专题02 相交线平行线（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02相交线平行线 题型概览 题型01两条直线的位置关系 题型02探索直线平行的条件 题型03平行线的性质 题型04尺规作图题型 题型01两条直线的位置关系 一．余角和补角（共5小题） 1．（2024春•瓜州县校级期中）与互余，与互补，，那么　　． 2．（2024春•白银区校级期中）如果与互余，与互余，且，，那么　　度． 3．（2024春•景泰县期中）已知的余角的3倍等于它的补角，则　　． 4．（2024春•兰州校级期中）若一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•城关区校级期中）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是　　 A． B． C． D． 二．对顶角、邻补角（共9小题） 6．（2024春•武威期中）已知如图，三条直线、、交于一点，则　　． 7．（2024春•武威期中）如图，直线与相交于点，若，则　　 A． B． C． D． 8．（2024春•凉州区期中）下列各组角中，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•城关区校级期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•武威期中）如图，直线，相交，，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•礼县校级期中）如图，直线，，相交于点． （1）写出的邻补角． （2）写出，的对顶角． （3）如果，求，的度数． 12．（2024春•庆阳期中）如图，直线，相交于点，， （1）比较，，的大小； （2）若，求和的度数． 13．（2024春•景泰县期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． （1）图中的对顶角为　　，的补角为　　； （2）若，且，求的度数． 14．（2024春•肃北县期中）如图所示，直线、相交于点，，，且，求的度数． 三．垂线（共7小题） 15．（2024春•庄浪县期中）如图，直线和相交于，于点，，则的度数为 　　． 16．（2024春•定西期中）如图，点在直线上，．若，则的度数为 　　． 17．（2024春•武威期中）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 18．（2024春•兰州期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数． 19．（2024春•肃北县期中）如图，直线，相交于点，且． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 20．（2024春•古浪县期中）如图，点、、三点在同一直线上，， （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 21．（2024春•武威期中）如图，为直线上一点，，并且．求的度数． 四．垂线段最短（共5小题） 22．（2024春•景泰县期中）如图，某小区自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，并与主管道连接，这样路线最短，工程造价最低，根据是　　． 23．（2024春•镇原县期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　　． 24．（2024春•武威期中）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，米，米，米，则该同学立定跳远的实际成绩是 　　米． 25．（2024春•凉州区期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 26．（2024春•武威期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是　　 A． B． C． D． 五．点到直线的距离（共5小题） 27．（2024春•武威期中）如图，△中，，，垂足分别是、，那么点到线段的距离是线段　　的长度． 28．（2024春•红古区期中）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•武威期中）如图，，，能够表示点到直线的距离的是　　 A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 30．（2024春•武威期中）如图，点处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点到直线的距离可能为　　 A． B． C． D． 31．（2024春•城关区校级期中）在直线上有三个点、、，点在直线外，若，，，则点到直线的距离是　　 A．等于 B．不大于 C．不小于 D．无法确定 六．同位角、内错角、同旁内角（共6小题） 32．（2024春•凉州区校级期中）如图，直线，被所截，则的同旁内角是 　　． 33．（2024春•民勤县校级期中）下列图形中，与是内错角的是　　 A． B． C． D． 34．（2024春•武威期中）如图，，，三条直线两两相交，下列说法错误的是　　 A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 35．（2024春•武威期中）如图，下列说法正确的是　　 A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 36．（2024春•武威期中）如图，直线与的边相交． （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角． （2）如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 37．（2024春•肃北县期中）如图，，相交于点，交于点，交于点． （1）指出，被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； （2）指出，被所截形成的内错角； （3）指出，被所截形成的同旁内角． 题型02探索直线平行的条件 七．平行线（共2小题） 38．（2024春•临洮县期中）直线、、在同一平面内， （1）如果，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，那么； （4）如果与相交，与相交，那么与相交． 在上述四种说法中，正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2024春•城关区校级期中）下列说法错误的是　　 A．不相交的两条直线叫做平行线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 八．平行线的判定（共21小题） 40．（2024春•民勤县校级期中）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连接． （1）求证：； （2）若与互余，求证：． 41．（2024春•安定区校级期中）如图，点在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是　　 A． B． C． D． 42．（2024春•凉州区期中）如图，下列能判定的条件有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（2024春•武威期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 44．（2024春•民勤县校级期中）如图所示，于点，于点，，．求证：． 45．（2024春•崆峒区期中）如图，已知直线、被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 解：因为平分，平分（已知）， 所以　　， 　　， 所以　　（等式性质）， 因为（已知）， 所以　　 所以　　． 46．（2024春•武威期中）如图，与相交于点，，且平分．试说明：． 47．（2024春•肃北县期中）如图，已知于点，于点，，能成立吗？为什么？ 48．（2024春•城关区期中）如图，已知，，试说明． 49．（2024秋•凉州区期中）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，．求证：． 50．（2024春•城关区校级期中）如图，直线，与交于，两点，，且平分，平分，求证：直线． 51．（2024春•凉州区期中）如图，，平分，求证：． 52．（2024春•肃北县期中）如图，已知． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 53．（2024春•凉州区期中）如图，，，．试说明：． 54．（2024春•城关区校级期中）如图，已知，，求证：． 55．（2024春•凉州区期中）如图，，垂足为，，．与平行吗？为什么？ 56．（2024春•凉州区期中）已知：如图，且，试说明：． 解：，（已知） 　 　　 　　 　 （已知） 　 　　 　（等式性质） 　 　 57．（2024春•武威期中）如图，已知，．说明的理由． 58．（2024春•临泽县校级期中）如图，，，， 求证：． 59．（2024春•兰州期中）如图，已知，．求证：． 60．（2024春•肃州区校级期中）如图所示，平分，，求证：． 题型03平行线的性质 一．平行线的性质（共39小题） 1．（2024春•民勤县校级期中）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•安宁区校级期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•定西期中）如图，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•白银区校级期中）如图，，，，则与的数量关系是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•红古区期中）如图，直线与直线，都相交．若，，则　　 A． B． C． D． 6．（2024春•城关区校级期中）如图，，直线分别交，于点，，平分，交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•甘谷县期中）光的逆向反射又称再归反射，如图①，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图②所示，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•庆阳期中）为了增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图，这是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图所示的数学问题：已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024春•武威期中）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•凉州区期中）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•凉州区期中）如图是一架婴儿车的平面图，其中，，，那么　　 A． B． C． D． 12．（2024春•兰州校级期中）如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，是折痕，若，则下列结论正确的有　　 （1）； （2）； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024春•武威期中）如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024春•庄浪县期中）如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•肃北县期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•兰州校级期中）下列说法正确的个数　　 ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②平面内，互相垂直的两条直线一定相交； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024春•城关区校级期中）将一副直角三角尺按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•白银区校级期中）将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 19．（2024春•城关区校级期中）如图，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•凉州区期中）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 21．（2024春•武威期中）如图，将矩形沿对角线折叠，的对应点为，与相交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•城关区校级期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则下列说法正确的是　　 ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 23．（2024春•凉州区期中）如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的度数是 　　． 24．（2024春•景泰县期中）已知两个角与，的两边分别平行于的两边，若，则　　． 25．（2024春•庆阳期中）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 　　． 26．（2024春•武威期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于，点、的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 　　 （填写序号）． 27．（2024春•武威期中）如图，，，，则　　． 28．（2024春•武威期中）如图，，，平分，平分，则　　． 29．（2024春•凉州区期中）如图，若，，，则　　． 30．（2024春•定西期中）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，则的度数是 　　． 31．（2024春•武威期中）已知，点为边上一点，过点作，若，则　　． 32．（2024春•凉州区校级期中）已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数是 　　． 33．（2024春•红古区校级期中）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源点照射到凹面镜上的光线、等反射以后沿着与直线平行的方向射出．若，，则　　． 34．（2024春•礼县校级期中）如图，已知，． （1）试问与相等吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 35．（2024春•凉州区校级期中）如图，，平分，，，求的度数． 36．（2024春•城关区校级期中）已知，，点在上方，连接、． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，过点作交的延长线于点，直接写出和之间的数量关系 　　； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点，若平分，求的值． 37．（2024春•城关区校级期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． （2）【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 38．（2024春•凉州区校级期中）已知，，点在上，过点引射线，交于点，为射线上一点，连结，． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，当点在射线上时，与相交于点，则，，之间满足怎样的关系？请说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，是平分线上一点，连结交于点，连结，若，，，求的度数． 39．（2024春•城关区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是 　　，理由是 　　； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 二．平行线的判定与性质（共18小题） 40．（2024春•武威期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是　　 A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 41．（2024春•凉州区期中）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（2024春•镇原县期中）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（2024春•庄浪县期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为　　度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 44．（2024春•庄浪县期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，且，则　　． 45．（2024春•武威期中）填空完成推理过程： 如图，，，求证：． 证明：（已知）， 　　 ， （等量代换）， 　　 　　 ， 　　 ， （已知）， （等量代换）， 　　 ， 　　 ． 46．（2024春•兰州校级期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为　　． 47．（2024春•康县期中）如图，，，，试证明：．请将下面的证明过程补充完整． 证明： 　　， 　　 　　， 　　， 　　（等量代换）， 又 　　， 　　， 　　 　　， 　　． 48．（2024春•凉州区期中）如图，，，，是的平分线． （1）与平行吗？请说明理由； （2）试说明； （3）试说明是的平分线． 49．（2024春•凉州区校级期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的度数． 50．（2024春•武威期中）如图，已知，，求证：． 51．（2024春•岷县期中）如图，，，，，平分． （1）求的度数； （2）求证：． 52．（2024春•武威期中）如图，已知，、分别在、的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求证：平分； （3）在（2）的条件下，若，，求的度数． 53．（2024春•崆峒区期中）已知，和都不经过点，探索与，的数量关系． （1）在图1中，请证明．（提示：过点作 （2）按第（1）题方法应用：在图2中，若，，则的度数为 　　； （3）拓展，在图3中，探索与，的数量关系，并说明理由． 54．（2024春•景泰县期中）如图，如果于点，于点，，那么平分，理由如下：于点，于点（已知）， 　　（垂直的定义）， 　　， 　　， 　　（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， 　　　　（等量代换）， 平分 　　． 55．（2024春•镇原县期中）已知：如图，，，求证：． 56．（2024春•镇原县期中）如图所示，已知，，试判断与的位置关系，并说明理由． 57．（2024春•武威期中）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 三．平行线之间的距离（共1小题） 58．（2024春•金川区校级期中）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 　　． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02相交线平行线 题型概览 题型01两条直线的位置关系 题型02探索直线平行的条件 题型03平行线的性质 题型04尺规作图题型 题型01两条直线的位置关系 一．余角和补角（共5小题） 1．（2024春•瓜州县校级期中）与互余，与互补，，那么　　． 【答案】． 【分析】根据互为余角的和等于先求出的度数，再根据互为补角的和等于即可求出的度数． 【解答】解：根据题意可知，， 与互补， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了余角与补角的定义，掌握互为余角的和等于，互为补角的和等于是关键． 2．（2024春•白银区校级期中）如果与互余，与互余，且，，那么　55　度． 【分析】直接利用互为余角的性质得出，进而得出答案． 【解答】解：与互余，与互余，且， ． 故答案为：55． 【点评】此题主要考查了互为余角的性质，正确得出是解题关键． 3．（2024春•景泰县期中）已知的余角的3倍等于它的补角，则　　． 【答案】． 【分析】由余角和补角的定义可知角的余角为，补角为，再根据“角余角的3倍等于它的补角”列方程求解即可． 【解答】解：的余角的3倍等于它的补角． ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，理解余角和补角的定义是解题关键． 4．（2024春•兰州校级期中）若一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，它的补角为，根据题意列出方程，解出即可解答． 【解答】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了余角和补角的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 5．（2024春•城关区校级期中）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设这个角为，由题意列出，求解即可． 【解答】解：设这个角为， 由题意得，， 解得， 即这个角的度数是， 故选：． 【点评】本题考查了余角和补角，熟知余角和补角的定义，正确列出方程是解题的关键． 二．对顶角、邻补角（共9小题） 6．（2024春•武威期中）已知如图，三条直线、、交于一点，则　　． 【答案】． 【分析】根据对顶角相等可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换即可解答． 【解答】解：如图： ，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7．（2024春•武威期中）如图，直线与相交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据邻补角定义和对顶角性质求得和的度数，再把它们相加即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查邻补角定义及对顶角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．（2024春•凉州区期中）下列各组角中，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义进行判断即可． 【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断， 、、都不是由两条直线相交构成的图形，选项错误，不符合定义； 是由两条直线相交构成的图形，选项正确，符合定义． 故选：． 【点评】本题考查对顶角的定义，熟悉定义是解题的关键． 9．（2024春•城关区校级期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角相等和邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：，， ， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角的定义是正确计算的前提． 10．（2024春•武威期中）如图，直线，相交，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形以及，可求出和的值，进而能得出的值． 【解答】解：由图形可得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错． 11．（2024春•礼县校级期中）如图，直线，，相交于点． （1）写出的邻补角． （2）写出，的对顶角． （3）如果，求，的度数． 【答案】（1）的邻补角为或； （2）的对顶角为，的对顶角为； （3），． 【分析】（1）根据邻补角定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角进行分析； （2）根据对顶角定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线进行分析即可； （3）根据邻补角互补、对顶角相等可得答案． 【解答】解：（1）的邻补角是：，； （2）的对顶角是，的对顶角是； （3）， ，． 【点评】此题主要考查了邻补角和对顶角，掌握邻补角和对顶角的定义和性质是解题的关键． 12．（2024春•庆阳期中）如图，直线，相交于点，， （1）比较，，的大小； （2）若，求和的度数． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）根据已知得出，，，即可得出答案； （2）代入求出即可；代入求出即可． 【解答】解：（1）， ， ，，， 即； （2），，， ， ． 【点评】本题考查了对顶角和邻补角的应用，主要考查学生的计算能力． 13．（2024春•景泰县期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． （1）图中的对顶角为　　，的补角为　　； （2）若，且，求的度数． 【分析】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可； （2）根据对顶角相等求出的度数，再根据求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数． 【解答】解：（1）的对顶角为，的邻补角为； 故答案为：；； （2），，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解． 14．（2024春•肃北县期中）如图所示，直线、相交于点，，，且，求的度数． 【分析】根据，，求出，根据对顶角的性质得，即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ． 【点评】本题考查对顶角的性质和角的计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 三．垂线（共7小题） 15．（2024春•庄浪县期中）如图，直线和相交于，于点，，则的度数为 　　． 【分析】设，则，根据垂线的定义，可以列出关于的方程，再根据对顶角的性质即可求解． 【解答】解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂线，邻补角和对顶角，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2024春•定西期中）如图，点在直线上，．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案． 【解答】解：，， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键． 17．（2024春•武威期中）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系可得，再根据对顶角相等可得，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 18．（2024春•兰州期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，求的度数． 【答案】． 【分析】先由垂直的定义可得的度数，再根据邻补角的定义可得答案． 【解答】解：， ， ， ． 【点评】此题考查的是垂线、邻补角，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 19．（2024春•肃北县期中）如图，直线，相交于点，且． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后再利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据求出，再根据求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， 的度数为； （2），， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 20．（2024春•古浪县期中）如图，点、、三点在同一直线上，， （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由垂直的定义可得，再根据角度的和差可得出结论； （2）由，可得，再结合比例关系，代入可得的度数，再根据角度的和差可得出结论． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 21．（2024春•武威期中）如图，为直线上一点，，并且．求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】先利用平角减去，求出的度数，再根据垂直定义求出的度数，然后进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 四．垂线段最短（共5小题） 22．（2024春•景泰县期中）如图，某小区自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，并与主管道连接，这样路线最短，工程造价最低，根据是　垂线段最短　． 【答案】垂线段最短． 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点评】此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用． 23．（2024春•镇原县期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　垂线段最短　． 【答案】垂线段最短． 【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可． 【解答】解：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题． 24．（2024春•武威期中）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，米，米，米，则该同学立定跳远的实际成绩是 　2.3　米． 【答案】2.3． 【分析】根据点到直线的距离解答即可． 【解答】解：，米， 该同学的实际立定跳远成绩是2.3米． 故答案为：2.3． 【点评】本题考查了点到直线的距离，关键掌握直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 25．（2024春•凉州区期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是　　 A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】 【分析】根据垂线段的性质解答即可． 【解答】解：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故选：． 【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题． 26．（2024春•武威期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】从点到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点到公路的距离最短，根据垂线段最短得出答案． 【解答】解：从点到公路，用相同速度行走，最快到达， 需要点到公路的距离最短， 垂线段最短， 是最快到达的路径． 故选：． 【点评】本题考查了线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短． 五．点到直线的距离（共5小题） 27．（2024春•武威期中）如图，△中，，，垂足分别是、，那么点到线段的距离是线段　　的长度． 【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点到的垂线段即可． 【解答】解：如图，，垂足是， 点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度． 28．（2024春•红古区期中）下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度． 【解答】解：线段的长表示点到直线距离的是图， 故选：． 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段． 29．（2024春•武威期中）如图，，，能够表示点到直线的距离的是　　 A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】 【分析】根据点到直线的距离定义可做出判断． 【解答】解：， 线段的长度表示点到直线的距离． 故选：． 【点评】本题运用了点到直线的距离的知识点，关键是准确找到垂线段． 30．（2024春•武威期中）如图，点处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点到直线的距离可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：垂线段最短， 点到直线的距离小于， 点到直线的距离可能为， 故选：． 【点评】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 31．（2024春•城关区校级期中）在直线上有三个点、、，点在直线外，若，，，则点到直线的距离是　　 A．等于 B．不大于 C．不小于 D．无法确定 【分析】根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短解答． 【解答】解：根据垂线段最短，，，，不一定与垂直， 点到直线的距离是不大于． 故选：． 【点评】本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质． 六．同位角、内错角、同旁内角（共6小题） 32．（2024春•凉州区校级期中）如图，直线，被所截，则的同旁内角是 　　． 【答案】． 【分析】根据同旁内角的定义即可求得． 【解答】解：直线，被所截， 的同旁内角是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同旁内角的定义，解决此题的关键是熟记同旁内角的定义． 33．（2024春•民勤县校级期中）下列图形中，与是内错角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【解答】解：、与不是内错角，故此选项不符合题意； 、与不是内错角，故此选项不符合题意； 、与是内错角，故此选项符合题意； 、与不是内错角，此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“ “形． 34．（2024春•武威期中）如图，，，三条直线两两相交，下列说法错误的是　　 A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 【答案】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可． 【解答】解：．与是直线、直线被直线所截，所得到的同位角，因此选项不符合题意； ．与是直线、直线被直线所截，所得到的同位角，因此选项符合题意； ．与是对顶角，因此选项不符合题意； ．与是直线、直线被直线所截，所得到的同旁内角，因此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提． 35．（2024春•武威期中）如图，下列说法正确的是　　 A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角等逐一判断即可． 【解答】解：、与不是对顶角，故该选项错误； 、与不是同位角，故该选项错误； 、与不是内错角，故该选项错误； 、与是同旁内角，故该选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义． 36．（2024春•武威期中）如图，直线与的边相交． （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角． （2）如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 【答案】（1）与是同位角；与是内错角；与是同旁内角； （2）与相等，与互补，理由见解析． 【分析】（1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【解答】解：（1）与是同位角；与是内错角；与是同旁内角； （2）如果，那么与相等，与互补． 理由如下： ，，， ，． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． 37．（2024春•肃北县期中）如图，，相交于点，交于点，交于点． （1）指出，被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； （2）指出，被所截形成的内错角； （3）指出，被所截形成的同旁内角． 【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【解答】解：（1）同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形． 题型02探索直线平行的条件 七．平行线（共2小题） 38．（2024春•临洮县期中）直线、、在同一平面内， （1）如果，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，那么； （4）如果与相交，与相交，那么与相交． 在上述四种说法中，正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行，平行公理对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：直线、、在同一平面内， （1）如果，，那么；正确． （2）如果，，，那么；正确． （3）如果，，那么；正确． （4）如果与相交，与相交，那么与相交．错误 所以正确的有3个， 故选：． 【点评】本题考查了平行线，相交线，主要利用了平行公理和垂直于同一直线的两直线平行，是基础题，需熟记． 39．（2024春•城关区校级期中）下列说法错误的是　　 A．不相交的两条直线叫做平行线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据平行线和垂线的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：、错误，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 、正确，符合垂线段的定义； 、正确，是平行线的传递性； 、正确，符合垂线的性质． 故选：． 【点评】本题考查的是平行线的定义、垂线的定义及性质，比较简单． 八．平行线的判定（共21小题） 40．（2024春•民勤县校级期中）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连接． （1）求证：； （2）若与互余，求证：． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【解答】（1）证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 41．（2024春•安定区校级期中）如图，点在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】、利用同旁内角互补两直线平行，得到与平行，本选项不合题意； 、利用同位角相等两直线平行，得到与平行，本选项不合题意； 、利用内错角相等两直线平行，得到与平行，本选项不合题意； 、利用内错角相等两直线平行，得到与平行，本选项符合题意． 【解答】解：、， ，本选项不合题意； 、， ，本选项不合题意； 、， ，本选项不合题意； 、， ，本选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 42．（2024春•凉州区期中）如图，下列能判定的条件有　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题． 【解答】解：①， ， 故①符合题意； ②， ， 故②不符合题意； ③， ， 故③符合题意； ④， ， 故④符合题意； 综上，①③④符合题意，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 43．（2024春•武威期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到答案． 【解答】解：、， 两个角不是同位角与内错角，故此选项不能判断，不符合题意； 、， ，故此选项不能判断，不符合题意； 、， ，故此选项能判断，符合题意； 、， ，故此选项不能判断，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 44．（2024春•民勤县校级期中）如图所示，于点，于点，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】由垂直的性质得到，进而可证，根据平行线的判定得到，再由，可证，然后根据平行线的判定即可得到． 【解答】证明：，（已知）， （垂直定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （平行于同一直线的两直线互相平行）． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，关键是平行线性质定理的熟练应用． 45．（2024春•崆峒区期中）如图，已知直线、被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 解：因为平分，平分（已知）， 所以　1　， 　　， 所以　　（等式性质）， 因为（已知）， 所以　　 所以　　． 【分析】利用平行线的判定方法中的“同旁内角互补，两直线平行”即可得到结论． 【解答】解：因为平分，平分（已知）， 所以， ， 所以 等式性质， 因为（已知）， 所以 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：1、2、、、同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定，牢记平行线的三个判定定理是解决此类题目的关键． 46．（2024春•武威期中）如图，与相交于点，，且平分．试说明：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到，则可证明，根据平行线的判定即可证明． 【解答】证明：因为平分， 所以（角平分线的定义）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 因为， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 47．（2024春•肃北县期中）如图，已知于点，于点，，能成立吗？为什么？ 【分析】由垂直的定义得到，因此，由余角的性质推出，即可证明． 【解答】解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定，垂线，关键是由余角的性质得到． 48．（2024春•城关区期中）如图，已知，，试说明． 【答案】说明过程见解析部分． 【分析】根据题意，可得，利用两直线平行，内错角相等，得到，结合已知条件，得到，从而证得结论． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 49．（2024秋•凉州区期中）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，．求证：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，同旁内角互补，直线平行． 50．（2024春•城关区校级期中）如图，直线，与交于，两点，，且平分，平分，求证：直线． 【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据，得出，即可证明结论． 【解答】证明：平分，平分， ，， 又， ， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 51．（2024春•凉州区期中）如图，，平分，求证：． 【分析】根据角平分线的定义得出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【解答】证明：平分， ， ， ， ． 【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出． 52．（2024春•肃北县期中）如图，已知． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【分析】（1）由题意可判定，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数； （2）根据，，即可得出，进而判定． 【解答】（1）解：， ， ， 又， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行． 53．（2024春•凉州区期中）如图，，，．试说明：． 【分析】想办法证明即可解决问题． 【解答】解：，， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 54．（2024春•城关区校级期中）如图，已知，，求证：． 【分析】根据内错角相等，两直线平行可得，根据平行线的性质可得，再由条件可得，再根据内错角相等，两直线平行可得． 【解答】证明：， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法和性质定理． 55．（2024春•凉州区期中）如图，，垂足为，，．与平行吗？为什么？ 【分析】结论：，只要证明即可． 【解答】解：结论：． 理由：， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 56．（2024春•凉州区期中）已知：如图，且，试说明：． 解：，（已知） 　　　 　　 　 （已知） 　 　　 　（等式性质） 　 　 【分析】由已知与垂直，与垂直，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由已知角相等，利用等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【解答】解：，（已知）， （垂直的定义）， （已知）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；内错角相等，两直线平行． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 57．（2024春•武威期中）如图，已知，．说明的理由． 【分析】根据平行线的判定可得，，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ． 【点评】考查了平行线的判定，关键是熟悉同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行的知识点． 58．（2024春•临泽县校级期中）如图，，，， 求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】根据垂直定义求出，求出，根据平行线的判定推出即可． 【解答】证明：，， ． ． ， ． ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，在看懂图形并根据题意，找到两直线平行的条件，是解答本题的关键． 59．（2024春•兰州期中）如图，已知，．求证：． 【分析】欲证明，只要证明即可 【解答】证明：， ， ， 又， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 60．（2024春•肃州区校级期中）如图所示，平分，，求证：． 【分析】根据角平分线的性质得到，而，则得到，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论 ． 【解答】解：平分， ， 而， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定定理： 内错角相等两直线平行 ．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/5 18:22:24；用户：黄蕊；邮箱：orFmNt5w4IZ2bvkz8NEBOLH6eITg@wei 题型03平行线的性质 一．平行线的性质（共39小题） 1．（2024春•民勤县校级期中）如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由邻补角的定义即可得出结论． 【解答】解：如图所示： 直线，， ． 与是邻补角， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解决问题的关键． 2．（2024秋•安宁区校级期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 3．（2024春•定西期中）如图，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质推出，由直角三角形的性质得到，因此，而，求出，得到． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】木题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 4．（2024春•白银区校级期中）如图，，，，则与的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先设角，表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【解答】解：设，，则，， ， ， ． 故选：． 【点评】考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用． 5．（2024春•红古区期中）如图，直线与直线，都相交．若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据解答即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 6．（2024春•城关区校级期中）如图，，直线分别交，于点，，平分，交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【解答】解：平分， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 7．（2024春•甘谷县期中）光的逆向反射又称再归反射，如图①，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图②所示，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】有反射可知，，由可知，再利用两个平角相加得即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ，且， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2024春•庆阳期中）为了增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图，这是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图所示的数学问题：已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于点，再平行线的性质可得，再利用邻补角性质得出，即可求． 【解答】解：延长交于点，如图， ，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 9．（2024春•武威期中）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键． 10．（2024春•凉州区期中）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平角的定义及角的和差关系，先求出，再利用平行线的性质求出． 【解答】解：， ， ， ， ，． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出的度数是解决本题的关键． 11．（2024春•凉州区期中）如图是一架婴儿车的平面图，其中，，，那么　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于点，利用邻补角求出的度数，平行线的性质求出的度数，根据外角的性质，求出的度数即可． 【解答】解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查垂线，平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 12．（2024春•兰州校级期中）如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，是折痕，若，则下列结论正确的有　　 （1）； （2）； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据折叠的性质得，则，利用平角的定义得到；再根据折叠性质有，利用平角的定义得到；根据平行线性质可得． 【解答】解：，延长折痕可得： ，所以（1）错误； ， ， ，所以（2）正确； ，所以（4）正确； ，所以（3）正确． 故选：． 【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 13．（2024春•武威期中）如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质直接求解即可． 【解答】解：①，， ，故本小题错误； ②，， ，故本小题正确； ③，， ， ， ，故本小题正确； ④，， ，故本小题正确． 故选：． 【点评】此题考查折叠的性质，平行线的性质，解题关键是两直线平行内错角相等，同旁内角互补． 14．（2024春•庄浪县期中）如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得：，从而利用角的和差关系可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15．（2024春•肃北县期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解． 【解答】解：如图， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 16．（2024春•兰州校级期中）下列说法正确的个数　　 ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②平面内，互相垂直的两条直线一定相交； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由平行线的性质，对顶角的定义，垂线的概念，点到直线的距离的定义，平行公理，即可判断． 【解答】解：①②中的说法正确，故①②符合题意； ③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故③不符合题意； ④直线外一点到已知直线的垂线段的长，叫做这点到直线的距离，故④不符合题意； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑤不符合题意． 说法正确的个数是2个． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，对顶角、邻补角，垂线，点到直线的距离，平行公理及推理，掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2024春•城关区校级期中）将一副直角三角尺按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到的度数． 【解答】解：如图所示，与交点为， ，， ， 又是的外角，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 18．（2024春•白银区校级期中）将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用对顶角相等可得，即可解答． 【解答】解：如图：延长交于点， ， ， 是的一个外角，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（2024春•城关区校级期中）如图，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用垂直性质求度数，再利用平行线性质求度数． 【解答】解：如图： ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键． 20．（2024春•凉州区期中）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，由折叠的性质可知，已知，根据两直线平行，内错角相等可得，从而可得答案． 【解答】解：如图，由折叠的性质可知， ，， ， ， ，即； 故选：． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键． 21．（2024春•武威期中）如图，将矩形沿对角线折叠，的对应点为，与相交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由矩形的性质推出，，求出，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，即可求出． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到． 22．（2024春•城关区校级期中）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则下列说法正确的是　　 ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】 【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答． 【解答】解：分别过、作，， ， ， ，， ， 即，①正确； ，， ， ， ，， ，②正确， 与上同理，，③不正确， ①②正确， 故选：． 【点评】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键． 23．（2024春•凉州区期中）如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的度数是 　　． 【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则，根据平角定义，则图②中的，进一步求得图③中，进而求得图③中的的度数． 【解答】解：，， ，， 图②中的，， 图③中，． 故答案为： 【点评】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 24．（2024春•景泰县期中）已知两个角与，的两边分别平行于的两边，若，则　或　． 【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，，再根据两直线平行，内错角相等，，即可得出答案． 【解答】解：如图1， ， ， ， ； 如图（2）， ， ， ， ， ， ， ． 综上，或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键． 25．（2024春•庆阳期中）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【解答】解：如图，过点作， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 26．（2024春•武威期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于，点、的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确； 根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确； 先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误； 根据，即可得到，故④正确，符合题意； 【解答】解：， ． 根据折叠的性质得，， ． 故①正确，符合题意； ， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 根据折叠的性质得，， ， 当时，， 故③错误，不符合题意； ， ． 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 27．（2024春•武威期中）如图，，，，则　132　． 【答案】132． 【分析】直接利用平行线的性质结合垂直定义得出度数以及的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故答案为：132． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出度数是解题关键． 28．（2024春•武威期中）如图，，，平分，平分，则　　． 【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【解答】解：过点作，过点作， ， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ． 故答案为 【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 29．（2024春•凉州区期中）如图，若，，，则　　． 【答案】． 【分析】过点作，易得，利用平行线的性质，进行求解即可． 【解答】解：过点作， ，，， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键． 30．（2024春•定西期中）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】过作，得到，推出，，由垂直的定义得到，求出，得到，即可求出． 【解答】解：过作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是过作，推出，由平行线的性质来解决问题． 31．（2024春•武威期中）已知，点为边上一点，过点作，若，则　或　． 【答案】或． 【分析】如图1，先根据已知条件求出的度数，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得出；如图2，先根据已知条件求出的度数，即可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得出的度数． 【解答】解：如图1， ，， ， ， ， ； 如图2， ，， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 【点评】本题考查了平行线的性质，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 32．（2024春•凉州区校级期中）已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据题意得到图形，由两边分别平行于的两边，分两种情况，根据两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，分别进行求解． 【解答】解：如图，的两边分别平行于的两边，分两种情况， ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行线性质，关键是平行线性质的熟练应用． 33．（2024春•红古区校级期中）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源点照射到凹面镜上的光线、等反射以后沿着与直线平行的方向射出．若，，则　90　． 【答案】90． 【分析】根据平行线的性质，即可求得、的度数，据此即可求解． 【解答】解：，， ，， ， 故答案为：90． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握和运用平行线的性质是解决本题的关键． 34．（2024春•礼县校级期中）如图，已知，． （1）试问与相等吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）由平行线的性质可得，结合即可得出内错角相等，进而得出； （2）由平行线的性质可得，根据题意求出的度数即可解答． 【解答】解：（1）与相等，理由如下： ， ， ， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （2）， ， ，， ，即， ，， ，即． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键． 35．（2024春•凉州区校级期中）如图，，平分，，，求的度数． 【答案】． 【分析】由平行线的性质推出，求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，即可求出． 【解答】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出． 36．（2024春•城关区校级期中）已知，，点在上方，连接、． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，过点作交的延长线于点，直接写出和之间的数量关系 　　； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点，若平分，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）过点作，可得，再由平行线的性质得，则可求得； （2）过点作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点，过点作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【解答】解：（1）过点作，如图1， ， ， ， ， ， ； （2），理由： 过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 故答案为：； （3）延长交于点，过点作，如图3， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 由（2）可得：， ， 即． 【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． 37．（2024春•城关区校级期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． （2）【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】（1）见证明过程． （2）、、三者之间的数量关系：．见证明过程． （3）等于． 【分析】（1）如图，过作．得，故，，因此． （2）延长交于，延长交于．利用三角形外角，由，得，再计算即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【解答】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 【点评】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． 38．（2024春•凉州区校级期中）已知，，点在上，过点引射线，交于点，为射线上一点，连结，． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，当点在射线上时，与相交于点，则，，之间满足怎样的关系？请说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，是平分线上一点，连结交于点，连结，若，，，求的度数． 【答案】（1）． （2）．理由见解答过程； （3）． 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可； （3）根据题意设，则，根据三角形内角和定理及对顶角性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出， 根据三角形外角性质得出，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ， ， ，， ． （2）．理由如下： ， ， 又， ． （3）， 设，则， ，， 且， ， ， 平分， ， ， ， 又， 即， 解得：， ， ． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 39．（2024春•城关区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． （1）如图1，与的数量关系是 　　，理由是 　　； （2）如图1，若，求的度数； （3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方时，探究以下问题： ①当时，求出的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值． 【答案】（1）；同角的余角相等； （2）； （3）①；②或或或或． 【分析】（1）由得，，据此可得出答案； （2）由，得，再根据得，据此可得出的度数； （3）①延长交于点，由平行线的性质得，进而得，则，再根据邻补角的定义可得的度数； ②依题意有以下五种情况（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，（Ⅳ）当时，（Ⅴ）当时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质可得出的度数． 【解答】解：（1）， ，， ， 故答案为：；同角的余角相等． （2），， ， 又， ， ； （3）①延长交于点，如图1所示： ，，点在直线的上方， ， ， ， ； ②改变三角尺的位置，且点在直线的上方， 当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种： （Ⅰ）当时，如图2所示： 则， 由（1）可知：； （Ⅱ）当时，如图3所示： 则； （Ⅲ）当时，如图4所示： 则， ； （Ⅳ）当时，如图5所示： 则， ； （Ⅴ）当时，与（3）①相同，． 综上所述：的度数为或或或或． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，理解查了平行线的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 二．平行线的判定与性质（共18小题） 40．（2024春•武威期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是　　 A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】 【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断与平行；由题意得，，得；综上，即可得． 【解答】解：，， ， 故①正确； 故②正确； ， ，， 与不平行， 故③错误； ， 即， 又， ， ， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算． 41．（2024春•凉州区期中）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【解答】解：，平分， ，，即， ①，， ，正确，符合题意； ②， ， ，即， ， ， ，正确，符合题意； ③由①可得， ， ，即， 又， ， 即， 代入， ，正确，符合题意； ④，， ， ， ，正确，符合题意． 正确的个数共有4个， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 42．（2024春•镇原县期中）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由同角的余角相等可判断①，由同旁内角互补，两直线平行可判定②，若，则，，可判断③，，由同位角相等两直线平行可判断④． 【解答】解：，， ，故①正确； 若，则， ， ， ，故②正确； 若，则， ， 与不平行，故③错误； 若， 又， ， ，故④正确． 综上，答案为①②④． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，对顶角、邻补角，关键是掌握三角板中角度的计算． 43．（2024春•庄浪县期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为　　度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】 【分析】根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理可得，最后根据内错角相等，两直线平行可得当时，，即可解答． 【解答】解：，， ， ， ， ， 当时，， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 44．（2024春•庄浪县期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，且，则　　． 【答案】． 【分析】过点作，则，由平行公理的推论得到，从而，再根据即可求解． 【解答】解：如图：过点作， ，， ， ， ． 故答案为： 【点评】本题考查平行公理的推理，平行线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 45．（2024春•武威期中）填空完成推理过程： 如图，，，求证：． 证明：（已知）， 　对顶角相等　， （等量代换）， 　　 　　 ， 　　 ， （已知）， （等量代换）， 　　 ， 　　 ． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【解答】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 46．（2024春•兰州校级期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为　　． 【答案】． 【分析】过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【解答】解：如图，过点作， ，，与的夹角为，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键． 47．（2024春•康县期中）如图，，，，试证明：．请将下面的证明过程补充完整． 证明： 　已知　， 　　 　　， 　　， 　　（等量代换）， 又 　　， 　　， 　　 　　， 　　． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；对顶角相等；等量代换；已知；；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【解答】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， 又（对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；对顶角相等；等量代换；已知；；同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 48．（2024春•凉州区期中）如图，，，，是的平分线． （1）与平行吗？请说明理由； （2）试说明； （3）试说明是的平分线． 【答案】见试题解答内容． 【分析】（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得，进而证明，根据同位角相等，两直线平行，即可证得； （2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得的度数，从而判断； （3）在直角中，求得的度数，然后求得的度数，即可证得． 【解答】解：（1），理由如下： ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） 又，（已知） ．（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行）； （2）， ， ． 是的平分线， ． ， ． ． （3）， ， ． ． ， ． ． 是的平分线． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 49．（2024春•凉州区校级期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可； 【解答】（1）证明：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）， ， ， ， ， ，， ， ， 作， ，， ． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键． 50．（2024春•武威期中）如图，已知，，求证：． 【分析】根据平行线判定推出，求出，推出，根据平行线性质推出即可． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 51．（2024春•岷县期中）如图，，，，，平分． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）由得，再根据角度和差得，最后由角平分线定义即可求解； （2）根据角度和差得，从而有，证明，根据平行公理推论即可求证． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， 平分， ； （2）证明：由（1）可知， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质和角平分线定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 52．（2024春•武威期中）如图，已知，、分别在、的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求证：平分； （3）在（2）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质证明，结合即可得到结论； （3）先求解，结合垂线的定义与三角形的内角和定理，即可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 平分． （3）解：，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 53．（2024春•崆峒区期中）已知，和都不经过点，探索与，的数量关系． （1）在图1中，请证明．（提示：过点作 （2）按第（1）题方法应用：在图2中，若，，则的度数为 　　； （3）拓展，在图3中，探索与，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3），理由见解析． 【分析】（1）过点作，则，由平行线的性质得到，，据此即可证明结论； （2）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补求出，，则； （3）过点作，则，可得，，进而可得． 【解答】（1）证明：如图所示，过点作， ， ， ，， ； （2）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 54．（2024春•景泰县期中）如图，如果于点，于点，，那么平分，理由如下：于点，于点（已知）， 　　（垂直的定义）， 　　， 　　， 　　（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， 　　　　（等量代换）， 平分 　　． 【答案】，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，，，，角平分线的定义． 【分析】根据证明过程求解即可． 【解答】解：于点，于点（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，，，，角平分线的定义． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，正确推理是解题的关键． 55．（2024春•镇原县期中）已知：如图，，，求证：． 【答案】答案见解答过程． 【分析】首先证明，再根据平行线的性质得出，然后结合已知条件可得到，进而可判定，据此可得出结论． 【解答】证明：， ， ， 即：， 又， ， ， ． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 56．（2024春•镇原县期中）如图所示，已知，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】根据，可得出，根据，得出，即可得出． 【解答】解：， 理由：， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 57．（2024春•武威期中）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）的度数为． 【分析】（1）利用等式的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 的度数为． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 三．平行线之间的距离（共1小题） 58．（2024春•金川区校级期中）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【解答】解： 如图①，与之间的距离为； 如图②，与之间的距离为． 与之间的距离为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/6 8:33:57；用户：黄蕊；邮箱：orFmNt5w4IZ2bvkz8NEBOLH6eITg@weixin.jyeoo.com；学号：25887635 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$