第8章 三角形（二十题型压轴专练）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第8章 三角形 压轴专练 题型一、三角形中线求面积 1．如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 2．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长． 题型二、重心 1．如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点 ．（从中选择） 3．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：    (1)请画图找出的重心点； (2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形． 题型三、垂心 1．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为 ． 3． (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 题型四、三角形的内角和与外角和 1．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，平行于支撑杆． A．15 B．60 C．70 D．115 2．如图1是义乌某商铺销售的一款落地的平板支撑架，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板． （1）则 ； （2）现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ． 3．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 题型五、三角形三边关系的应用 1．若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 2．线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 3．在中，，． (1)若的长是整数，求的长； (2)已知是的边上的中线，若的周长为17，求的周长． 题型六、多边形的内角和与外角和 1．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 3．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 题型七、多边形的截角问题 1．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 3．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 题型八、多边形的对角线问题 1．从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 2．在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从九边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为 ． 3．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 题型九、多(少)算一个角问题 1．一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（    ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为 ． 3．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 题型十、平面镶嵌 1．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 2．铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为 时，才有可能铺满平面． 3．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 题型十一、三角形的内折叠 1．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）． 题型十二、三角形的外折叠 1．如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时， ．    3．如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 题型十三、三角形的边折叠 1．如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则 ． 3．在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 题型十四、三角形的两个内角平分线 1．如图，在中，，的平分线，相交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 题型十五、三角形的一内一外角平分线 1．如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，I是、的平分线的交点， ． 3．【追本溯源】 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1（两直线平行，同位角相等）推出两条平行线被第三条直线所截得到的内错角之间的关系吗？请给出该定理的证明过程． （1）如图1，直线，直线c是截线．求证：． 【方法应用】 （2）如图2，已知三角形，过点A作直线．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，直线与直线相交于点O，平分，平分且交直线于点G，若，请利用（2）中的结论，求的度数． 题型十六、三角形的两个外角平分线 1．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 3．【问题】 （1）如图①，在中，平分，平分，若，则的度数为______； 【探究】 （2）如图②，在中，，三等分，，三等分，若，则的度数为________；（用含的式子表示） （3）如图（3），是与外角的平分线和的交点，若，则的度数为_______； （4）如图（4），是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 题型十七、三角形的八字形 1．如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 2．如图，和相交于点O，，，，分别平分和．若，则 °． 3．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 题型十八、三角形的角平分线与高结合 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知中，是的角平分线，是边上的高，，那么的度数为 ． 3．如图，和分别是C的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为，则的面积为 ； (2)若，，求和的度数． 题型十九、三角形的新定义 1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．我们定义：三角形中一个内角等于另一个内角的2倍，这个三角形叫做“倍角”三角形，已知是“倍角三角形”，其中一个角为，则中最大角的度数为 ． 3．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 题型二十、尺规作图(含无刻度) 1．已知锐角，如图，按下列步骤作图： ①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C，连接． ②以D为圆心，长为半径画，交于点E，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出△ABC的高AH，并简要说明作图方法（不要求证明）： ． 3．（1）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试只用不带刻度的直尺，按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． （2）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 三角形 压轴专练 题型一、三角形中线求面积 1．如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算．本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 2．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 3．如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线与面积的关系以及三角形的高线，由题意得，，推出；结合即可求解； 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴，． ∴． ∵的面积为，，为中边上的高， ∴． 解得． 即的长为4． 题型二、重心 1．如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点 ．（从中选择） 【答案】D 【分析】如图，得出为△ABC的中线， 交于点，根据重心的定义即可求解． 【详解】如图所示，根据图形可知，， ∴为△ABC的中线， ∵交于点， ∴点为的重心． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，找到三角形的中线是解题的关键． 3．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：    (1)请画图找出的重心点； (2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解； （2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，    依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意， 即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 题型三、垂心 1．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可． 【详解】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部． 2．△ABC的高AD、CE交于点O，连接BO并延长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE∶AD∶BF值为 ． 【答案】12：15：10 【分析】根据三角形三条高线交于一点，可得BF⊥AC，再根据三角形面积是一定的，即可得到CE：AD：BF值． 【详解】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F， ∴BF⊥AC， ∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF， ∴CE：AD：BF＝12：15：10． 故答案为：12：15：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式，难点是得到BF⊥AC． 3． (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可； （2）根据（1）所作图形进行求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【点睛】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键． 题型四、三角形的内角和与外角和 1．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，平行于支撑杆． A．15 B．60 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图1是义乌某商铺销售的一款落地的平板支撑架，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板． （1）则 ； （2）现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则 ． 【答案】 /度 /度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． （1）如图2，过点B作，则，利用平行线的性质求出，再利用平行线的性质即可求出； （2）如图3，延长交于H，利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，然后根据的度数列式计算即可． 【详解】解：（1）如图2，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）如图3，延长交于H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； （2）； （3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． 过点作，根据两直线平行内错角相等，可得：，，因为，所以可得； 根据两直线平行，内错角相等可得：，根据三角形内角和定理可得：，根据邻补角定义可得：，把，代入计算即可； 由可知，根据角平分线的定义可知，由可知，所以可得：． 【详解】解：如图，过点作， （已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， ，，之间的数量关系是； 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； 解：， ， 在中，， 又， ， 故答案为：； 由可知， 又、分别是和的平分线， ，， ， 由可知， ， 故答案为：． 题型五、三角形三边关系的应用 1．若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　） A．6 B．3 C．2 D．11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得： ， 即， 结合各选项数值可知，第三边长可能是6， 故选：A． 2．线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 3．在中，，． (1)若的长是整数，求的长； (2)已知是的边上的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8 (2)24 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键. （1）根据三角形的三边关系解答即可: （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 【详解】（1）解：由题意，得， ． 的长是整数， ． （2）解：如图， 是的边上的中线， ． 的周长为17， ． ， ， 的周长． 题型六、多边形的内角和与外角和 1．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的4倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解． 本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 【详解】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：， ， 解得：， 即这个多边形是： 故选：C． 2．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】该题主要考查了多边形的外角和以及内角和，任何多边形的外角和是360度，即这个多边形的内角和是度．n边形的内角和是，列方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得：． 则这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 3．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 题型七、多边形的截角问题 1．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 3．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型八、多边形的对角线问题 1．从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，解题的关键是熟记如果一个多边形有条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成个三角形． 设多边形有条边，然后根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式，求出边数即可． 【详解】解：设多边形有条边，则， 解得， 故多边形的边数为，即它是八边形， 故选：． 2．在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从九边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：从九边形的一个顶点可以引条对角线，可分割成三角形． 故答案为：7． 3．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 题型九、多(少)算一个角问题 1．一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（    ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】D 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理列不等式组求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得：1000＜（n−2）·180＜1000+180， 解得：＜n＜， ∴n＝8， 即这个多边形是八边形， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 2．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】设这个多边形的边数是n，根据漏掉的那个内角的范围介于可得关于n的不等式组，求出n的范围结合n为正整数即得答案． 【详解】解析：设这个多边形的边数是n， 依题意，得， 解得． 又n为正整数， ∴． ∴这个内角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键． 3．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【答案】多加的这个内角是，这个多边形是八边形 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键. 首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：由题意可知： 多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 题型十、平面镶嵌 1．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，一元一次方程的应用，正多边形的组合能进行平面镶嵌，则位于同一顶点处的几个角之和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为、， 根据题意可知， 解得． 故选：D． 2．铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为 时，才有可能铺满平面． 【答案】/360度 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），平面图形密铺的条件：若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则图形可以密铺平面；否则不能密铺； 【详解】解：铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为时，才有可能铺满平面． 故答案为：． 3．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】(1)A为正四边形，B为正三边形 (2)见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键． （1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求答案画出图形即可． 【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为， ∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺， ∴， 解得：， ∴ ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 题型十一、三角形的内折叠 1．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得是解题的关键．延长，交于点，连接，利用三角形外角的定义可知，，从而得到，再根据三角形内角和求得，即可求得答案． 【详解】解：延长，交于点，连接，如图， 则， ，， ， 中，，， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）． 【答案】(1)，与、与、与是对应角 (2)， (3)，证明见解析 【分析】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）根据翻折方法可得，进而可得出对应角； （2）根据翻折方法可得，再根据平角定义可得，； （3）首先由，，可得，，再根据三角形内角和定理可得，再利用等量代换可得． 【详解】（1）解：∵把纸片沿折叠， ∴，其中与、与、与是对应角； （2）∵， ∴ ∴，； （3）． 理由：∵， ∴，， ∴． 题型十二、三角形的外折叠 1．如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，三角形的外角的性质．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 2．如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时， ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．分当在上方，时，当在下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到，再由折叠的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知：； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴ 由翻折可知：． 故答案为：或． 3．如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2），理由如下： 如图： 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 题型十三、三角形的边折叠 1．如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵， 由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形外角定义，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． （1）将沿折叠，使点落在边的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． （2）证明：作的角平分线，将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图所示： 由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． 题型十四、三角形的两个内角平分线 1．如图，在中，，的平分线，相交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出的度数． 由角平分线定义得到，即可求出，由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵平分平分， ， ∴， ∵， ∴， ， 故选：B． 2．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．由平分，得．由平分，得，进而解决此题． 【详解】解：平分， ． 平分， ． ． 故答案为：、、． 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ． 又，， ， 即与的周长差为1； （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ． 题型十五、三角形的一内一外角平分线 1．如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 2．如图，在中，，I是、的平分线的交点， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，先由三角形内角和得到，再根据角平分线得到，，得到，最后根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：， ， 是、的平分线的交点， ∴，， ， ． 故答案为：． 3．【追本溯源】 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1（两直线平行，同位角相等）推出两条平行线被第三条直线所截得到的内错角之间的关系吗？请给出该定理的证明过程． （1）如图1，直线，直线c是截线．求证：． 【方法应用】 （2）如图2，已知三角形，过点A作直线．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，直线与直线相交于点O，平分，平分且交直线于点G，若，请利用（2）中的结论，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是牢固掌握并灵活应用相关性质定理． （1）根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，结合对顶角相等，即可得出结论． （2）根据平行线性质（两直线平行，内错角相等）可得，由于直线上角和为，即，等量代换即可得到结论． （3）根据角平分线定义，可知，，利用直线、上角和分别为及、内角和分别为，进行推导即可求得最后结果． 【详解】（1）证明：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等） ∴（等量代换） （2）证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵直线上角和为，即 ∴（等量代换） （3）解：∵平分，平分 ∴， ∵，即，则 ，则 在中， ，，即 则 在中， 则 题型十六、三角形的两个外角平分线 1．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的外角的性质，角平分线的定义可得，可判定①；根据平行线的性质，角平分线的定义可判定②；根据三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义可得，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②错误； 在中，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C ． 2．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【答案】 /90度 /45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线定义即可解答， （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 3．【问题】 （1）如图①，在中，平分，平分，若，则的度数为______； 【探究】 （2）如图②，在中，，三等分，，三等分，若，则的度数为________；（用含的式子表示） （3）如图（3），是与外角的平分线和的交点，若，则的度数为_______； （4）如图（4），是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质． （1）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； （2）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （3）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，代入即可求解； （4）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）若，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由三角形的外角性质得，，， ∵O是与外角的平分线和的交点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）．理由如下： ∵是外角与外角的平分线和的交点， ，， 在中， ， ， ∵， ． 题型十七、三角形的八字形 1．如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 2．如图，和相交于点O，，，，分别平分和．若，则 °． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理，能熟记三角形的内角和等于是解此题的关键． 设与交于点与交于点，根据角平分线的定义得出，设，则，求出，根据三角形内角和定理得出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，求出，求出，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：设与交于点与交于点， ∵分别平分和， ， 设，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 即， ， ， ， 解得：， 即， ， ， ， ，得， ， 故答案为：． 3．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 题型十八、三角形的角平分线与高结合 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题． 先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后由即可计算度数． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，已知中，是的角平分线，是边上的高，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的高线， 先根据三角形的内角和定理得，再根据角平分线定义得， 然后结合高线可得，再求出，最后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ∴. ∵是的角平分线， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，和分别是C的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为，则的面积为 ； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查的是三角形的高、角平分线和中线，解决本题的关键是熟记它们的定义． 根据线段中点的定义得到，再根据三角形面积公式解答即可； 根据三角形的高的定义得到，根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义计算． 【详解】（1）解：是的边的中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的高， ， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， ． 题型十九、三角形的新定义 1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 2．我们定义：三角形中一个内角等于另一个内角的2倍，这个三角形叫做“倍角”三角形，已知是“倍角三角形”，其中一个角为，则中最大角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据“倍角三角形”的定义，用分类讨论的思想解决问题即可． 【详解】解：是倍角三角形，不妨设． ， 如果是的2倍，则，， 如果是的2倍，即， ， ， ， 如果是的2倍，则，， 这个三角形其余两个角的度数分别为、或、或、， 中最大角的度数为． 故答案为：． 3．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 题型二十、尺规作图(含无刻度) 1．已知锐角，如图，按下列步骤作图： ①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C，连接． ②以D为圆心，长为半径画，交于点E，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出△ABC的高AH，并简要说明作图方法（不要求证明）： ． 【答案】取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求． 【分析】取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN交于点E，连接AE并延长交BC于点H，根据三角形的三条高线交于一点可得AH即为所求． 【详解】如图，取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求． ∵BM⊥AC，CN⊥AB， ∴AH⊥BC． 故答案为：取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，解题关键是掌握三角形的三条高线交于一点． 3．（1）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试只用不带刻度的直尺，按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． （2）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据题目要求，利用数形结合的思想画出线段EF即可； （2）取格点Q，连接AQ，取AQ的中点J，作射线BJ交AC于点D，线段BD即为所求． 【详解】解：（1）如图，线段EF即为所求： （2）如图，线段BD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$