专题04 三角形（甘肃专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题04三角形 题型概览 题型01认识三角形 题型02全等三角形 题型03探究三角形全等的条件 题型04利用三角形全等测距离 题型01认识三角形 一．三角形的角平分线、中线和高（共15小题） 1．（2024秋•庄浪县期中）如图，在△中，线段表示△的边上的高的图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【解答】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是选项， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 2．（2024秋•武威期中）下列说法错误的是　　 A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的性质判断即可． 【解答】．三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，不符合题意； ．三角形的三条中线都在三角形内部，正确，不符合题意； ．三角形的三条高可在三角形内部，也可在外部，原说法错误，符合题意； ．三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的性质，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 3．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是　　 A．是△的中线 B． C．是△的角平分线 D．是△的高 【分析】根据角平分线、中线和高的概念逐一判断即可． 【解答】解：、， 是△的中线，正确，不符合题意； 、平分， ，但不能说明与相等，原说法错误，符合题意； 、平分， ，正确，不符合题意； 、， 是△的高，正确，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线，中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2024秋•安定区期中）下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案． 【解答】解：中边上的高即为过点作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高． 5．（2024秋•康乐县校级期中）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是△的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， 他所作的线段应该是△的中线， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 6．（2024秋•甘肃期中）在下图中，正确画出边上高的是　　 A． B． C． D． 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可． 【解答】解：画出边上高就是过作对边所在直线的垂线， 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握高的定义． 7．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△中，若，，、是△的两条中线，则△的周长是　　 A．22 B．26 C．35 D．45 【分析】先求得，得到，利用三角形中线的性质求得，，据此求解即可． 【解答】解：在△中，， ， ， ， 、是△的两条中线， ，， △的周长是， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，解答本题的关键是熟练掌握三角形中线的性质． 8．（2024春•兰州期中）下列说法正确的是　　 A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【分析】根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【解答】解：、错误．三角形的高不一定在三角形内． 、错误．直角三角形也有三条高． 、正确． 、错误．三角形的高，角平分线，中线都是线段． 故选：． 【点评】本题考查三角形的角平分线，三角形的中线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2024秋•凉州区校级期中）如图，是△的中线，，，那么△的周长比△的周长多 　2　． 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：△的中线是， ， △的周长△的周长 ， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 10．（2024秋•凉州区期中）如图，在△中，为边上的中线，已知，，△的周长为20，则△的周长为 　17　． 【分析】根据为边长的中线，可得出△和△的周长关系，进而解决问题． 【解答】解：因为是边上的中线， 所以． 又， ， 所以． 又，，△的周长为20， 所以． 故答案为：17． 【点评】本题考查三角形的中线，熟知三角形中线的定义是解题的关键． 11．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则　2　． 【分析】由题意，中，为中线，可知和的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【解答】解：中，为中线， ， ， 于，于，，，， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点． 12．（2024秋•凉州区校级期中）如图，是三角形的中线，是△的中线．若，则 　3　． 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【解答】解：，是△的中线，是△的中线， ，， ； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 13．（2024秋•武威期中）如图，已知为△的中线，，，△的周长为，则△的周长为 　21　． 【分析】根据题意，则；根据三角形的周长，则，，得到的值，根据，等量代换，即可． 【解答】解：是△的中线， ， △的周长为，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：21． 【点评】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 14．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）为的中线， ， 的周长比的周长大3， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． 15．（2024秋•凉州区期中）如图，在中，是的中线，是的中线． （1）若，求的长； （2）若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长． 【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 【解答】（1）解：是 的中线，， ， 是 的中线， ； （2）是 的中线， ， 与 的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 二．三角形三边关系（共17小题） 16．（2024秋•武威期中）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，进而逐项判断即可． 【解答】解：其中两条边的长度分别为和， 设三角形的另一条边的长度为 ， ，则， 故选项符合题意，选项、、不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形三边关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 17．（2024春•兰州校级期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可． 【解答】解：、，不能组成三角形； 、，不能组成三角形； 、，能组成三角形； 、，不能组成三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 18．（2024春•肃州区校级期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：、，能组成三角形，符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 19．（2024春•肃州区校级期中）现有以下说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②三角形的两边之差大于第三边； ③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解． 【解答】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确； ②三角形的两边之差小于第三边，故②错误； ③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确； 上述说法中正确的有2个． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 20．（2024秋•庄浪县期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　 A．2，3，5 B．5，5，10 C．3，4，6 D．4，5，11 【分析】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可． 【解答】解：、，本选项不符合题意； 、，本选项不符合题意； 、，能组成三角形，本选项符合题意； 、，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 21．（2024秋•武都区期中）在下列长度的四根木棒中，能与和的两根木棒围成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可． 【解答】解：设第三边为，则 ，即． 只有符合要求． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 22．（2024秋•凉州区期中）已知三角形的两边长分别为2和5，则第三边长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围． 【解答】解：三角形的两边长分别为2和5，设第三边的长为， ，即． 第三边可能为4，5，6，不可能为7， 故选：． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围． 23．（2024秋•凉州区期中）某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是　　 A．3.5 B．6 C．7.3 D．9.2 【分析】由题意知，，即，然后判断作答即可． 【解答】解：由题意得，，即， 不可能是9.2， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握确定第三边的取值范围是解题的关键． 24．（2024秋•七里河区校级期中）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中的值可以是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围． 【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为．则底边长为． 由题意得，． 解得． 所给选项中分别为：1，2，3，4． 只有2符合上面不等式组的解集． 只能取2． 故选：． 【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题． 25．（2024秋•平凉期中）已知，，是三角形的三边长，化简：　　． 【分析】先根据三角形的三边关系定理得出，，再去掉绝对值符号合并即可． 【解答】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号． 26．（2024秋•凉州区校级期中）若三角形的两条边长分别为和，且第三边的边长为偶数，则第三边长为 　或　． 【分析】根据三角形三边的关系可得到答案． 【解答】解：设第三边长为 ， 三角形的两条边长分别为和， ，即， 第三边的边长为偶数， 第三边的边长为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． 27．（2024秋•凉州区校级期中）已知，，为△的三条边，化简：　　． 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边可得，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 28．（2024春•兰州校级期中）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值 　17　． 【分析】第三边的长为，根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由第三边的长为整数得出的值，进而可得出结论． 【解答】解：第三边的长为， 一个三角形的两边长分别为4和5， ，即， 第三边的长为整数， 的值可以为2，3，4，5，6，7，8， 当时，此三角形周长的最大值． 故答案为：17． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． 29．（2024秋•凉州区校级期中）已知△的三边长是，，． （1）若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据绝对值的定义和三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1），，是△的三边，，， ， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或6； （2） ． 【点评】此题主要考查了绝对值和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． 30．（2024秋•凉州区期中）已知三角形的三边长分别为、、，化简：． 【分析】三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为、、， ，，， ，，， 原式 ． 【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 31．（2024秋•凉州区期中）已知的三边分别为，，，且，． （1）求的取值范围； （2）若的长为小于8的偶数，求的周长． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解； 【解答】解：（1）因为，， 所以． （2）若的长为小于8的偶数， 所以或． 当时，的周长； 当时，的周长． 综上所述，的周长为14或16． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． 32．（2024秋•凉州区期中）已知，，是△的三边长，且，满足，求第三边的取值范围． 【分析】由题意易得，，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【解答】解：由题意可知：，， ，， ，，是△的三边长， ． 【点评】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及三角形三边关系，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性及三角形三边关系是解题的关键． 三．三角形内角和定理（共28小题） 33．（2024秋•凉州区校级期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在△外的点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，易得，，则的度数可求． 【解答】解：根据题意，易得； 如图，设与交于点，易得，， 则． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，关键在于熟记定理并灵活运用． 34．（2024秋•渭源县期中）已知在△中，，则△为　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【分析】根据三角形的内角和是可得答案． 【解答】解：①， 又②， 把②代入①，得， ， 故该三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和是，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 35．（2024秋•凉州区期中）如图，将△沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处．若，，则度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据翻折的性质可得，，运用三角形内角和定理可得，进而由即可解答． 【解答】解：，， ， 根据翻折的性质，， 在△中，由三角形内角和定理得，， ． 所以的度数为． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解答本题的关键． 36．（2024秋•渭源县校级期中）具备下列条件的△中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和为，直接进行解答． 【解答】解：．，即，，所以△为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； ．，则，则，所以△为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； ．，则，所以△为直角三角形，故该选项正确，不符合题意； ．，即，，三个角没有角，故不是直角三角形，故该选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 37．（2024秋•凉州区期中）如图，的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由三角形的外角性质得出，，再由四边形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：如图所示： ，，， ； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理；熟练掌握四边形内角和定理，由三角形的外角性质得出，是解决问题的关键． 38．（2024秋•凉州区期中）已知：△中，、、为三个内角，下列条件中不能判定△为直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理逐一对选项进行判定即可． 【解答】解：由条件可知：， △是直角三角形，故选项不符合题意； ， ， △是直角三角形，故选项不符合题意； 由，不能判断△是直角三角形，故选项符合题意； ，， ， △是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握该知识点是关键． 39．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】利用等角的余角相等证明即可． 【解答】解：如图， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 40．（2024秋•庄浪县期中）如图，在中，，和的平分线交于一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到和的度数，再根据三角形内角和定理即可得出 的度数． 【解答】解：平分，， ， 又， ， 平分， ， 中，， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是． 41．（2024秋•渭源县期中）如图，将△沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为 　　． 【分析】根据三角形的内角和等于求出，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【解答】解：，， ， △沿着平行于的直线折叠，点落到点， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 42．（2024秋•岷县期中）如图所示的折线图形中，　　． 【分析】如图，连接．利用三角形内角和定理以及四边形内角和定理求解即可． 【解答】解：如图，连接． 在中，， 在四边形中，， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造四边形解决问题，属于中考常考题型． 43．（2024秋•渭源县校级期中）在△中，若，，则等于　　． 【分析】根据三角形内角和为，即可求值． 【解答】解：由题意可知，在△中，若，， 设，， 则根据三角形内角和定理，， 即， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为是解题的关键， 44．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形中，，，则　110　． 【分析】根据三角形内角和为，即可列式作答． 【解答】解：在三角形中，，， ， 故答案为：110． 【点评】本题考查了三角形内角和为，掌握其定理是关键． 45．（2024秋•凉州区期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则　　． 【分析】根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键． 46．（2024秋•凉州区校级期中）已知△中，，，则 　20　． 【分析】根据三角形内角和定理可得，由题意，组成方程组求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组成方程组是解题关键． 47．（2024秋•临洮县期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 　①②④　． 【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求，由和平分判断②，结合求与的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； ， ， ， 又， ，无法判定，故③错误，不符合题意； 又， ， ， ， ，故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换． 48．（2024秋•城关区校级期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”， 为“和谐三角形”． 问题1：如图1，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若，则、是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2：如图2，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【分析】问题（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； 问题2：由“和谐三角形”的定义可知则或，据此得出结论． 【解答】解：问题（1）是“和谐三角形”，理由如下： ，， ， ， 是“和谐三角形”； （2）、是“和谐三角形”，理由如下： ，， ， ， ， ，． 在中， ，， ， 为和谐三角形”； 在中， ，， ， 为和谐三角形”； 问题2：若是“和谐三角形”，由于点是线段上一点（不与、重合）， 则或． 当时，； 当时，，即， ． 综上，的度数为或． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． 49．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△中，于点，平分，若，． （1）求的度数； （2）若点为线段上的任意一点，当△为直角三角形时，求的度数． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，由三角形外角定理得，据此可得，再根据可得的度数； （2）根据可知当△为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，先求出，再根据可得的度数；②当时，根据，可得的度数． 【解答】解：（1）平分，若， ， ， ， 于点， ； （2）， 当△为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ，， ， ； ②当时，如图2所示： ， ， ． 综上所述：当△为直角三角形时，的度数是或． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键． 50．（2024秋•武威期中）如图，在中，，，于，平分，与交于点，求． 【分析】首先利用三角形的内角和求出，然后利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解． 【解答】解：， 而，， ， 平分， ， 于， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和等于求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 51．（2024秋•武都区期中）在中，平分交于点，是边上的高，且，，求： （1）的度数． （2）的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据三角形的内角和是即可求解； （2）由直角三角形的两锐角互余即可求解，根据，即可得解． 【解答】解：（1）平分，， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 52．（2024秋•凉州区校级期中）△中，，，求△的各内角的度数． 【分析】将第一个等式代入第二等式用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可． 【解答】解：，， ， 由三角形内角和定理得，， 所以，， 解得， 所以，， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 53．（2024秋•甘肃期中）△中，，平分交于点． （1），，求的大小． （2）若，直接写出与，之间的数量关系． 【分析】（1）利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定理，可求出的度数，由及三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的大小； （2）利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可得出，，二者做差后，即可得出． 【解答】解：（1）在△中，，， ， 平分， ． ， ， ， ； （2）由（1）可知：，， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 54．（2024秋•庄浪县期中）如图，中，，平分，，，求的度数． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 答：的度数是． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键． 55．（2024秋•康乐县校级期中）如图，在△中，，平分．，于点，若． （1）求的度数； （2）求的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再由，求得； （2）根据角平分线定义求得，由三角形内角和定理求得，进而由角的和差求得结果． 【解答】解：（1），， ， ， ，； （2）平分， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得的度数． 56．（2024秋•安定区期中）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在△中，，，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得　25　． 　　， （等式的性质）　　． 【问题推广】 （1）如图1，在△中，、的角平分线交于点，将△沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在△中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则　　． 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【解答】解：教材呈现：平分（已知）， ， 同理可得， （三角形内角和定理）， （等式的性质）， ． 故答案为：25，三角形内角和定理，115； 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ， 又， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 57．（2024秋•凉州区期中）在中，已知． （1）求的大小； （2）按角分类，试判断的形状． 【分析】根据三角形的内角和定理得到，然后设，则，，代入计算即可． 【解答】解：（1）． 设，则，， ， ， ， ． （2）， 是钝角三角形． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为． 58．（2024秋•岷县期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形内角和求出，然后根据角平分线的定义求出即可． 【解答】解：，是边上的高， ， ， ， 是的平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形的角平分线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 59．（2024秋•平凉期中）如图所示，在△中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质求解即可． 【解答】解：是△的高， ， ， ， 平分，， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， ． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理及角平分线的性质． 60．（2024春•凉州区期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　或　． （2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若．判定、是否是“梦想三角形”，为什么？ （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，求的度数． 【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可． （2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：、都是“梦想三角形”． （3）根据“梦想三角形”的定义，分两种情形分别求解即可． 【解答】解：（1）当是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为，第三个内角原式，故最小的内角是， 当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：，，最小的内角是 故答案为：或． （2）结论：、都是“梦想三角形”． 理由：，， ， ， 为“梦想三角形”， ，，， ， ， 是“梦想三角形”． （3）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“梦想三角形”， ，或， ， 或． 【点评】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型02全等三角形 一．全等三角形的性质（共21小题） 1．（2024秋•凉州区期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据全等三角形的性质，判断，再根据三角形内角和定理，求得的度数，即可得出． 【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角 又 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：全等三角形的对应角相等． 2．（2024秋•凉州区校级期中）如图，点在上，与相交于点，△△，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用全等三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得的度数，再利用三角形外角和内角的关系可得答案． 【解答】解：由条件可知：，， 在△中，， ， ， 在△中，， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2024秋•武都区期中）如图，已知△△，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质解决问题． 【解答】解：△△， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 4．（2024秋•凉州区期中）如图，△△，与是对应角，与是对应边，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由△△得到，，进而可求得的长，即可解答． 【解答】解：△△，，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 5．（2024秋•康乐县校级期中）如图，，、、、四点共线，，，则为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是熟记全等三角形的对应边相等． 6．（2024秋•凉州区期中）如图，△△，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【解答】解：△△， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 7．（2024秋•临洮县期中）如图，，点，，，在同一直线上，，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据全等三角形的性质得出，再求出即可． 【解答】解：， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 8．（2024秋•兰州期中）如图所示，若△△，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形性质求出即可． 【解答】解：△△，， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的对应边相等，对应角相等． 9．（2024秋•凉州区校级期中）已知△△，若，，，则　　 A．10 B．7 C．6 D．6或7 【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【解答】解：△△，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 10．（2024秋•武威期中）如果，的周长为13，，则的长　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据全等三角形的周长相等求出的周长，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【解答】解：，的周长为13， 的周长为13， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的周长的定义，熟记性质是解题的关键． 11．（2024秋•凉州区期中）如图，若，则下列结论中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形全等的性质一一判断即可． 【解答】解：， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故、、选项不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的性质，解题的关键是三角形全等的性质． 12．（2024秋•凉州区期中）一个三角形的三边为2、5、，另一个三角形的三边为、2、4，若这两个三角形全等，则　9　． 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的值，然后相加即可得解． 【解答】解：两个三角形全等， ，， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键． 13．（2024秋•凉州区期中）如图，若△△，且，，则 　　． 【分析】先由全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理即可求出结论． 【解答】解：△△，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键． 14．（2024秋•武威期中）如图，△的两条高，相交于点，若△△，，，则△的面积为 　24　． 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【解答】解：△△，，， ，， ， ， ， 故答案为：24． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 15．（2024秋•凉州区校级期中）如图所示，，于点，于点，已知，且的面积为，则　12　． 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：，的面积为， 的面积， 于点，已知， ， ， 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 16．（2024秋•凉州区期中）在△中，，且△△，则　36　． 【分析】先由三角形三个内角的度数之和为180度求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到． 【解答】解：在△中，，， ， △△， ， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 17．（2024秋•武威期中）如图，若，且，，则　　． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，求出即可． 【解答】解：在中，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△△，，，则　5　． 【分析】根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而求得的长． 【解答】解：△△， ， ， 即， ，， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键． 19．（2024秋•武都区期中）如图，已知△△，，，则的长是 　6　． 【分析】根据全等三角形的性质分别求出、的长，结合图形计算即可． 【解答】解：△△，，， ，， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 20．（2024秋•凉州区期中）如图，已知△△，，，求的值． 【分析】由根据直角三角形的性质得出，再由△△可得，推出，即可求解． 【解答】解：， ， ， 又， ， △△， ， ， 即． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 21．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，，，，，为的中点． （1）求的长； （2）求的度数． 【分析】根据全等三角形的性质求出，，根据线段中点的概念求出，根据三角形内角和定理求出，根据周角的概念求出． 【解答】解：（1），， ，， 点为中点， ， ， （2），， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 二．全等三角形的判定（共27小题） 22．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使△与△全等，则线段的长为　　． A．18或28 B．9 C．9或14 D．18 【分析】依题意可设，则，则，再根据得当△与△全等时，有以下两种情况：①当，时，则△△，再由求出的值，进而可得的长；②当，时，则△△，再由求出的值，进而可得的长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：点，运动的速度之比为， 设，则， ， ， 又， 当△与△全等时，有以下两种情况： ①当，时，则△△， 由，得：， 解得：， ； ②当，时，则△△， 由，得：， 解得：， ， 综上所述，的长为或， 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 23．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△△的是　　 A． B． C． D． 【分析】要判定△△，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定△△，而添加后则不能． 【解答】解：、添加，根据，能判定△△，故选项不符合题意； 、添加，根据，能判定△△，故选项不符合题意； 、添加，根据，能判定△△，故选项不符合题意； 、添加时，不能判定△△，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 24．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定△△的选项是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有选项不能判定△△，由此得到答案． 【解答】解：，， 添加，可以得到△△，故选项不符合题意； 添加，可以得到△△，故选项不符合题意； 添加，不能得到△△，故选项符合题意； 添加，则，可以得到△△，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 25．（2024秋•康县期中）如图，与相交于点，，，若使△△，则　　 A．应补充条件 B．应补充条件 C．不用补充 D．以上说法都不正确 【分析】本题要判定△△，已知，，具备了两组边对应相等，由于对顶角相等可得，可根据能判定△△． 【解答】解：在△与△中， ， △△， 不用补充条件即可证明△△， 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 26．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形和△中，，还需添加两个条件才能使△△，添加的一组条件不正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】．根据来判断两个三角形全等；．两个三角形中，两边对应相等，一边的对应角对应相等，不能判定两个三角形全等；．根据来判断两个三角形全等；．根据来判断两个三角形全等． 【解答】解：．添加，，根据得到△△，不符合题意； ．添加，，不能得到三角形全等，符合题意； ．添加，，根据得到，用得到两个三角形全等，不符合题意； ．添加，，根据得到三角形全等，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定，理解判定三角形全等的、、、是解答关键． 27．（2024秋•甘州区期中）如图，在△中，于点，添加一个条件，可使用“”判定△与△全等的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据于点得，再根据是公用边得只需添加斜边相等即可使用“”判定△与△全等，由此可得出答案． 【解答】解：当添加时，可使用“”判定△与△全等，理由如下： 于点， ， 在△与△中， ， △△． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 28．（2024秋•甘州区期中）如图，在△中，，点，分别是边，上的点，连接，交于点，，那么，图中的全等三角形共有　　 A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【分析】根据三角形的公共边、公共角以及对顶角相等，即可得到图中的全等三角形． 【解答】解：在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， ，， △△， 同理可得△△； 综上所述：全等三角形共有3对； 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 29．（2024秋•永昌县期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 30．（2024秋•凉州区校级期中）如图，和中，，，点，，，在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：．条件，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．条件，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．， ， 即， 条件，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．， ， 条件，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 31．（2024秋•康乐县校级期中）如图中的两个三角形全等的是　　 A．③④ B．②③ C．①② D．①④ 【分析】根据即可判断； 【解答】解：根据两边夹角对应相等的两个三角形全等，可知①②两个三角形全等， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 32．（2024秋•安定区期中）如图，给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能使△△的条件共有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】要使△△的条件必须满足、、、，可据此进行判断． 【解答】解：第①组满足，能证明△△． 第②组满足，能证明△△． 第③组满足，能证明△△． 第④组只是，不能证明△△． 所以有3组能证明△△． 故符合条件的有3组． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 33．（2024秋•康县期中）如图，已知，则不一定能使△△的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】利用全等三角形判定定理，，对各个选项逐一分析即可得出答案． 【解答】解：、，为公共边，若，则△△； 、，为公共边，若，不符合全等三角形判定定理，不能判定△△； 、，为公共边，若，则△△； 、，为公共边，若，则△△； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 34．（2024秋•渭源县校级期中）如图，已知，，下列条件无法确定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理，，，判断即可． 【解答】解：， ； 、，，， 根据可以推出，正确，故本选项错误； 、根据，，不能推出，错误，故本选项正确； 、，，， 根据可以推出，正确，故本选项错误； 、，，， 根据可以推出，正确，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 35．（2024秋•凉州区期中）如图，已知．欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项的是　　 A． B． C． D． 【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：、符合定理，即根据即可推出，故本选项错误； 、符合定理，即根据即可推出，故本选项错误； 、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项正确； 、符合定理，即根据即可推出，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 36．（2024秋•永昌县期中）如图，，，，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明△△的是　　 A． B． C． D． 【分析】由，可得出，又有，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△△，那么添加的条件与原来的条件可形成，就不能证明△△了． 【解答】解：、添加与原条件满足，不能证明△△，故选项正确． 、添加，可得，根据能证明△△，故选项错误． 、添加，根据能证明△△，故选项错误． 、添加，可得，根据能证明△△，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 37．（2024秋•凉州区校级期中）已知：如图，，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D．或 【分析】由可得，再加，，即可得，从而． 【解答】解：， ， 又，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与． 38．（2024秋•凉州区校级期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为 　1或　． 【分析】由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【解答】解：由题意知，，，， 与全等，， 分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得，，即，解得； 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解． 39．（2024秋•岷县期中）如图，在的正方形网格中，，，，，是网格线交点．画出，使得与全等，这样的点有 　4　个． 【分析】利用全等三角形的判定方法画图． 【解答】解：如图，为所作． 故答案为：4． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 40．（2024秋•安定区期中）已知：如图，，只需补充条件 　　，就可以根据“”得到△△． 【分析】根据的判定方法可得出答案． 【解答】解：补充条件． 理由：在△和△中， ， △△． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 41．（2024秋•甘肃期中）如图所示，，，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是 　　． 【分析】要使，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等． 【解答】解：添加 ， 需要添加的条件是． 【点评】本题考查了三角形全等的判定；答案可有多种．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．添加时注意不能符合，，不能作为全等的判定方法． 42．（2024秋•凉州区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是　　（填，，，中的一种）． 【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是， 故答案为：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 43．（2024春•肃州区校级期中）如图，在与中，若，加上条件　　则有． 【分析】添加条件，根据推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如还可以添加条件，． 【解答】解：， 理由是： 在和中， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 44．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，要证明，还需要添加条件为 　（答案不唯一）　（只写一种）． 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：添加条件为， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 45．（2024秋•庄浪县期中）如图，已知，请你添加一个条件：　（答案不唯一）　，使得． 【分析】要判定，已知，，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加后可根据判定． 【解答】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 46．（2024秋•武威期中）如图，在四边形中，，，，，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿向点运动，动点从点出发以每秒2个单位的速度沿向点运动，，同时出发，当点停止运动时，点也随之停止，连接，．设点运动时间为秒，问当为何值时，△△，并证明△△． 【分析】根据题意可知，，时，列方程可求出的值，再根据全等三角形的判定定理判定即可． 【解答】解：由题意得，， ， ， 当时列方程，即， 解得，即当时，△△， 所以当时，△△， 理由如下： ， 根据平行线的性质，， 在△和△中， ， △△． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 47．（2024秋•平凉期中）如图，点、在上，，，，求证：． 【分析】根据全等三角形的判定定理证得结论即可． 【解答】解：， ，即， 在与中，， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 48．（2024秋•武威期中）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图与相交于点，且，． 求证：． 【分析】连接，先利用“”证明得，再结合，利用“”证明． 【解答】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 题型03探究三角形全等的条件 一．全等三角形的判定与性质（共45小题） 1．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△和△中，，，，直线，交于点，连接下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先证明，即可证明△△得到，即可判断①②；设于的交点为，在△中由三角形外角的性质可得，在△中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【解答】解：在△和△中，，，， ， 即， 在△和△中， ， △△， ， ， 故①正确，符合题意； ， 故②正确，符合题意； 设于的交点为， 在△中由三角形外角的性质可得， 在△中由三角形外角的性质可得， ， ， 故③正确，符合题意； 同理可得，，而未知，则未知， 故④不一定正确， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 2．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，，那么的长度为　　 A．8 B．2 C．10 D．6 【分析】证明△△可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：，是上一点，，，， ， △和△是直角三角形， 在△和△中， ， △△， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2024秋•凉州区期中）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据条件可以得出，进而得出△△，就可以得出，就可以求出的值． 【解答】解：，， ， ． ， ． 在△和△中， ， △△， ，， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 4．（2024秋•凉州区期中）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用三角形外角的性质得出，由，得出，然后证明△△，得出． 【解答】解：由三角形外角性质可知：， ， ， 即， ， △△， ， 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是利用三角形外角的性质得出解答． 5．（2024秋•武威期中）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：． 【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、经过一点有且只且一条直线与已知直线平行等知识，证明和、及是解题的关键． 6．（2024秋•平凉期中）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】求出，证，推出，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出． 7．（2024秋•渭源县期中）如图，在与中，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知，且为公共边，根据全等三角形的判定定理即可得两三角形全等，进而可求的度数． 【解答】解：在与中， ， ， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 8．（2024秋•康县期中）如图，在中，，高，交于点．若，，则　5　． 【分析】先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案． 【解答】解：，， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质．解决本题的根据是证明． 9．（2024春•古浪县期中）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 　　． 【分析】延长到，使得，连接，作于点，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：如图，延长到，使得，连接，作于点， 则． 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是勾股定理及其逆定理等知识的掌握，综合性强． 10．（2024春•景泰县期中）如图，在△中，，，于，若，　　． 【分析】利用证明△△，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：，， △和△是直角三角形， 在△和△中， ， △△， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 11．（2024秋•凉州区期中）如图，，，，，则 　4　． 【分析】根据得到，结合角边角判定即可得到答案． 【解答】解：，，， ， 在△与△中， ， △△， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查三角形全等的判定及性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 12．（2024秋•凉州区期中）如图，点在上，，，．若，则　　． 【分析】证明△，可得，即可求解． 【解答】解：，， ． 又， 在与中， ， △， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2024秋•凉州区期中）如图，为斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，则的长为 　12　． 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【解答】解：连接． ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△和△中，，，，则 　110　． 【分析】证明△△，由全等三角形的性质得出． 【解答】解：在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：110． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△△是解题的关键． 15．（2024秋•凉州区期中）如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 　①②④⑤　． 【分析】根据，结合角平分线的定义可判断①正确；再由三角形角平分线及三角形内角和可判断②正确；由题干中的角度关系，无法判断③正确，由两直线平行和角平分线，以及垂直关系，可得到④，⑤正确． 【解答】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， 在△中，， 故②正确； 若时，， 则， 则，△是等腰直角三角形， 但题干中并没有确定， 故③不正确； ， ， 平分， ， ， ， 故④正确； ，， ， 故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查平行线的性质、角平分线定义、垂直的定义、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解决问题的关键． 16．（2024春•肃州区校级期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是　①②③　． 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，再根据全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【解答】解：， ，，，， ，故①正确； 四边形的对角线、相交于点， ， 在和中， ， ，故③正确； ，故②正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：，，，，以及，是解题的关键． 17．（2024秋•渭源县校级期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 【分析】（1）结合条件利用直角三角形的性质可得，利用和证得全等； （2）由全等三角形的性质可求得，利用线段的和差可求得的长度． 【解答】（1）证明：，， ， （同角的余角相等）， 在与中 ； （2）解：由（1）知，， 则，． ， ， 即的长度是． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 18．（2024秋•渭源县期中）如图，已知，于点，延长至点，连接、 求证：． 【分析】可考虑两种方法，一是由，于点，证明垂直平分，则；二是先根据“”证明△△，得，再根据“”证明△△，则． 【解答】证明方法一：，于点， ， 垂直平分， 点在直线上， ． 证明方法二：于点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，推导出垂直平分或证明是解题的关键． 19．（2024秋•安定区期中）如图，、、、四点共线，且，，，求证：． 【分析】由，可得，结合，，可证明△△，即可解答． 【解答】证明：，、、、四点共线， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握其性质是解决此题的关键． 20．（2024春•甘州区期中）如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：． 【分析】过点作交于点，由“”可证，可得． 【解答】证明：如图，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， 在和△中，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（2024秋•武威期中）如图，，，，．求证：． 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质证明结论． 【解答】解：， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、平行线的判定定理是解题的关键． 22．（2024秋•凉州区校级期中）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【分析】先证明，再根据平行线性质得，，由此可依据“”判定△和△全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：， ， 即， 又，， ，， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． 23．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，已知，，．求证：． 【分析】利用证明△△，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：， ， 在△与△中， ， △△， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（2024秋•凉州区期中）如图，点在△外部，点在边上，交于点，若，， （1）求证：△△． （2）若，，且，则△的面积是多少？ 【分析】（1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法判定即可； （2）根据三角形面积公式，同高找底的关系即可求解面积，再根据即可求解； 【解答】（1）证明：， 即， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：， ， ，， ， ， ． 【点评】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． 25．（2024秋•康乐县校级期中）如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点． （1）若，则求的长； （2）求证：． 【分析】（1）先证明得出：． （2）由全等三角形的性质得到：，从而得出，即． 【解答】（1）解：， ． 在与中， ， ． ； （2）证明：由（1）知，， ． 又． ． ， 即． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 26．（2024秋•平凉期中）如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据同角的余角相等可得到，结合条件可得到，再加上，可证得结论； （2）根据三角形的内角和解答即可． 【解答】解：， ， ， 在和中，， ， ； （2），， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 27．（2024秋•康县期中）如图，在△中，，于点，，交于点，的延长线交于点．求证： （1）． （2）平分． 【分析】（1）证明△△，即可得结论； （2）证明△△，得，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）在△和△中， ， △△， ， ，， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到△△． 28．（2024秋•永昌县期中）如图，点，，，在同一直线上，于点，于点，，，平行于吗？说说你的理由． 【分析】先根据垂直的定义得出，再由定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【解答】解：． 理由：，（已知）， （垂直的定义）， ， ， ， 在和中， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知、、及定理是解答此题的关键． 29．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在中，点，分别是和上的点，，且，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若，求的长． 【分析】先根据平行线的性质得到，则利用点是的中点得到，于是可根据“”判断，所以，从而可计算的长． 【解答】解：， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 30．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，，求证：． 【分析】先证得△△，得出，进一步求得，再证明△△，得出，可得出结论． 【解答】证明：在△和△中， ， △△， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 31．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，已知平分，．求证：． 【分析】根据角平分线的定义得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：平分， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 32．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，在△中，，直线经过顶点，分别过，两点作的垂线，，，为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 【分析】（1）先利用证明△和△全等，再根据全等三角形对应边相等可以得到，据此即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． 【解答】证明：（1）由题意得：， △和△是直角三角形， 在△和△中， ， △△， ， ； （2）△△， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 33．（2024秋•凉州区校级期中）如图所示，已知，，． （1）求证：△△； （2）说明与的位置关系． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可得证； （2）根据（1）得出，进而根据证明△△得出，进而可得，即可得出． 【解答】（1）证明：， ， ， ，即， 又， 在△和△中， ， △△； （2）解：，理由如下， △△， ， 在△，△中， ， △△， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 34．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△和△中，，，； （1）试说明△△． （2）若，，求的度数． 【分析】（1）由，可得，根据解可证明△△； （2）根据△△，对应角相等即可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：（1）， ，即， 在△和△中， ， △△； （2）由（1）知：△△， ， ， ． 为． 【点评】本题考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理：、、及，本题较基础． 35．（2024秋•凉州区期中）已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，求的长度． 【分析】由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：在上截取，连接，在上截取，连接， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（2024秋•康县期中）如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： （1） （2） 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明得，由（1）得，即可求证． 【解答】（1）证明：，分别是两个钝角和的高， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ， 由（1）得， ， 即． 【点评】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键． 37．（2024春•凉州区期中）如图，在和中，，，，延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的性质即可解决问题； （2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接， 在和中，，，， ， ， ，， 平分， 点在的平分线上； （2）解：， ， ， ， 设， ， 在中，， ， ． ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 38．（2024秋•武都区期中）如图，点是△的边上一点，，，． （1）求证：△△； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明△△，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在△和△中， ， △△； （2）解：由（1）知：△△， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 39．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 【分析】（1）由证明△△，得，即可得出结论； （2）分两种情况分别表示即可； （3）先证△△，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出即可． 【解答】（1）证明：在△和△中， ， △△， ， ； （2）当时， ， 当时，， 综上所述，线段的长为 或； （3）由（1）得：，， 在△和△中， ， △△， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． 40．（2024秋•康县期中）如图，在中，，是延长线上一点，是的中点，连接并延长，交于点，的平分线交于点． 求证：． 【分析】先由等腰三角形的性质得，则，再由角平分线的定义得，然后证明，即可得出结论． 【解答】证明：， ， ， 是的平分线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线定义等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 41．（2024秋•平凉期中）如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得，．求证：． 【分析】先由角的和差性质证得，再根据定理证明，最后根据全等三角形的性质得出． 【解答】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明线段相等，通常转化证明三角形全等． 42．（2024春•临洮县期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 【分析】（1）根据，，利用即可证明． （2）只要证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：（1）， ，即． ，， ， ，， ． （2）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题． 43．（2024春•肃州区校级期中）如图，在△和△中，，，．求证：． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明△和△全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可． 【解答】证明：， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键． 44．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，点、在上，，，．求证：． 【分析】可通过证，来得出的结论． 【解答】证明：， ， 即； 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 45．（2024秋•庄浪县期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得．运用证明与全等． 【解答】证明：， ， 在与中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等． 二．作图—基本作图（共4小题） 46．（2024春•兰州校级期中）如图，点在的边上． （1）过点画线段，垂足是； （2）过点作．（尺规作图，保留作图痕迹） 【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作于； （2）利用基本作图（作一个角等于已知角）作． 【解答】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为所作． 【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 47．（2024春•兰州校级期中）读句画图． （1）画射线，连接并延长线段至； （2）用直尺和圆规作，使得． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）利用基本作图作等于已知角． 【解答】解；（1）如图， （2）如图，为所作． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 48．（2024春•城关区校级期中）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹） 【分析】利用基本作图，作一个角等于已知角． 【解答】解：如图，为所作． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 49．（2024秋•渭源县校级期中）如图，在中，，点是斜边上一点，且． （1）作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【分析】（1）利用基本作图作的平分线； （2）证明得到，从而得到． 【解答】（1）解：如图，为所作； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质． 题型04利用三角形全等测距离 一．全等三角形的应用（共10小题） 1．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 2．（2024秋•甘肃期中）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 3．（2024秋•安定区期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解答】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 4．（2024秋•嘉峪关校级期中）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带　　 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【分析】根据三角形全等的判定方法作出判断即可． 【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 5．（2024秋•武都区期中）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， 则证明的依据的是， 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 6．（2024秋•崆峒区校级期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 7．（2024秋•凉州区校级期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案． 【解答】解：、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故选项错误； 、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故选项错误； 、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合判定，故选项正确； 、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故选项错误． 故选：． 【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 8．（2024秋•康县期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带　③　去最省事． 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故答案为：③． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 9．（2024秋•岷县期中）（1）如图1所示的折叠凳的设计所运用的数学原理是什么？ （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，折叠凳的宽为，则的长度是多少？ 【分析】（1）利用三角形的性质进行解答； （2）利用定理判定△△，再利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：（1）这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； （2）和的长度相等，交点是它们的中点，折叠凳的宽为， ，， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 10．（2024春•肃州区校级期中）如图；小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步． （1）根据题意，画出示意图； （2）如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据可得出，由全等三角形的性质可得． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由题意得，步， 在和中， ， ， ， 小刚走完走了80步，一步大约0.5米， （米， （米． 答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米． 【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04三角形 题型概览 题型01认识三角形 题型02全等三角形 题型03探究三角形全等的条件 题型04利用三角形全等测距离 题型01认识三角形 一．三角形的角平分线、中线和高（共15小题） 1．（2024秋•庄浪县期中）如图，在△中，线段表示△的边上的高的图是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•武威期中）下列说法错误的是　　 A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段 3．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形中，，，是边上的两点，，平分，下列说法不正确的是　　 A．是△的中线 B． C．是△的角平分线 D．是△的高 4．（2024秋•安定区期中）下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•康乐县校级期中）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是△的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 6．（2024秋•甘肃期中）在下图中，正确画出边上高的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△中，若，，、是△的两条中线，则△的周长是　　 A．22 B．26 C．35 D．45 8．（2024春•兰州期中）下列说法正确的是　　 A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 9．（2024秋•凉州区校级期中）如图，是△的中线，，，那么△的周长比△的周长多 　　． 10．（2024秋•凉州区期中）如图，在△中，为边上的中线，已知，，△的周长为20，则△的周长为 　　． 11．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则　　． 12．（2024秋•凉州区校级期中）如图，是三角形的中线，是△的中线．若，则 　　． 13．（2024秋•武威期中）如图，已知为△的中线，，，△的周长为，则△的周长为 　　． 14．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 15．（2024秋•凉州区期中）如图，在中，是的中线，是的中线． （1）若，求的长； （2）若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长． 二．三角形三边关系（共17小题） 16．（2024秋•武威期中）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•兰州校级期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（2024春•肃州区校级期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 19．（2024春•肃州区校级期中）现有以下说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②三角形的两边之差大于第三边； ③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．（2024秋•庄浪县期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是　　 A．2，3，5 B．5，5，10 C．3，4，6 D．4，5，11 21．（2024秋•武都区期中）在下列长度的四根木棒中，能与和的两根木棒围成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•凉州区期中）已知三角形的两边长分别为2和5，则第三边长不可能是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 23．（2024秋•凉州区期中）某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是　　 A．3.5 B．6 C．7.3 D．9.2 24．（2024秋•七里河区校级期中）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中的值可以是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2024秋•平凉期中）已知，，是三角形的三边长，化简：　　． 26．（2024秋•凉州区校级期中）若三角形的两条边长分别为和，且第三边的边长为偶数，则第三边长为 　　． 27．（2024秋•凉州区校级期中）已知，，为△的三条边，化简：　　． 28．（2024春•兰州校级期中）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值 　　． 29．（2024秋•凉州区校级期中）已知△的三边长是，，． （1）若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 30．（2024秋•凉州区期中）已知三角形的三边长分别为、、，化简：． 31．（2024秋•凉州区期中）已知的三边分别为，，，且，． （1）求的取值范围； （2）若的长为小于8的偶数，求的周长． 32．（2024秋•凉州区期中）已知，，是△的三边长，且，满足，求第三边的取值范围． 三．三角形内角和定理（共28小题） 33．（2024秋•凉州区校级期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在△外的点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 34．（2024秋•渭源县期中）已知在△中，，则△为　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 35．（2024秋•凉州区期中）如图，将△沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处．若，，则度数为　　 A． B． C． D． 36．（2024秋•渭源县校级期中）具备下列条件的△中，不是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•凉州区期中）如图，的度数为　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•凉州区期中）已知：△中，、、为三个内角，下列条件中不能判定△为直角三角形的是　　 A． B． C． D． 39．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 40．（2024秋•庄浪县期中）如图，在中，，和的平分线交于一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 41．（2024秋•渭源县期中）如图，将△沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为 　　． 42．（2024秋•岷县期中）如图所示的折线图形中，　　． 43．（2024秋•渭源县校级期中）在△中，若，，则等于　　． 44．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形中，，，则　　． 45．（2024秋•凉州区期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则　　． 46．（2024秋•凉州区校级期中）已知△中，，，则 　　． 47．（2024秋•临洮县期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 　　． 48．（2024秋•城关区校级期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”， 为“和谐三角形”． 问题1：如图1，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）如图1，若，则、是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2：如图2，中，，，点是线段上一点（不与、重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 49．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△中，于点，平分，若，． （1）求的度数； （2）若点为线段上的任意一点，当△为直角三角形时，求的度数． 50．（2024秋•武威期中）如图，在中，，，于，平分，与交于点，求． 51．（2024秋•武都区期中）在中，平分交于点，是边上的高，且，，求： （1）的度数． （2）的度数． 52．（2024秋•凉州区校级期中）△中，，，求△的各内角的度数． 53．（2024秋•甘肃期中）△中，，平分交于点． （1），，求的大小． （2）若，直接写出与，之间的数量关系． 54．（2024秋•庄浪县期中）如图，中，，平分，，，求的度数． 55．（2024秋•康乐县校级期中）如图，在△中，，平分．，于点，若． （1）求的度数； （2）求的度数． 56．（2024秋•安定区期中）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在△中，，，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得　　． 　　， （等式的性质）　　． 【问题推广】 （1）如图1，在△中，、的角平分线交于点，将△沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在△中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则　　． 57．（2024秋•凉州区期中）在中，已知． （1）求的大小； （2）按角分类，试判断的形状． 58．（2024秋•岷县期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 59．（2024秋•平凉期中）如图所示，在△中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数． 60．（2024春•凉州区期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　　． （2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若．判定、是否是“梦想三角形”，为什么？ （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，求的度数． 题型02全等三角形 一．全等三角形的性质（共21小题） 1．（2024秋•凉州区期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•凉州区校级期中）如图，点在上，与相交于点，△△，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•武都区期中）如图，已知△△，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•凉州区期中）如图，△△，与是对应角，与是对应边，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•康乐县校级期中）如图，，、、、四点共线，，，则为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2024秋•凉州区期中）如图，△△，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•临洮县期中）如图，，点，，，在同一直线上，，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2024秋•兰州期中）如图所示，若△△，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•凉州区校级期中）已知△△，若，，，则　　 A．10 B．7 C．6 D．6或7 10．（2024秋•武威期中）如果，的周长为13，，则的长　　 A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2024秋•凉州区期中）如图，若，则下列结论中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•凉州区期中）一个三角形的三边为2、5、，另一个三角形的三边为、2、4，若这两个三角形全等，则　　． 13．（2024秋•凉州区期中）如图，若△△，且，，则 　　． 14．（2024秋•武威期中）如图，△的两条高，相交于点，若△△，，，则△的面积为 　　． 15．（2024秋•凉州区校级期中）如图所示，，于点，于点，已知，且的面积为，则　　． 16．（2024秋•凉州区期中）在△中，，且△△，则　　． 17．（2024秋•武威期中）如图，若，且，，则　　． 18．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△△，，，则　　． 19．（2024秋•武都区期中）如图，已知△△，，，则的长是 　　． 20．（2024秋•凉州区期中）如图，已知△△，，，求的值． 21．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，，，，，为的中点． （1）求的长； （2）求的度数． 二．全等三角形的判定（共27小题） 22．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使△与△全等，则线段的长为　　． A．18或28 B．9 C．9或14 D．18 23．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△△的是　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定△△的选项是　　 A． B． C． D． 25．（2024秋•康县期中）如图，与相交于点，，，若使△△，则　　 A．应补充条件 B．应补充条件 C．不用补充 D．以上说法都不正确 26．（2024秋•凉州区期中）如图，在三角形和△中，，还需添加两个条件才能使△△，添加的一组条件不正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 27．（2024秋•甘州区期中）如图，在△中，于点，添加一个条件，可使用“”判定△与△全等的是　　 A． B． C． D． 28．（2024秋•甘州区期中）如图，在△中，，点，分别是边，上的点，连接，交于点，，那么，图中的全等三角形共有　　 A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 29．（2024秋•永昌县期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•凉州区校级期中）如图，和中，，，点，，，在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定的是　　 A． B． C． D． 31．（2024秋•康乐县校级期中）如图中的两个三角形全等的是　　 A．③④ B．②③ C．①② D．①④ 32．（2024秋•安定区期中）如图，给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能使△△的条件共有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 33．（2024秋•康县期中）如图，已知，则不一定能使△△的条件是　　 A． B． C． D． 34．（2024秋•渭源县校级期中）如图，已知，，下列条件无法确定的是　　 A． B． C． D． 35．（2024秋•凉州区期中）如图，已知．欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项的是　　 A． B． C． D． 36．（2024秋•永昌县期中）如图，，，，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明△△的是　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•凉州区校级期中）已知：如图，，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D．或 38．（2024秋•凉州区校级期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为 　　． 39．（2024秋•岷县期中）如图，在的正方形网格中，，，，，是网格线交点．画出，使得与全等，这样的点有 　　个． 40．（2024秋•安定区期中）已知：如图，，只需补充条件 　　，就可以根据“”得到△△． 41．（2024秋•甘肃期中）如图所示，，，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是 　　． 42．（2024秋•凉州区校级期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是　　（填，，，中的一种）． 43．（2024春•肃州区校级期中）如图，在与中，若，加上条件　 　则有． 44．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，要证明，还需要添加条件为 　　（只写一种）． 45．（2024秋•庄浪县期中）如图，已知，请你添加一个条件：　　，使得． 46．（2024秋•武威期中）如图，在四边形中，，，，，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿向点运动，动点从点出发以每秒2个单位的速度沿向点运动，，同时出发，当点停止运动时，点也随之停止，连接，．设点运动时间为秒，问当为何值时，△△，并证明△△． 47．（2024秋•平凉期中）如图，点、在上，，，，求证：． 48．（2024秋•武威期中）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图与相交于点，且，． 求证：． 题型03探究三角形全等的条件 一．全等三角形的判定与性质（共45小题） 1．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△和△中，，，，直线，交于点，连接下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，，那么的长度为　　 A．8 B．2 C．10 D．6 3．（2024秋•凉州区期中）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是　　 A． B．2 C． D． 4．（2024秋•凉州区期中）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•武威期中）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024秋•平凉期中）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•渭源县期中）如图，在与中，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•康县期中）如图，在中，，高，交于点．若，，则　　． 9．（2024春•古浪县期中）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 　　． 10．（2024春•景泰县期中）如图，在△中，，，于，若，　　． 11．（2024秋•凉州区期中）如图，，，，，则 　　． 12．（2024秋•凉州区期中）如图，点在上，，，．若，则　　． 13．（2024秋•凉州区期中）如图，为斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，则的长为 　　． 14．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△和△中，，，，则 　　． 15．（2024秋•凉州区期中）如图，为的边上一点，过点作交的平分线于点，作交的延长线于点，若，现有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 　　． 16．（2024春•肃州区校级期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号是　　． 17．（2024秋•渭源县校级期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 18．（2024秋•渭源县期中）如图，已知，于点，延长至点，连接、 求证：． 19．（2024秋•安定区期中）如图，、、、四点共线，且，，，求证：． 20．（2024春•甘州区期中）如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：． 21．（2024秋•武威期中）如图，，，，．求证：． 22．（2024秋•凉州区校级期中）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 23．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，已知，，．求证：． 24．（2024秋•凉州区期中）如图，点在△外部，点在边上，交于点，若，， （1）求证：△△． （2）若，，且，则△的面积是多少？ 25．（2024秋•康乐县校级期中）如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点． （1）若，则求的长； （2）求证：． 26．（2024秋•平凉期中）如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 27．（2024秋•康县期中）如图，在△中，，于点，，交于点，的延长线交于点．求证： （1）． （2）平分． 28．（2024秋•永昌县期中）如图，点，，，在同一直线上，于点，于点，，，平行于吗？说说你的理由． 29．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在中，点，分别是和上的点，，且，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若，求的长． 30．（2024秋•凉州区校级期中）如图，已知，，，求证：． 31．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，已知平分，．求证：． 32．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图，在△中，，直线经过顶点，分别过，两点作的垂线，，，为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 33．（2024秋•凉州区校级期中）如图所示，已知，，． （1）求证：△△； （2）说明与的位置关系． 34．（2024秋•凉州区校级期中）如图，△和△中，，，； （1）试说明△△． （2）若，，求的度数． 35．（2024秋•凉州区期中）已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，求的长度． 36．（2024秋•康县期中）如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： （1） （2） 37．（2024春•凉州区期中）如图，在和中，，，，延长，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，，求的长． 38．（2024秋•武都区期中）如图，点是△的边上一点，，，． （1）求证：△△； （2）若，求的度数． 39．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）求证：． （2）写出线段的长（用含的式子表示）． （3）连接，当线段经过点时，求的值． 40．（2024秋•康县期中）如图，在中，，是延长线上一点，是的中点，连接并延长，交于点，的平分线交于点． 求证：． 41．（2024秋•平凉期中）如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得，．求证：． 42．（2024春•临洮县期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 43．（2024春•肃州区校级期中）如图，在△和△中，，，．求证：． 44．（2024秋•崆峒区校级期中）如图，点、在上，，，．求证：． 45．（2024秋•庄浪县期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 二．作图—基本作图（共4小题） 46．（2024春•兰州校级期中）如图，点在的边上． （1）过点画线段，垂足是； （2）过点作．（尺规作图，保留作图痕迹） 47．（2024春•兰州校级期中）读句画图． （1）画射线，连接并延长线段至； （2）用直尺和圆规作，使得． 48．（2024春•城关区校级期中）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹） 49．（2024秋•渭源县校级期中）如图，在中，，点是斜边上一点，且． （1）作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 题型04利用三角形全等测距离 一．全等三角形的应用（共10小题） 1．（2024秋•嘉峪关校级期中）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•甘肃期中）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 3．（2024秋•安定区期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 4．（2024秋•嘉峪关校级期中）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④，若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带　　 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 5．（2024秋•武都区期中）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•崆峒区校级期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 7．（2024秋•凉州区校级期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 8．（2024秋•康县期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带　　去最省事． 9．（2024秋•岷县期中）（1）如图1所示的折叠凳的设计所运用的数学原理是什么？ （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，折叠凳的宽为，则的长度是多少？ 10．（2024春•肃州区校级期中）如图；小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步． （1）根据题意，画出示意图； （2）如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$