专题01 整式的乘除（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 第一章 整式的乘除 题型概览 题型01幂的乘除 题型02整式的乘法 题型03乘法公式 题型04整式的除法 题型01 幂的乘除 一．选择题（共11小题） 1．（2024春•白银区校级期中）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为0.000000049米的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•景泰县期中）1纳米米．我国研发的新型工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．用科学记数法表示100纳米为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024秋•渭源县期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•安宁区校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•庄浪县期中）计算的结果正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•城关区期中）已知，，则　　 A．52 B． C． D． 7．（2024秋•崆峒区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•渭源县校级期中）已知，，则　　 A．10 B．7 C．3 D．18 9．（2024春•城关区校级期中）计算的值为　　 A． B． C．1 D．2 10．（2024春•瓜州县校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•嘉峪关校级期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 12．（2024秋•渭源县期中）已知，则的值为 　　． 13．（2024春•白银区校级期中）若，，则　　． 14．（2024秋•嘉峪关校级期中） 　　． 15．（2024春•白银区校级期中）计算的结果为 　　． 16．（2024春•瓜州县校级期中）若，，则　 　． 17．（2024春•兰州期中）已知，则的值是　 　． 18．（2024春•临泽县校级期中）若，则　　． 19．（2024春•景泰县期中），，则　　． 20．（2024秋•麦积区期中）若，则的值为　　． 三．解答题（共4小题） 21．（2024春•兰州校级期中）根据已知条件求值 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 22．（2024秋•崆峒区校级期中）计算： （1）． （2）． （3）． 23．（2024秋•崆峒区校级期中）已知，，求的值． 24．（2024春•城关区校级期中）已知，． （1）当时，求的值； （2）求的值． 题型02 整式的乘法 一．单项式乘单项式（共8小题） 1．（2024春•兰州期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•兰州校级期中）下列计算中，结果正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•兰州校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•景泰县期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•兰州期中）计算：　　． 6．（2024春•城关区校级期中）计算：　　． 7．（2024秋•嘉峪关校级期中）计算：　 　． 8．（2024春•红古区校级期中）计算：　 　． 二．单项式乘多项式（共3小题） 9．（2024春•肃州区校级期中）计算：　　． 10．（2024春•城关区校级期中）特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立刻说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作和（即十位数字为，个位数字分别为、，，，那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是和的乘积，后两位数字就是和的乘积． 如：，． （1）请你直接写出的值； （2）若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为 　　；用含、的等式表示以上两位数相乘的规律 　　； （3）请用所学知识证明②中的规律． 11．（2024春•城关区校级期中）若恒成立，求的值． 三．多项式乘多项式（共15小题） 12．（2024春•城关区期中）已知的展开式中不含项，则的值为　　 A． B． C．2 D． 13．（2024春•城关区校级期中）若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为　　 A．3 B． C．0 D．2 14．（2024春•瓜州县校级期中）若的结果中不含项，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 15．（2024秋•景泰县校级期中）若，则的值是　　 A．2 B．3 C．或3 D．2或 16．（2024春•城关区校级期中）小明制作了如图所示的类，类，类卡片各50张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个宽为，长为的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是　　 A．够用，剩余1张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺5张 17．（2024春•城关区校级期中）若，则　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2024春•兰州校级期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为　　 A． B．0 C． D．3 19．（2024秋•麦积区期中）计算的结果中不含关于字母的一次项，则　　． 20．（2024秋•嘉峪关校级期中）已知中不含项，求的值． 21．（2024春•城关区校级期中）已知多项式与的乘积的展开式中不含的一次项，且常数项为2，求的值． 22．（2024春•城关区校级期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当，时，求剩余铁皮的面积． 23．（2024春•城关区校级期中）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含，的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含，的代数式表示） （3）当，时，求绿化部分的面积． 24．（2024春•瓜州县校级期中）千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的正方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 25．（2024春•城关区校级期中）小明与小乐两人共同计算，小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为． （1）式子中的，的值各是多少？ （2）请计算出原题的答案． 26．（2024春•城关区期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 ，所以多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小明发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； ．判断多项式，，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． ．若多项式，，，是常数）是一组平衡多项式，求的值． 题型03乘法公式 一．完全平方公式（共10小题） 1．（2024春•城关区期中）化简：　　 A．2 B． C．4 D． 2．（2024秋•凉州区期中）当，时，下列代数式的值与代数式的值相等的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•城关区校级期中）若，，则的值为　　 A．4 B．16 C．8 D．15 4．（2024春•肃州区校级期中）已知，，则　　 A．25 B． C．19 D． 5．（2024春•瓜州县校级期中）已知，，则　　． 6．（2024春•甘州区校级期中）若，，则　　． 7．（2024春•红古区校级期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 8．（2024春•兰州期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． （1）观察图2填空：正方形的边长为 　　，阴影部分的小正方形的边长为 　　； （2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 9．（2024春•城关区校级期中）已知，，求、的值． 10．（2024春•瓜州县校级期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 二．平方差公式（共15小题） 11．（2024秋•渭源县期中）计算：　　 A． B． C． D． 12．（2024春•城关区期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•肃州区校级期中）下列各式中能用平方差公式是　　 A． B． C． D． 14．（2024春•城关区校级期中）下列各式能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•瓜州县校级期中）下列算式：①②③④，宜用平方差公式计算的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024春•城关区校级期中）已知，，则　　 A． B． C． D． 17．（2024春•甘州区校级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•景泰县期中）下列能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 19．（2024春•兰州校级期中）下列乘法公式运用正确的是　　 A． B． C． D． 20．（2024春•临泽县校级期中）下列运算中能用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 21．（2024春•白银区校级期中）计算：　　． 22．（2024春•城关区校级期中）已知，，则　　． 23．（2024春•红古区校级期中）定义※，例如2※．则※的结果为　　． 24．（2024春•甘州区校级期中）如果，，那么代数式的值是　 　． 25．（2024春•红古区期中）用简便方法计算：． 题型04整式的除法 一．整式的除法（共3小题） 1．（2024秋•渭源县期中）计算的结果是 　　． 2．（2024春•临泽县校级期中）已知、均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． （1）将整式化为最简形式． （2）求整式． 3．（2024春•红古区期中）计算：． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第一章 整式的乘除 题型概览 题型01幂的乘除 题型02整式的乘法 题型03乘法公式 题型04整式的除法 题型01 幂的乘除 一．选择题（共11小题） 1．（2024春•白银区校级期中）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为0.000000049米的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值． 2．（2024春•景泰县期中）1纳米米．我国研发的新型工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．用科学记数法表示100纳米为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：1米纳米， 100纳米米米． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．（2024秋•渭源县期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4．（2024秋•安宁区校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5．（2024春•庄浪县期中）计算的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键． 6．（2024春•城关区期中）已知，，则　　 A．52 B． C． D． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则求出答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 7．（2024秋•崆峒区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•渭源县校级期中）已知，，则　　 A．10 B．7 C．3 D．18 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加来求解． 【解答】解：由条件可知． 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答关键． 9．（2024春•城关区校级期中）计算的值为　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 10．（2024春•瓜州县校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别根据合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可． 【解答】解：、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 11．（2024秋•嘉峪关校级期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 二．填空题（共9小题） 12．（2024秋•渭源县期中）已知，则的值为 　27　． 【答案】27． 【分析】由已知得出，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：27． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 13．（2024春•白银区校级期中）若，，则　200　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：，， ． 故答案为：200． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 14．（2024秋•嘉峪关校级期中） 　　． 【答案】． 【分析】根据积的乘方逆运算计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方公式是解答本题的关键． 15．（2024春•白银区校级期中）计算的结果为 　　． 【答案】． 【分析】先逆用乘方法则，将式子变形为，再逆用积的乘方法则变形为，然后按乘法与乘方法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（2024春•瓜州县校级期中）若，，则　20　． 【分析】按照同底数幂运算法则的逆运算展开计算即可． 【解答】解：2 ． 故答案是20． 【点评】本题考查了同底数幂的除法．注意整体代入． 17．（2024春•兰州期中）已知，则的值是　1　． 【分析】先将变形为，再根据同底数幂的乘法和对应项相等即可求解． 【解答】解：， ， 解得． 故答案为：1． 【点评】考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法，关键是根据题意得到关于的方程求解即可． 18．（2024春•临泽县校级期中）若，则　1000　． 【答案】1000． 【分析】先把已知等式，变形为，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：1000． 【点评】此题考查的是同底数幂的除法运算，对已知式子进行变形是解决此题关键． 19．（2024春•景泰县期中），，则　　． 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而结合幂的乘方运算法则求出答案． 【解答】解：，， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 20．（2024秋•麦积区期中）若，则的值为　8　． 【分析】根据同底数的乘法和幂的乘方的性质，先都化成以2为底数的幂相乘的形式，再代入已知条件计算即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便． 三．解答题（共4小题） 21．（2024春•兰州校级期中）根据已知条件求值 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）8． 【分析】（1）逆用同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【解答】解：（1）， 的值为． （2）由条件可知， ， 的值为8． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．（2024秋•崆峒区校级期中）计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算计算即可． （2）根据积的乘方的逆运算进行拆分求解即可． （3）把变成，然后根据同底数幂的乘法运算计算即可． 【解答】解：（1）； （2）原式 ； （3） ． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方的逆运算．熟练掌握以上知识点是关键． 23．（2024秋•崆峒区校级期中）已知，，求的值． 【答案】29． 【分析】根据幂的乘方逆运算整体代入即可求值． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查幂的乘方逆运算，熟练利用幂的乘方逆运算进行整理是解题关键． 24．（2024春•城关区校级期中）已知，． （1）当时，求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2； （2）64． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）将变形为，由（1）中可得出，从而计算即可． 【解答】解：（1），， ， ， ， ； （2）由（1）得， ． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 题型02整式的乘法 一．单项式乘单项式（共8小题） 1．（2024春•兰州期中）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：由题意可得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 2．（2024春•兰州校级期中）下列计算中，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及单项式乘单项式、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：．,故此选项错误； ．,故此选项正确； ．,故此选项错误； ．,故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及单项式乘单项式、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2024春•兰州校级期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘单项式法则逐个计算每个选项得结论． 【解答】解：，故选项运算不正确； ，故选项运算不正确； ，故选项运算不正确； ，故选项算不正确． 故选：． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 4．（2024春•景泰县期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则进行判断． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了单项式乘以单项式，合并同类项以及同底数幂的乘法等知识点．熟记计算法则的解题的关键． 5．（2024春•兰州期中）计算：　　． 【答案】． 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 6．（2024春•城关区校级期中）计算：　　． 【答案】． 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（2024秋•嘉峪关校级期中）计算：　　． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024春•红古区校级期中）计算：　　． 【分析】根据单项式的乘法，可得答案． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 二．单项式乘多项式（共3小题） 9．（2024春•肃州区校级期中）计算：　　． 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式，掌握单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 10．（2024春•城关区校级期中）特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立刻说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作和（即十位数字为，个位数字分别为、，，，那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是和的乘积，后两位数字就是和的乘积． 如：，． （1）请你直接写出的值； （2）若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为 　　；用含、的等式表示以上两位数相乘的规律 　　； （3）请用所学知识证明②中的规律． 【答案】（1）7224；（2）；；（3）见解析． 【分析】（1）套用上面的归纳总结代入数据，即可得出结果即可； （2）利用上面总结的结论，用、的等式表示以上两位数相乘的规律即可； （3）根据多项式乘多项式进行计算，然后得出答案即可． 【解答】解：（1）84和86满足题中的条件，即十位数都是8，且，且个位数字分别是4和6，之和为10， 它们的乘积是一个4位数，前两位数字是8和9的乘积，后两位数字就是4和6的乘积， ． （2）一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为， 用、的等式表示以上两位数相乘的规律为： ； （3） ， ． 【点评】本题主要考查了数字规律，整式乘法的应用，掌握归纳推理的数学思想是关键． 11．（2024春•城关区校级期中）若恒成立，求的值． 【分析】根据单项式乘多项式的法则，可去括号，根据合并同类项，可化简整式，根据整式相等，可得次数相等的项的系数相等，可得、、的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：化简，得 ． 若恒成立，得 ， 解得． 当，，时，． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，多项式相等恒成立得出次数相等的项的系数相等是解题关键． 三．多项式乘多项式（共15小题） 12．（2024春•城关区期中）已知的展开式中不含项，则的值为　　 A． B． C．2 D． 【答案】． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：多项式不含项， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 13．（2024春•城关区校级期中）若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为　　 A．3 B． C．0 D．2 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可计算再根据与的乘积中不含的一次项即可求解． 【解答】解： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ． 故选：． 【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握运算法则是解题关键． 14．（2024春•瓜州县校级期中）若的结果中不含项，则的值为　　 A．0 B．2 C． D． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含的平方的项的系数为0，求出即可． 【解答】解： ， 的结果中不含项， ， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键． 15．（2024秋•景泰县校级期中）若，则的值是　　 A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】 【分析】设，根据题意可得，整理并求出的值，结合，确定符合题意的的值，即可获得答案． 【解答】解：设，则， 整理得：， ，（舍去）， ，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 16．（2024春•城关区校级期中）小明制作了如图所示的类，类，类卡片各50张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个宽为，长为的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是　　 A．够用，剩余1张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺5张 【答案】 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为， 类卡片的面积是， 需要类卡片的张数是51， 类卡片不够用，还缺1张． 故选：． 【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 17．（2024春•城关区校级期中）若，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解：， ， 故，， 故选：． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（2024春•兰州校级期中）若与的乘积中不含的一次项，则的值为　　 A． B．0 C． D．3 【答案】 【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出与的乘积；然后根据与的乘积中不含的一次项，可得：的一次项的系数等于0，据此求出的值为多少即可． 【解答】解：， 与的乘积中不含的一次项， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 19．（2024秋•麦积区期中）计算的结果中不含关于字母的一次项，则　　． 【分析】首先利用多项式的乘法法则计算：，结果中不含关于字母的一次项，即一次项系数等于0，即可求得的值． 【解答】解： 由题意得则， 故答案为： 【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值即可． 20．（2024秋•嘉峪关校级期中）已知中不含项，求的值． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到结果，根据结果中不含项，即可求出的值． 【解答】解：， 由结果不含项，得到， 解得：． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（2024春•城关区校级期中）已知多项式与的乘积的展开式中不含的一次项，且常数项为2，求的值． 【答案】． 【分析】先求出的值，即可得出，，求出，，代入后求出即可． 【解答】解： ， 多项式与的乘积的展开式中不含的一次项，且常数项为2， ，， 解得：，， ． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键． 22．（2024春•城关区校级期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当，时，求剩余铁皮的面积． 【答案】（1）米； （2）80米． 【分析】（1）剩余铁皮（阴影部分）的面积长方形的面积小正方形的面积，计算即可； （2）将，代入米即可． 【解答】解：（1）剩余铁皮（阴影部分）的面积长方形的面积小正方形的面积， 剩余铁皮（阴影部分）的面积 米， 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为米； （2）当， 时， 剩余铁皮的面积（米， 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为80米． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式和单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 23．（2024春•城关区校级期中）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求长方形地块的面积；（用含，的代数式表示） （2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含，的代数式表示） （3）当，时，求绿化部分的面积． 【答案】（1）平方米；（2）平方米．（3）108平方米． 【分析】（1）根据长方形的面积公式进行求解即可； （2）根据长方形的面积公式进行求解即可； （3）结合（1）（2）可求得阴影部分的面积，再代入相应的值运算即可． 【解答】解：（1）长方形地块的面积为： 平方米． （2）小长方形地块的面积为： 平方米． （3）绿化部分的面积为： ， 当，时， 原式 （平方米）． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 24．（2024春•瓜州县校级期中）千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的正方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 【分析】根据矩形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ， 当，时，， 答：绿化的面积是平方米， 当，时的绿化面积是． 【点评】本题考查了多项式成多项式，利用了多项式乘多项式法则． 25．（2024春•城关区校级期中）小明与小乐两人共同计算，小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为． （1）式子中的，的值各是多少？ （2）请计算出原题的答案． 【分析】（1）根据两人出错的结果列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； （2）将与的值代入计算即可求出正确的结果． 【解答】解：（1）， ①， ， ②， 联立方程①②， 可得， 解得：； （2）． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26．（2024春•城关区期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 ，所以多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： （1）小明发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； ．判断多项式，，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． ．若多项式，，，是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】（1）该组平衡多项式的平衡因子是3； 、多项式，，，是一组平衡多项式； 理由见上面详细过程； 、的值为或7或． 【分析】（1）根据材料和多项式与多项式相乘的法则计算； 、根据材料说明进行判断； 、根据材料说明分三种情况分别计算． 【解答】解：（1） ， ， 该组平衡多项式的平衡因子是3； 、多项式，，，是一组平衡多项式； ， 该组平衡多项式的平衡因子是； 、若多项式，，，是常数）是一组平衡多项式，有三种情况， ① 是一组平衡多项式， ， ； ② 是一组平衡多项式， ， ； ③ 是一组平衡多项式， ， ， 综上所述：的值为或7或． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算、绝对值、整式加减，掌握项式与多项式相乘的法则，理解材料给出的定义并分情况讨论是解题关键． 题型03乘法公式 一．完全平方公式（共10小题） 1．（2024春•城关区期中）化简：　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】根据完全平方公式展开计算即可． 【解答】解： ， ， 故选：． 【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行计算． 2．（2024秋•凉州区期中）当，时，下列代数式的值与代数式的值相等的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将，代入计算，然后和各选项比较即可得解 【解答】解：当，时，； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练进行求解代数式的值是解题的关键． 3．（2024春•城关区校级期中）若，，则的值为　　 A．4 B．16 C．8 D．15 【答案】 【分析】将两式作差运算后即可求得答案． 【解答】解：，， ， 即， 则， 那么， 故选：． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键． 4．（2024春•肃州区校级期中）已知，，则　　 A．25 B． C．19 D． 【分析】先根据完全平方公式变形，再代入求出即可． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能正确根据公式进行变形是解此题的关键． 5．（2024春•瓜州县校级期中）已知，，则　49　． 【答案】49． 【分析】根据完全平方公式展开后，直接代入计算即可得到答案． 【解答】解：，， ， 故答案为：49． 【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握其公式结构是解决此题的关键． 6．（2024春•甘州区校级期中）若，，则　2　． 【分析】根据完全平方公式，可得答案． 【解答】解：由，得 ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式变形得出是解题关键． 7．（2024春•红古区校级期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解． 【解答】解：（1），， ，， ， ． （2）由条件可得， ， ， ． 【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8．（2024春•兰州期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． （1）观察图2填空：正方形的边长为 　　，阴影部分的小正方形的边长为 　　； （2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）． 【分析】（1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长方形是面积，由此解答即可； （3）先利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【解答】解：（1）正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：，； （2） 理由如下： ； （3）由（2）得， 又，， ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 9．（2024春•城关区校级期中）已知，，求、的值． 【分析】利用完全平方公式将已知等式左边展开，分别记作①和②，①②后，即可求出的值；①②，整理即可求出的值． 【解答】解：①，②， ①②得：，即； ①②得：，即． 【点评】考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式：是解本题的关键． 10．（2024春•瓜州县校级期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）12； （2）． 【分析】（1）先根据完全平方公式得出，再求出答案即可； （2）先根据同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后求出答案即可． 【解答】解：（1），， ； （2），， ． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：． 二．平方差公式（共15小题） 11．（2024秋•渭源县期中）计算：　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12．（2024春•城关区期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：不符合平方差公式的特点， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； ， 选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键． 13．（2024春•肃州区校级期中）下列各式中能用平方差公式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【解答】解：能用平方差公式是， 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．（2024春•城关区校级期中）下列各式能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：能用平方差公式计算的是． 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 15．（2024春•瓜州县校级期中）下列算式：①②③④，宜用平方差公式计算的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】将每个多项式乘多项式展开，根据平方差公式即可判断． 【解答】解：①，不能用平方差公式； ，不能用平方差公式； ③，不能用平方差公式； ④，能用平方差公式． 故宜用平方差公式计算的有1个． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 16．（2024春•城关区校级期中）已知，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平方差公式将进行变形，再比较和的大小即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 17．（2024春•甘州区校级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据公式的左边的形式，判断能否使用． 【解答】解：、两个括号中，相同，含的项的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误； 、两个括号中，含项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误； 、两个括号中，含项的符号相反，项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错误； 、由于两个括号中含、项的符号都相反，故不能使用平方差公式，故此选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式． 18．（2024春•景泰县期中）下列能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、应为，故本选项错误； 、，正确； 、应为，故本选项错误； 、应为，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键． 19．（2024春•兰州校级期中）下列乘法公式运用正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、，本选项错误； 、，本选项正确； 、，本选项错误； 、，本选项错误， 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 20．（2024春•临泽县校级期中）下列运算中能用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、应为，不符合平方差公式的结构特点，故本选项错误； 、，符合平方差公式的结构特点，故本选项正确； 、，不符合平方差公式的结构特点，故本选项错误； 、，不符合平方差公式的结构特点，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 21．（2024春•白银区校级期中）计算：　　． 【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式， 故答案为： 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 22．（2024春•城关区校级期中）已知，，则　3　． 【答案】3． 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解答】解：因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：3． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 23．（2024春•红古区校级期中）定义※，例如2※．则※的结果为． 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：根据题意得： ※． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用． 24．（2024春•甘州区校级期中）如果，，那么代数式的值是　　． 【分析】由题目可发现，然后用整体代入法进行求解． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方差公式，由题设中代数式，的值，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 25．（2024春•红古区期中）用简便方法计算：． 【答案】1． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 题型04整式除法 一．整式的除法（共3小题） 1．（2024秋•渭源县期中）计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】利用多项式的每一项除以单项式即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式的除法，利用多项式的每一项除以单项式是解题的关键． 2．（2024春•临泽县校级期中）已知、均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． （1）将整式化为最简形式． （2）求整式． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据题意可得，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可； 【解答】解：（1） ； （2）由题意，得， 由（1）知， ， ． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 3．（2024春•红古区期中）计算：． 【答案】． 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则和多项式除以单项式法则． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$