第8章 三角形（题型清单）（二十种类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第8章 三角形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：三角形的定义与基本元素 三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。这三条线段称为三角形的边，每两条边所组成的角称为三角形的内角，三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角称为三角形的外角。 要点二：三角形的分类 1.按角分类： 锐角三角形：三个内角均为锐角。 直角三角形：有一个内角是直角。 钝角三角形：有一个内角是钝角。 2.按边分类： 不等边三角形：三边互不相等。 等腰三角形：有两条边相等，这两条边称为等腰三角形的腰。 等边三角形：三边都相等，是等腰三角形的特殊情况。 要点三：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 要点四：三角形的高、中线与角平分线 1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段称为三角形的高。 2.中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段称为三角形的中线。任意一个三角形都有三条中线，三条中线交于一点。 3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段称为三角形的角平分线。任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点。 要点五：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，这一性质称为三角形的稳定性。 要点六：三角形的内角和与外角和 三角形的内角和为180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 要点七：多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形称为多边形。多边形相邻两边组成的角称为它的内角，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角称为多边形的外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段称为多边形的对角线。 要点八：正多边形与平面镶嵌 在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形称为正多边形。用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖称为用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 03 题型归纳 题型一　三角形的分类 例题：在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类即可求解，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：∵，和无法确定， ∴可能是锐角三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形， 故选：． 巩固训练 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 2．一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 【详解】解：(度)， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 3．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据直角三角形有一个角为，结合有一个内角是，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵有一个内角是的直角三角形， ∴三角形有一个角为， ∵， ∴是“准等边三角形”； 故答案为：是． 【点睛】本题考查三角形的分类．理解“准等边三角形”的定义，是解题的关键． 题型二　三角形的高 例题：如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 巩固训练 1．已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键． 根据三角形高的定义，过A点作的垂线即可解答． 【详解】解：作边上的高，作图中正确为： 故选：C． 2．如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可． 【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是． 故答案为：；； 3．在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形高线定义“从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形该边的高线”即可判断． 【详解】解：∵为钝角是三角形，， ∴为边上的高． 故答案为：． 题型三　三角形的中线 例题：如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故选：A． 2．在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键．根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长多，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长多， ， ∵ ． 故答案为：． 3．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解：为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 题型四　三角形的角平分线 例题：如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 巩固训练 1．如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 3．如图，若是的角平分线，若，则 ．    【答案】/40度 【分析】根据三角形角平分线的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 题型五　三角形的内角和 例题：在中，，，的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，设，然后根据三角形的内角和定理求出x的值即可解题． 【详解】解：设，则，， ， 解得， ∴， 故选：C． 巩固训练 1．如图，在中，平分交于点，于点，若，则的度数为（　　） A．47° B． C．50° D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂直的定义、三角形内角和定理，牢记相关的定理和定义是解题的关键．先利用角平分线的定义求出，再根据垂直和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 故选：A ． 2．在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 3．如图，在中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质和三角形内角和定理．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质是解题的关键． 由三角形外角性质得，由轴对称得，由三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠得， ∴． 故答案为：80． 题型六　三角形的外角 例题：如图，，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据，可得，再根据三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：由图可得， 故选：C． 2．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是 ． 【答案】/155度 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质，平角性质．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型七　直角三角形的两个锐角互余 例题：一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，垂直的定义，理解图示，掌握角度的和差计算是关键． 根据三角板的特点得到，根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余得到，，由对顶角相等得到，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 巩固训练 1．如图，已知直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，再根据“两直线平行，同位角相等”求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直角三角板的直角顶点在直线上，， ∴． ∵，， ∴， ∴ 故选：A． 2．已知直角三角形内一个锐角为，另一个锐角为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，直接用90度减去这个锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数． 【详解】解：， 故答案为：． 3．一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 题型八　三角形的三边关系 例题：下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．6，6，6 B．6，6，12 C．6，7，14 D．5，6，11 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案. 【详解】解：A、，以6，6，6为边能组成三角形，故A符合题意； B、，以6，6，12为边不能组成三角形，故B不符合题意； C、，以6，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意； D、，以5，6，11为边不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：A. 巩固训练 1．现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 2．为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 3．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 题型九　多边形的内角和 例题：如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得． 【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点， ∵八边形为正八边形， ∴正八边形的每个内角为， ∵， ∴在五边形中，， 由入射角等于反射角得：， ∴，即， ∴在五边形中，， 同理可得：， ∴在五边形中，， 故选：A． 巩固训练 1．如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 2．如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式列出方程即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 3．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据算出六边形的内角和，再减去，即可得出其余五个内角之和，即可作答． 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 题型十　多边形的外角和 例题：石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 巩固训练 1．如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得． 故选：B． 2．如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【答案】60 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转的次数，再根据每次转60米即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 3．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】299 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键． 先求出与相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：∵与相邻的外角的度数是：， ∴． 故答案为：299． 题型十一　正多边形的内角 例题：某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题关键是熟练掌握正多边形的每个内角的求法和外角和．先根据正六边形的每个内角是，求出，再求出，从而求出图3中正多边形每个内角的度数，从而求出每个外角的度数，最后根据多边形外角和为，列出算式求出即可． 【详解】解：正六边形每个内角是， ， ， 图3中正多边形的每个内角为， ， 故选：C． 巩固训练 1．如图，直线，六边形是正六边形，顶点B，C分别在，上．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及多边形的内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点F作交BC于点G，先求出的度数，再求出的度数，进而求出答． 【详解】解：过点F作交BC于点G， ， ， ，， ， 六边形是正六边形， ， ， 在正六边形中，， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点是边的中点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的内角和定理的应用，根据正五边形的内角和可得，结合直线为正五边形的对称轴，可得，进一步结合正方形的性质可得答案. 【详解】解：∵正五边形，点是边的中点， ∴，直线为正五边形的对称轴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； 故答案为： 3．如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，平行线的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．过点作，先求出正五边形每个内角为，再利用平行线的性质求解即可 ． 【详解】解：如图，过点作， 五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十二　正多边形的外角 例题：小颖用含有角的直角三角板通过探究发现：一个残缺的正多边形的一个外角满足，则满足此条件的正多边形的边数可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的外角和．根据正多边形的外角和等于，即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n（n为整数）， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴的值可能为7， 即满足条件的正多边形的边数可能是7， 故选：A． 巩固训练 1．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和，熟记正多边形的外角和等于是解题关键．根据正多边形的外角和求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 3．已知一个正多边形的每个外角都等于，那么它的边数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的外角和是是解题的关键． 利用多边形的外角和等于即可解决问题． 【详解】由题意知，边数为， 故答案为：． 题型十三　多边形的对角线 例题：从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：D． 巩固训练 1．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 2．小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 【答案】9 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边形的对角线公式进行作答即可． 【详解】解： （条）． 故答案为：9． 3．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 题型十四　多边形的截角问题 例题：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 巩固训练 1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 2．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 3．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 题型十五　多(少)算一个角问题 例题：小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 巩固训练 1．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 3．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 题型十六　复杂图形的内角和 例题：如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 巩固训练 1．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 题型十七　平面镶嵌 例题：用一种正多边形铺满地面的条件是（    ） A．内角是整数度数 B．边数是3的倍数 C．内角能被整除 D．内角能被整除 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为，因此我们只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍． 【详解】解：用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件，只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍，即内角整除． 故选：D． 巩固训练 1．利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌的应用，正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明可以，反之则不能； 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为 或 或 ， 故选：B． 2．如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 【答案】150 【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角， 根据正方形的每一个内角为，正三角形的每一个内角为，可知正n边形的一个内角的度数为，可得答案． 【详解】解：正n边形的一个内角的度数． 故答案为：150． 3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查正多边形内角的度数； （1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为即可； （2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可． 【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为： （2）解：正六边形内角的度数： ∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形； ∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形． 题型十八　三角形中的角平分线模型 例题：如图，已知中，和的平分线、相交于点O，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和的平分线、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 巩固训练 1．【提出问题】 小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现与之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些的特殊度数求出的度数，然后就可以根据结果猜想与之间的数量关系． ①如果，则的度数为______；如果，则的度数为______． ②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出与之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想． 【应用拓展】 （2）小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）①；；②；理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． （1）①根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，，即，得出，即可求出结果；同理当时，求出即可； ②根据①的方法进行证明即可； （2）延长，，交于点G，根据解析（1）的结果得出答案即可． 【详解】解：（1）①∵平分，平分外角， ∴，， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②猜想；理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）延长，，交于点G，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴根据解析（1）可知：． 2．综合与探究 问题情境： 是的一个外角，过点C在射线的右侧作射线，使． （1）如果平分平分． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若，则的度数为______； 深入探究： （2）如图3，如果，试用含n和的式子表示（直接写出结果）． 【答案】（1）①；②；（2）． 【分析】本题考查了三角形内角和外角，角平分线的定义，平行的性质． （1）①先由三角形内角和定理得，再由平行的性质得，再由角平分线的性质得，，最后由三角形内角和定理可得结论； ②先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，，再由外角的性质得，再推出，再由三角形内角和定理可求得的度数； （2）同（1）②中的方法，先由平行的性质得，再由得，，再由外角的性质得，再推出，再由三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵是的一个外角，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：65； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是的一个外角，， ∴， ∴ ， ∴． 3．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 题型十九　三角形中的折叠模型 例题：如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 2．已知点分别是的边上的任意一点，将的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为． (1)当点落在内的点的位置时．    ①如图1，若∥BC，求证：． ②如图2，、与之间的数量为______； (2)当点落在外的点的位置时，若，    ①如图3，请探究与的数量关系为______； ②如图4，连接，若，，则______． (3)若（），在折叠过程中，当直线时，的度数为______．（自己画图作答）    【答案】(1)①证明见解析；②； (2)①，理由见解析；②，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）①根据平行线的性质可知，再根据三角形的内角和定理即可解答；②根据折叠的性质及三角形的外角的性质即可解答． （2）①根据垂直的定义及三角形的外角的性质即可解答；②根据平行线的性质及三角形的外角的性质即可解答； （3）根据折叠的性质及三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 由折叠的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）①解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 故答案为； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴, 故答案为；    （3）解：∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，垂直的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 3．如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由外角的性质得到，作差即可得到答案； （2）由图形折叠的性质可知，两式相加变形后即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵，， ∴； （2）解：由图形折叠的性质可知，    两式相加得，， 即， ∴， 即：． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 题型二十　三角形的新定义 例题：新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)，5 (2)①；②或 【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义； （1）根据三角形内角和定理求出，根据“倍角三角形”的定义判断； （2）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出； ②“倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：（1）在△中，，， 则， 最大，最小，且， △为“5倍角三角形”， 故答案为：，5； （2）①解：， ， 的角平分线相交于点， ，， ， ， ②为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 巩固训练 1．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ (2)如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 【答案】(1)①；② 都是“友爱三角形”，理由见详解 (2)的度数 【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由 是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，设，则，由三角形的外角和的性质可得，根据与 互为“友爱角”，分类讨论：当时；当时；由此列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得，， ∴； ②都是“友爱三角形”，理由如下， ∵ 是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中， ， ∴， 设，则， ∵是的外角， ∴， ∵是“友爱三角形”， 与 互为“友爱角”， ∴当时，， 解得，， ∴； 当时，， 解得，，不符合题意，舍去； ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． 2．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义：等高三角形定义及其性质，利用此性质是解题的关键； （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)、都是“友爱三角形”，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； （2）解：、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 三角形（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：三角形的定义与基本元素 三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。这三条线段称为三角形的边，每两条边所组成的角称为三角形的内角，三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角称为三角形的外角。 要点二：三角形的分类 1.按角分类： 锐角三角形：三个内角均为锐角。 直角三角形：有一个内角是直角。 钝角三角形：有一个内角是钝角。 2.按边分类： 不等边三角形：三边互不相等。 等腰三角形：有两条边相等，这两条边称为等腰三角形的腰。 等边三角形：三边都相等，是等腰三角形的特殊情况。 要点三：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 要点四：三角形的高、中线与角平分线 1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段称为三角形的高。 2.中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段称为三角形的中线。任意一个三角形都有三条中线，三条中线交于一点。 3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段称为三角形的角平分线。任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点。 要点五：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，这一性质称为三角形的稳定性。 要点六：三角形的内角和与外角和 三角形的内角和为180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。 要点七：多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形称为多边形。多边形相邻两边组成的角称为它的内角，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角称为多边形的外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段称为多边形的对角线。 要点八：正多边形与平面镶嵌 在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形称为正多边形。用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖称为用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 03 题型归纳 题型一　三角形的分类 例题：在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 巩固训练 1．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 3．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 题型二　三角形的高 例题：如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 巩固训练 1．已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 3．在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 题型三　三角形的中线 例题：如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则 ． 3．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 题型四　三角形的角平分线 例题：如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 3．如图，若是的角平分线，若，则 ．    题型五　三角形的内角和 例题：在中，，，的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，平分交于点，于点，若，则的度数为（　　） A．47° B． C．50° D． 2．在中，，是边上的高且，则的度数是 3．如图，在中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ． 题型六　三角形的外角 例题：如图，，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 2．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是 ． 3．如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 题型七　直角三角形的两个锐角互余 例题：一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，已知直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．已知直角三角形内一个锐角为，另一个锐角为 ． 3．一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 题型八　三角形的三边关系 例题：下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．6，6，6 B．6，6，12 C．6，7，14 D．5，6，11 巩固训练 1．现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 2．为三角形三边长，化简的结果是 ． 3．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 题型九　多边形的内角和 例题：如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 3．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 题型十　多边形的外角和 例题：石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 3．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 题型十一　正多边形的内角 例题：某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 1．如图，直线，六边形是正六边形，顶点B，C分别在，上．若，则（ ） A． B． C． D． 2．如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点是边的中点，则的度数为 ． 3．如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 题型十二　正多边形的外角 例题：小颖用含有角的直角三角板通过探究发现：一个残缺的正多边形的一个外角满足，则满足此条件的正多边形的边数可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 巩固训练 1．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 3．已知一个正多边形的每个外角都等于，那么它的边数是 ． 题型十三　多边形的对角线 例题：从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 巩固训练 1．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 2．小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 3．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 题型十四　多边形的截角问题 例题：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 巩固训练 1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 3．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 题型十五　多(少)算一个角问题 例题：小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 巩固训练 1．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 3．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 题型十六　复杂图形的内角和 例题：如图，等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 3．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 题型十七　平面镶嵌 例题：用一种正多边形铺满地面的条件是（    ） A．内角是整数度数 B．边数是3的倍数 C．内角能被整除 D．内角能被整除 巩固训练 1．利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 题型十八　三角形中的角平分线模型 例题：如图，已知中，和的平分线、相交于点O，且，求的度数． 巩固训练 1．【提出问题】 小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现与之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些的特殊度数求出的度数，然后就可以根据结果猜想与之间的数量关系． ①如果，则的度数为______；如果，则的度数为______． ②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出与之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想． 【应用拓展】 （2）小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 2．综合与探究 问题情境： 是的一个外角，过点C在射线的右侧作射线，使． （1）如果平分平分． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若，则的度数为______； 深入探究： （2）如图3，如果，试用含n和的式子表示（直接写出结果）． 3．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 题型十九　三角形中的折叠模型 例题：如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 巩固训练 1．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 2．已知点分别是的边上的任意一点，将的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为． (1)当点落在内的点的位置时．    ①如图1，若∥BC，求证：． ②如图2，、与之间的数量为______； (2)当点落在外的点的位置时，若，    ①如图3，请探究与的数量关系为______； ②如图4，连接，若，，则______． (3)若（），在折叠过程中，当直线时，的度数为______．（自己画图作答）    3．如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 题型二十　三角形的新定义 例题：新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则______，为“______倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点． ①求的度数． ②若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 巩固训练 1．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ (2)如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 2．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$