先结合（1）中结论可知，再由角平分的定义可知，然后计算的值即可；③设，易得，进而可得，结合求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图，连接并延长至点， ∵，， 又∵，， ∴； （2）①根据题意，，， 由（1）可知，， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ③设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$