第4章自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 ∴ 小李求的是十三边形 ． 10. C 11. B 第一章自我检测 1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. 15° 8. 24 9. 9 cm ， 9 cm ， 6 cm 或 7 cm ， 7 cm ， 10 cm 10. 30° 或 150° 11. 13 cm 12. 15 13. 60° 14. ２４ 5 15. 证明： 连接 AD. ∵∠A=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45°. ∵D 是 BC 边上的中点， ∴BD=DC ， AD⊥BC ， ∠BAD=∠CAD =45° ， ∴AD=BD ， ∠B=∠DAF. 又 ∵BE=AF ， ∴△ADF≌△BDE. ∴∠BDE=∠ADF. ∵∠ADE+∠BDE=90° ， ∴∠ADE+∠ADF= 90°. ∴∠EDF=90° ， 即 ED⊥FD. 16. 证明： ∵BF∥AC ， ∴∠C=∠CBF. ∵BC 平分 ∠ABF ， ∴∠ABC=∠CBF. ∴∠C=∠ABC. ∴AB=AC. ∵AD 是 △ABC 的角 平分线， ∴BD=CD ， AD⊥BC. ∵∠EDC=∠BDF ， ∴△CDE≌△BDF. ∴CE=BF. ∵AE=2BF ， ∴AC=3BF. 17. （ 1 ） 证明： ∵AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF. ∴AE=AF. （ 2 ） 证明： 连接 DB ， DC ， ∵DG 垂直平分 BC ， ∴BD=DC. 又 ∵DE=DF ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BE=CF. （ 3 ） 解： 令 AE=x ， 则 BE=8－x ， ∴CF=8－x ， AF=AC+CF=4+ （ 8－x ） =12－x. ∴x=12－x ， ∴x=6 ， 即 AE=6. 18. （ 1 ） 证明： ∵△ABC 和 △ADE 是等边三角形 . ∴AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE=60°. ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+ ∠CAE ， 即 ∠BAE=∠CAD. ∴△ABE≌△ACD. ∴∠ABE=∠ACD ， ∠BGC=180°－∠CBE－∠BCD=180°－ （ ∠CBE+∠BCA+ ∠ACD ） = 60°. （ 2 ） ∠BGC=90°. 证法与 （ 1 ） 相同 . （ 3 ） ∠BGC=α. 19. 解： （ 1 ） 图中有 5 个等腰三角形， EF=BE+CF. （ 2 ） 还有两个等腰三角形， 为 △BEO ， △CFO ， EF=BE+CF. 理 由： ∵EF∥BC ， ∴∠EOB=∠CBO. 又 ∵∠EBO=∠CBO ， ∴∠EOB=∠EBO. ∴BE=EO. 同理可证 OF=CF ， ∴EF=EO+OF=BE+ CF. （ 3 ） 有等腰三角形 BEO 、 等腰三角形 CFO ， 此时 EF=BE－CF. 理由 ： ∵OE∥BC. ∴∠CBO=∠EOB. 又 ∵∠EBO= ∠CBO ， ∴∠EBO=∠EOB. ∴BE=EO. 同理可证 OF=FC ， ∴BE=EO=EF+FO=EF+CF. ∴EF=BE－CF. 第二章自我检测 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. 3a-2y≥-1 10. 3 11. >9 12. m<0 13. a<3 14. m<2 15. 0 16. 7<x<17 17. （ 1 ） x≥15 （ 2 ） x< 7 5 （ 3 ） x>3 （ 4 ） -1≤x<9. 图略 . 18. m<4. 19. 解： 设每天安排 x 小组， 则 1.8 2 · 5x≥15-1.8 ， 解得 x≥2 14 15 ， ∴ 至少安排 3 个小组 . 20. 解 ： （ 1 ） 设购买一个足球需要 x 元 ， 购买一个篮球需要 y 元 ， 则购买一个排球也需要 x 元 ， 由题意得 2x+3y=340 ， 4x+5y=600 0 . 解得 x=50 ， y=80 0 . 答： 购买一个足球需要 50 元， 购买一个篮球需要 80 元 . （ 2 ） 设该中学购买篮球 m 个， 由题 意得 80m+50 （ 100-m ） ≤6 000 ， 解得 m≤33 1 3 ， ∵m 是整数， ∴m 最大可取 33. 答： 这所中学最多可以购买篮球 33 个 . 21. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 （ 10×2+2×3 ） ×6×30=4 680 （名）， ∴ 安检所需要的总费用为 （ 2×3 000+2×2×200+3×500+ 3×1×200 ） ×6=53 400 （元） . 答： 在规定时间内可通过 4 680 名人员， 安检所需要的总费用为 53 400 元 . （ 2 ） 设每个入口处 有 n 个通道安放门式安检仪， 而其余 （ 5-n ） 个通道均为手持安检仪 （ 0≤n≤5 的整数）， 根据题意， 得 ［ 10n+2 （ 5-n ）］ × 6×30≥7 000 ， 解不等式， 得 n≥3 11 18 . ∵0≤n≤5 的整数， ∴n=4 或 n=5. 安检所需要的总费用： w= ［ 3 000n+2n×200+500 （ 5-n ） + （ 5-n ） ×1×200 ］ ×6=16 200n+21 000. 当 n 越小 ， 安检所需要的总费用越少 ， ∴n=4 时 ， 安检所需要的总费用最少 ， 为 85 800. 即： 每个入口处， 有 4 个通道安放门式安检仪， 而其余 1 个通道均为手持安检仪， 安检所需要的总费用最少 . 第三章自我检测 1. B 2. C 3. B 4. C 5. A 6. B 7. 1 8. 4π cm 9. 551 m 2 10. 96 11. 150° 12. 110° 13. 共有 4 种作法， 可以作图形如图所示 . 14. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 略 . （ 3 ） 答案不唯一， 如可以 O 为原点， 画平面直角坐标系来描述 △A 2 B 2 C 2 的位置 . 15. 解： （ 1 ） 由图象可知， 点 A （ 2 ， 3 ）， 点 D （ -2 ， -3 ）， 点 B （ 1 ， 2 ）， 点 E （ -1 ， -2 ）， 点 C （ 3 ， 1 ）， 点 F （ -3 ， -1 ）； 对应点的坐标特征为横坐标、 纵坐标都互为相反数 . （ 2 ） 通过旋转变换得到 △DEF ， △DEF 与 △ABC 是中心对称， 对称中心是原点 O. （ 3 ） 由 （ 2 ） 可知， a+3+2a=0 ， 4-b+2b-3=0 ， 解 得 a=-1 ， b=-1. 16. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 略 . （ 3 ） 点 P 的坐标为 16 5 ， ， * 0 . 17. 解： （ 1 ） ∵△DCO 和 △ABO 都是等边三角形， 且点 O 是线段 AD 的中点， ∴OD=OC=OB=OA ， ∠COD=∠BOA= 60° ， ∠COB=180°-∠COD-∠BOA=60°. ∴∠DOB=120°. ∴∠BDO=∠DBO=30°. 同理： ∠CAO=30° ， ∴∠AED=180°-∠BDO- ∠CAO=120° . ∴∠AEB=180°－∠DEA=60° . （ 2 ） ∵△DCO 和 △ABO 都是等边三角形 ， ∴OD=OC ， OB=OA ， ∠COD= ∠BOA=60° . ∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB ， 即 ∠DOB=∠AOC. ∴△BOD≌△AOC. ∴∠CAO=∠DBO ， ∠AEB=180°- （ ∠ABE+∠BAE ） =180°- （ ∠ABO+∠DBO+∠BAE ） =180°- （ ∠ABO+∠BAO ） . ∵∠ABO=∠BAO=60° ， ∴∠AEB=180°-60°-60° =60°. 18. 解 ： （ 1 ） = （ 2 ） 成立 . 理由如下 ： 由 （ 1 ） 知 AD＝AE ， 根据旋转的性质 ， 得 ∠DAB＝∠EAC. ∵AB＝AC ， ∴ △DAB≌△EAC （ SAS ）， ∴DB＝CE. （ 3 ） ∵ 将 △BAP 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △CAE ， ∴△APB≌△AEC. ∴AE＝AP＝2 ， EC＝BP＝1 ， ∠PAE＝90°. ∴∠AEP＝∠APE＝45°. 在 Rt△PAE 中， 由勾股定理得 PE＝2 2 姨 . 在 △PEC 中， PE 2 ＝ （ 2 2 姨 ） 2 ＝8 ， CE 2 ＝BP 2 ＝1 ， PC 2 ＝3 2 ＝9. ∴PE 2 +CE 2 ＝PC 2 . ∴△PEC 是直角三角形 . ∴∠PEC＝90° . ∴∠AEC＝135° . 又 ∵△APB≌△AEC ， ∴ ∠BPA＝∠CEA＝135°． 第四章自我检测 1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. 5a 2 b 8. b+c -b-c 9. ±24xy 3x±4y 10. -12 11. ±4 12. x （ x+2 ）（ x-2 ） 13. 40 提示： 原式 =5 ［（ x+y ） 2 -2xy ］ . 14. （ 1 ） （ x-y-2 ）（ x-y+2 ） （ 2 ） （ m+n ） 2 （ m-n ） 2 （ 3 ） （ x+3 ） 2 （ x 2 -4x-9 ） （ 4 ） （ a+2b ） 2 （ a-2b ） 2 （ 5 ） （ m－ 1 ）（ 2m－3 ） 2 （ 6 ） （ x－1 ） 4 15. （ 1 ） 4 000 000 （ 2 ） 500 16. 解： 答案不唯一 . 选择多项式： 1 2 x 2 +x－1 ， 1 2 x 2 +3x+1. 做加法运算： 1 2 x 2 +x- - - 1 + 1 2 x 2 +3x+ ， - 1 ＝x 2 +4x＝x （ x+4 ） . 选择 ① ② ③ ④ 第 13 题答图 194 参 考 答 案 多项式： 1 2 x 2 +x－1 ， 1 2 x 2 －x. 做加法运算： 1 2 x 2 +x- ! " 1 + 1 2 x 2 - ! " x =x 2 －1= （ x+1 ）（ x－1 ） . 选择多项式： 1 2 x 2 +3x+1 ， 1 2 x 2 －x. 做加 法运算： 1 2 x 2 +3x+ ! " 1 + 1 2 x 2 - ! " x = （ x+1 ） 2 . 17. 解： 原式 = 1- 1 2 ! " 1+ 1 2 ! " 1- 1 3 ! " 1+ 1 3 ! " 1- 1 4 ! " 1+ 1 4 ! " ·…· 1- 1 2 024 ! " 1+ 1 2 024 ! " 1- 1 2 025 ! " 1+ 1 2 025 ! " = 1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 × … × 2 023 2 024 × 2 025 2 024 × 2 024 2 025 × 2 026 2 025 = 1 013 2 025 . 18. 2 7 提示： 原式 = 2×4 （ 1+2 3 + … +n 3 ） 4×7 （ 1+2 3 + … +n 3 ） . 19. 解： x 2 +42x-3 159＝x 2 +2×21x+441-441-3 159＝x 2 +2×21x+441-3 600＝ （ x+21 ） 2 -60 2 ＝ （ x+81 ）（ x-39 ） . 20. 解： （ 1 ） ∵ 大正方形的边长为 a ， 小正方形的边长为 b ， ∴S 1 =a 2 -b 2 ， S 2 = 1 2 （ 2a+2b ）（ a-b ） = （ a+b ）（ a-b ） . （ 2 ） 根据题意得 a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） . 第五章自我检测 1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8. B 9. 1 2 10. bxy 2 2x 11. x z 1 a+2 12. x=30 13. 3 5 14. 1 15. （ 1 ） b 27 （ 2 ） 2 16. 解： （ 1 ） x=2 是增根， 原方程无解 . （ 2 ） x=4. 17. 解： （ 1 ） 原式 ＝ 1 x-1 . 当 x= 1 2 时， 原式 =-2. （ 2 ） 原式 = 1 a+2 . 答案不唯一， a≠±2 且 a≠0 的任意实数 . 18. 解： 设原来每天加固 x m ， 则 600 x + 4 800-600 2x =9. 解得 x=300. 检验： 当 x=300 时， 2x≠0. ∴x=300 是原方程的解 . 19. 解： 设这种计算器原来每个的进价为 x 元， 根据题意， 得 48-x x ×100%+5%= 48- （ 1-4% ） x （ 1-4% ） x ×100%. 解得 x=40. 经检 验 x=40 是原方程的根 . 20. 解： （ 1 ） 1 n - 1 n+1 = 1 n （ n+1 ） （ n 为正整数） . （ 2 ） 两个连续递增的正整数的倒数差等于它们积的倒数 . （ 3 ） 原式 = 1 2 - 1 x = x-2 2x . 第六章自我检测 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 6. B 7. 1.5 cm 8. 20 9. 8 cm 10. 6 11. 1＜m＜11 12. 1 13. （ 1 ） = = （ 2 ） 无数 图略 . （ 3 ） 经过平行四边形对称中心的任意直线， 都可以把平行四边形分成面积相等 的两部分 14. 证明： ∵BE ， CE 分别是 ∠ABC ， ∠BCD 的平分线， ∴∠ABE=∠EBC ， ∠BCE=∠ECD. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形， ∴AD∥BC. ∴∠AEB=∠EBC ， ∠DEC=∠BCE. ∴∠ABE=∠AEB ， ∠DEC=∠ECD. ∴AB=AE ， CD=DE. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD=BC. ∴BC=AD=AE+DE=AB+CD=2AB. 15. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ， ∠A=∠C. ∵BL=DN ， ∴CL=AN. 又 ∵AK＝CM ， ∴△AKN≌△CML （ SAS ） . ∴KN=ML. 同理可证 △BKL≌△DMN ， ∴KL=MN. ∴ 四边形 KLMN 为平行四边形 . 16. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD=BC ， AD∥BC ， ∠3=∠4. ∵∠1=∠3+∠5 ， ∠2=∠4+∠6 ， ∠1=∠2 ， ∴∠5=∠6. ∴△ADE≌△CBF （ ASA ） . ∴AE=CF. （ 2 ） ∵∠1=∠2 ， ∴DE∥BF. 又由 （ 1 ） 知 △ADE≌△CBF ， ∴DE=BF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . 17. 解： （ 1 ） 作出正确的图形 （如图所示）， ① 以点 E 为圆心， 分别 以 AE ， BE 长为半径画弧； ② 再以点 F 为圆心， 分别以 AF ， BF 为半径画 弧， 与前两弧分别相交于 A′ ， B′ 两点， 连接 A′B′ ， A′E ， B′F 即可 . （ 2 ） ∵ 四边形 ABFE 是平行四边形， ∴∠EFB=∠A=65°. ∵ 四边形 A′B′FE 是由 四边形 ABFE 翻折得到的， ∴∠B′FE=∠EFB=65°. ∴∠B′FC=180°-∠B′FE- ∠EFB=50°. 18. 解 ： ∵△ABC 是等腰三角形 ， ∴∠B=∠C ， AB=AC. ∵DE∥AB ， DF∥AC ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∴ ∠B=∠EDC=∠C ， ∠C=∠FDB=∠B. ∴BF=DF ， DE=CE. ∴ 四边形 AEDF 的周长 =AF+FD+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC. 又 ∵BC=12 ， BC 边上的高 AG=8 ， ∴BG=6. ∴AB=AC= 8 2 +6 2 姨 =10. ∴ 四边形 AEDF 的周长为 AB+AC=20 ， 即四边形 AEDF 的周长不因 D 的运动而变化 . 19. （ 1 ） 证明： 如图， 过点 F 作 FP∥BC 交 AB 于点 P ， ∴∠B=∠FPD. 又 ∵FH∥AB ， ∴ 四 边形 BHFP 是平行四边形 . ∴FP=BH. ∵∠ACB=90° ， CD⊥AB ， ∴∠ACD+∠DCB=90° ， ∠B+ ∠DCB=90° . ∴∠B=∠ACD. ∴∠FPD=∠ACD. ∵∠BAE=∠CAE ， AF=AF ， ∴△ACF≌△APF. ∴FP=CF. 又 ∵∠CEF=∠BAE+∠B ， ∠CFE=∠CAE+∠ACD ， ∴∠CEF=∠CFE. ∴CF=CE. ∴CE=BH. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知 CE=BH=CF=3 ， 由勾股定理得 BC=8 ， ∴EH=BC-2BH=2. 20. （ 1 ） 等腰三角形 . （ 2 ） △AGD 是直角三角形 . 证明： 如图， 连接 BD ， 取 BD 的 中点 H ， 连接 HF ， HE ， ∵F 是 AD 的中点 ， ∴HF∥AB ， HF= 1 2 AB. ∴∠1=∠3. 同理 ， HE∥CD ， HE= 1 2 CD ， ∴∠2=∠EFC. ∵AB=CD ， ∴HF=HE. ∴∠1=∠2. ∵∠EFC=60° ， ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°. ∴△AGF 是等边三角形 . ∵AF=FD ， ∴GF=FD. ∴∠FGD=∠FDG= 30°. ∴∠AGD=90° ， 即 △AGD 是直角三角形 . 期 末 检 测 1. B 2. D 3. D 4. A 5. D 6. C 7. C 8. A 9. C 10. B 11. 135° 12. -12 13. 2 14. 每行驶 1 km 纯用电的费用 15. 2 41 姨 1 2 F A B D E C 3 4 5 6 第 16 题答图 第 17 题答图 F A B D E C ′ A B ′ 第 19 题答图 P H F A B D E C 第 20 题答图 H G F A B D E C 1 2 3 195 一、 选择题 （每题 2 分， 共 12 分） 1. 下列等式从左到右的变形， 属于因式分解的是 （ ） A. a （ x-y ） =ax-ay B. x 2 +2x+1=x （ x+2 ） +1 C. （ x+1 ）（ x+3 ） =x 2 +4x+3 D. x 3 -x=x （ x+1 ）（ x-1 ） 2. 若（ x-5 ）和（ x+3 ）是二次三项式 x 2 -kx-15 的因式， 则 k 的值是 （ ） A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 3. 下列各多项式能用公式法因式分解的有 （ ） ①4m 2 －n 2 ②4x 2 y 2 +1－4xy ③a 2 +2ab－b 2 ④x 2 - 1 4 ⑤ （ a－b ） 2 －2 （ a－b ） +1 A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 4. 因式分解（ x－1 ） 2 －9 的结果是 （ ） A． （ x+8 ）（ x+1 ） Ｂ． （ x－10 ）（ x+8 ） Ｃ． （ x－2 ）（ x+4 ） Ｄ． （ x+2 ）（ x－4 ） 5. △ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ， 且 a+2ab＝c+2bc ， 则 △ABC 是 （ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图， 边长为 a ， b 的长方形的周长为 14 ， 面积为 10 ， 则 a 2 b+ab 2 的值为 （ ） A． 140 B． 70 C． 35 D． 24 二、 填空题 （每题 3 分， 共 21 分） 7. 多项式 20a 3 b-10a 2 b 2 +15a 4 b 3 中各项的公因式是 . 8. 4a 2 － （ ） 2 = （ 2a+b+c ）（ 2a ） . 9. 9x 2 + +16y 2 = （ ） 2 . 10. 若 x 2 －x+m= （ x+3 ）（ x－4 ）， 则 m= . 11. 若二次三项式 a 2 x 2 －8xy+y 2 是一个完全平方式， 则 a 的值为 . 12. 因式分解： x 3 －4x= . 13. x+y=3 ， xy= 1 2 ， 则多项式 5y 2 +5x 2 的值为 . b a 第 6 题图 第四章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 第四章自我检测 161 八年级下册 （北师大版）数学 三、 解答题 （第 14 题 18 分， 第 15~19 题各 8 分， 第 20 题 9 分， 共 67 分） 14. 将下列各式因式分解 . （ 1 ） x 2 +y 2 -2xy-4. （ 2 ） m 4 -2m 2 n 2 +n 4 . （ 3 ） （ x 2 +x ） 2 - （ 5x+9 ） 2 . （ 4 ） （ a 2 +4b 2 ） 2 -16a 2 b 2 . （ 5 ） 4 （ m－1 ） 3 －4 （ 1－m ） 2 + （ m－1 ） . （ 6 ） （ x 2 －2x ） 2 －2x （ 2－x ） +1. 15. 应用因式分解方法计算下列各题 . （ 1 ） 2 002 2 －8 008+4. （ 2 ） 1 000 2 252 2 -248 2 . 162 16. 给出三个多项式： 1 2 x 2 +x－1 ， 1 2 x 2 +3x+1 ， 1 2 x 2 －x ， 请你选择其中两个进行加法运 算， 并把结果因式分解 . 17. 化简： 1- 1 2 2 2 " 1- 1 3 2 2 " 1- 1 4 2 2 " … 1- 1 2 024 2 2 " 1- 1 2 025 2 2 " . 18. 化简： 1×2×4+2×4×8+ … +n×2n×4n 1×4×7+2×8×14+ … +n×4n×7n . 第四章自我检测 163 八年级下册 （北师大版）数学 19. 因式分解： x 2 -120x+3 456. 下列是小王同学的解题思路： 由于常数项数值较大， 则采用把 x 2 -120x 变为差的平方 的形式进行分解， 这样简便易行： x 2 -120x+3 456＝x 2 -2×60x+3 600-3 600+3 456 = （ x 2 -2×60x+60 2 ） -144 ＝ （ x-60 ） 2 -12 2 ＝ （ x-60+12 ）（ x-60-12 ） ＝ （ x-48 ）（ x-72 ） . 请仿照小王同学的思路因式分解： x 2 +42x-3 159. 20. 如图 1 ， 从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形， 再沿着线段 AB 剪开， 把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形 . （ 1 ） 设图 1 中阴影部分面积为 S 1 ， 图 2 中阴影部分面积为 S 2 ， 请直接用含 a ， b 的代 数式表示 S 1 和 S 2 . （ 2 ） 请写出上述过程所揭示的乘法公式 ． b b a a a A B b a-b 图 1 图 2 第 20 题图 164