精品解析：宁夏回族自治区银川市宁夏六盘山高级中学2025届高三下学期第二次模拟数学试题

宁夏六盘山高级中学 2025届高三年级第二次模拟测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命卷教师：马琰 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集，并集和补集运算法则进行计算，选出正确答案. 【详解】，，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 3. 已知向量，，.若 、 、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于 的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为 、 、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项结合前项和公式求解即可. 【详解】因为所以 又因为 故选：C. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 6. 若命题：“，都有”为真命题，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，. 则. 因为， 所以， 所以函数为增函数. 又因为， 所以. 故选：B. 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得 在左上角， 在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在 位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点 和，且，则的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线， 都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法： ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】根据题意可得第一组数从小到大排序为，中位数为， 平均数，方差， 因为，所以第一组的第75百分位数为 ， 根据题意可得第二组数从小到大排序为，中位数为， 平均数 ，方差， 综上可得，A，D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线l与圆C可能相切 B. 当 时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l与直线垂直 D. 若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A项，求出直线 经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入 ，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线 过定点. 圆的圆心为，半径为 ， 则， 所以点 在圆内，即直线 过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交.故A错误； 对于B项，当 时，直线 化为. 此时有圆心到直线 的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得， 解得.故D项正确. 故选：CD. 11. 四棱锥的底面为正方形，面 ，动点M在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，根据已知求出各边边长，进而计算面积即可得出答案；对于C项，假设存在点M，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据 ，得出 ，列出方程解出 的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点M到直线的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为 ，故A正确； 对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知 均为直角三角形，且 全等， 且， ，， 则 ，且， 即有， 所以，即 的最小值为.故B正确； 对于C项，假设存在点M，使得 如图2，以点 为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立 空间直角坐标系. 则， 则，，. 设， ， 则. 因为 ， 所以 ，解得. 故存在点M，使得 .故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点M到直线的距离 ， 所以，当时，点M到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在R上的函数 满足，且，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】令 ，代入运算得解. 【详解】令 ，可得，又 ，则. 故答案为：3. 13. 已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 【答案】 【解析】 【分析】由数列前项和求出数列通项，从而得到新的数列通项，然后利用裂项相消求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， ∴ . ∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知定义域均为的函数，若，则称直线 为曲线和的隔离直线.若，则曲线和的隔离直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可确定两曲线有公共点，即可得设该隔离直线的方程为，则有，，借助参变分离计算可得，再借助，，可得在上恒成立，构造相应函数后借助导数对其单调性分类讨论即可得解. 【详解】由，， 故曲线和的隔离直线过点， 设该隔离直线的方程为， 则有，显然 不等式恒成立， 当时，在上恒成立，即，即， 亦有，即在上恒成立， 令，，则， 令，则， 由，故，舍去， 若，即时， 当时，，当时， ， 则在上单调递减，在上单调递增， 即，不符合要求，故舍去； 若，即时， 有在上恒成立，则在上单调递增， 故，符合要求. 综上所述，，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由先确定隔离直线过点，从而设出该隔离直线的方程，结合题意得到，，计算即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且 . （1）求抛物线C的方程. （2）已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义列式求出，得解； （2）法1，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，得 ，求得，根据三角形 的面积列方程，求得 ，也即求得直线的方程，法2，前面同法1，由，求得 ，得解. 【小问1详解】 依题意，点在抛物线上，且， 所以， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 法1：抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，消去 并化简整理得， ，则 ，， 则， 所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得， 所以直线的方程为或，即或. 法2： 解得， 所以直线的方程为或，即或. 16. 在中，角 的对边分别为. （1）求 ； （2）已知为 的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 因为BD为 的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于 的方程的两个实根，解得. 又因为BD为 的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，且为线段的中点.现沿着将折起，使Q点到达P点，如图②所示，连接，其中M为线段的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求点A到平面的距离. 【答案】（1） 在图①中，由题知：四边形为正方形，且； 则在②中，， ，且平面，则平面； 又，平面，又平面，； 又，且为的中点，则； 又平面， 则平面，又平面，. （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）要证，只需证与所在的平面垂直，反之亦可，这里易得面，所以可先平面，再去证明； （2）先由二面角的大小，去求得的长度，再根据第一问所得的结论去找出建系的位置，设点，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值； （3）利用投影的向量求法求出点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面， 平面， 则平面平面； 由题知：二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取 的中点为，连接，则 ， 又平面平面，平面， 所以 平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系； 则，、、、， 则、、、， 设，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则. 【小问3详解】 由（2）知：， 则平面的一个法向量可以为，且， 则点 到平面的距离为. 18. 已知函数. （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 的极值点在区间内，求m的取值范围； （3）若 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数的单调性. （2）先求出导函数；再根据函数的定义域为，以及函数 的极值点在区间内，得出在上有解，列出关于m的不等式组，求解即可. （3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值；再将题目条件转化为恒成立；最后构造函数，利用导函数判断在上单调递增，借助可得出 求解即可. 【小问1详解】 当 时，，的定义域为. 则， 令 ，则，即，解得， 令 ，则，即，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由可得：的定义域为，. 要使函数的极值点在内，需满足 在上有解. 因为的定义域为， 所以在上有解， 则，解得， 即m的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，. 则. 当 时，有，则 ，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，令 ，得， 当时， ；当时， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 又因为当时，；当 时，， 所以要使有两个零点，须满足恒成立. 令， 则恒成立；， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以 ，解得. 综上所述，m取值的范围为. 19. 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． （1）求； （2）求； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以； 【小问2详解】 由题意知，， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025届高三年级第二次模拟测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命卷教师：马琰 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 3. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若命题：“，都有”为真命题，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线l与圆C可能相切 B. 当 时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 直线l与直线垂直 D. 若圆C与圆恰有三条公切线，则 11. 四棱锥的底面为正方形，面 ，动点M在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在R上的函数 满足，且，则_______. 13. 已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 14. 已知定义域均为的函数，若，则称直线 为曲线和的隔离直线.若，则曲线和的隔离直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且 . （1）求抛物线C的方程. （2）已知过点F的直线交抛物线C于 两点， 的面积为，求直线的方程. 16. 在中，角 的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，且为线段 的中点.现沿着将折起，使Q点到达P点，如图②所示，连接，其中M为线段的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求点A到平面的距离. 18. 已知函数. （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 的极值点在区间内，求m的取值范围； （3）若 有两个零点，求m的取值范围. 19. 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． （1）求； （2）求； （3）比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $