第8章 三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第8章 三角形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A．B．C．D． 3．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（   ） A．古建筑中的三角形屋架 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．人能直立在地面上 D．活动挂架 4．若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．如图，D是的边延长线上一点，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知一个多边形的内角和为，这个多边形是（　　）边形 A．十 B．十一 C．十二 D．十三 7．数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 8．对于“一个内角是另一个内角两倍的三角形为‘倍角三角形’”，其中称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”的一个内角为，求倍角的度数，嘉嘉说：；琪琪说：，则（   ） A．嘉嘉正确且完整 B．琪琪正确且完整 C．嘉嘉､琪琪合起来才完整 D．嘉嘉、琪琪合起来也不完整 9．如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，已知，，则 ． 12．从八边形的一个顶点出发可以引 条对角线． 13．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 14．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 15．如图，以点A为顶点的三角形有 个． 16．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 17．已知：如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且阴影部分的面积为，则 ． 18．如图1是一辆宝宝的推车，其示意图如图2所示，点在同一直线上，该直线与水平地面的夹角是于点平行水平地面交于点，，则 度；前面有一向下的斜坡，当推车前后轮都推到斜坡上时，所在的直线垂直水平地面，则的度数是 度． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．小明有长的三根木条，但是不小心将长的木条折断了． (1)最长的木条被折断的情况如何时，小明将不能与另两条木条钉成三角形架？ (2)如果最长的木条折去了，小明可以通过怎样再折木条的办法钉成一个三角形架？ 20．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 21．如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 23．如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． (1)的度数是_________． (2)当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 24．如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 25．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 三角形 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 故选：． 2．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 3．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（   ） A．古建筑中的三角形屋架 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．人能直立在地面上 D．活动挂架 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行判断即可． 【详解】解：A、古建筑中的三角形屋架拱是三角形，利用了三角形的稳定性，符合题意； B、校门口的自动伸缩栅栏门利用了四边形的不稳定性，不符合题意； C、人能直立在地面上与三角形的稳定性无关，不符合题意； D、活动挂架，跟三角形的稳定性无关，不符合题意； 故选：A． 4．若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部， 那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 5．如图，D是的边延长线上一点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 6．已知一个多边形的内角和为，这个多边形是（　　）边形 A．十 B．十一 C．十二 D．十三 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和等于（其中n为多边形的边数）是解题的关键． 根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是十二边形． 故选：C 7．数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 8．对于“一个内角是另一个内角两倍的三角形为‘倍角三角形’”，其中称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”的一个内角为，求倍角的度数，嘉嘉说：；琪琪说：，则（   ） A．嘉嘉正确且完整 B．琪琪正确且完整 C．嘉嘉､琪琪合起来才完整 D．嘉嘉、琪琪合起来也不完整 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，分三种情况：当本身就是倍角时；当是被倍角时；当第三个角为时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当本身就是倍角时，， 当是被倍角时，， 当第三个角为时，，解得：， 综上所述，的度数为或或， 故选：D． 9．如图，直线，正五边形的边在直线上，顶点在直线上，过点作正五边形的对称轴分别交，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 过点作于点，先求出正五边形的内角，再根据其轴对称性求出，再由三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：过点作于点， ∵ ∵，， ∴， ∵正五边形是轴对称图形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，的角平分线，相交于F，，，且于G，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 根据平行线，角平分线，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 又 ∵是的角平分线， ∴，故①正确； 无法证明平分，故②错误； ， ， 平分， ， ， ， ∴，即， ∴，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 故①③④正确，共3个， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在中，已知，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质，结合已知条件建立关于的方程求解． 根据三角形内角和定理得到，由得出关于的表达式，将的值和关于的表达式代入三角形内角和等式，求解． 【详解】在中，根据三角形内角和定理可知， 已知，移项可得， 因为，把和代入中，得到， 解得， 故答案为：50． 12．从八边形的一个顶点出发可以引 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得出答案． 【详解】解：从八边形一个顶点出发可以引条对角线． 故答案为：5． 13．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 14．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【答案】6/六 【分析】本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键．利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案． 【详解】解：设这个多边形边数为x，内角和为， ∵多边形外角和为， ∴， 解得：， 故答案为：6． 15．如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 16．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 17．已知：如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积． 【详解】解：点是的中点，， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， 故答案为：． 18．如图1是一辆宝宝的推车，其示意图如图2所示，点在同一直线上，该直线与水平地面的夹角是于点平行水平地面交于点，，则 度；前面有一向下的斜坡，当推车前后轮都推到斜坡上时，所在的直线垂直水平地面，则的度数是 度． 【答案】 80 160 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及垂直的定义，三角形外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及垂直的定义，延长交于点，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理得出，再求得，再根据平行线的性质求得，延长交于点H，延长交于点G，先求得，再由垂直的定义可得，最后求得． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长交于点H，延长交于点G， ，与的夹角为， ， 由题意得：， ， ， 故答案为：80；160 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．小明有长的三根木条，但是不小心将长的木条折断了． (1)最长的木条被折断的情况如何时，小明将不能与另两条木条钉成三角形架？ (2)如果最长的木条折去了，小明可以通过怎样再折木条的办法钉成一个三角形架？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系是解题的关键． （1）根据三角形三边数量关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三根木条的长满足大于且小于，由此即可求解； （2）根据三角形三边数量关系即可求解． 【详解】（1）解：∵两根木条的长为，， ∴第三根木条的长满足大于且小于， ∵第三根木条为， ∴小明折断后的木条长度小于等于70厘米时，将不能钉成三角形架； （2）解：最长的木条折去了， ∴， ∵， ∴要想钉成一个三角形架可以将长的木条折去大于小于的一部分． 20．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 【答案】(1)的取值范团是 (2)为6，8，10，12 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形的三边关系定理得出，再求出的取值范围即可； （2）根据周长为奇数得出为偶数，根据的范围求出即可． 【详解】（1）解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， ∴，即， ∴的取值范围是； （2）解：∵的周长为奇数， ∴为偶数， ∵， ∴为6，8，10，12． 21．如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段． 由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，， ，为中点， ， ， 即， 则，， 则． 22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 23．如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． (1)的度数是_________． (2)当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【答案】(1) (2)不变，． 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可得解； （2）结合平行线性质和角平分线定义可推得，再由外角性质即可得． 【详解】（1）解：∵，， ， ． 故答案为：． （2）解：不变化，，理由如下： ， ， 平分交射线于点， ， ， 是的外角， ． 24．如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角板与平行线求角度，涉及平行线的性质、直角三角形性质、平角定义等知识，数形结合，由平行线的判定与性质准确表示出所求角度是解决问题的关键． （1）由两直线平行同位角相等得到，再由平角为列式求出即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的判定与性质，结合直角三角形两锐角互余即可得到； （3）由两直线平行同旁内角互补得到，数形结合，表示出，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，且，， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， ； （3）解：， ， ， ，， ， ， ， ． 25．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$