8.1.1 变量的相关关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

8.1.1 变量的相关关系 第八章 成对数据的统计分析 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 在必修二的课程中，我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画. 例如： 用直方图描述样本数据的分布规律 用均值刻画样本数据的集中趋势 用方差刻画样本数据的离散程度 主要适用于通过样本认识单个变量的统计规律 在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系，例如： 商品销售收入与哪些因素有关； 学生使用手机时长和近视之间的关系； 人体的脂肪含量与年龄之间的关系； 该如何刻画这两个变量 之间的统计规律 学习目标 1 2 3 通过具体实例，了解样本相关系数的统计含义． 掌握相关关系的判断，能辨析相关关系和函数的区别． 结合实例，能根据散点图判断线性相关关系． 0 新课引入 0 俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”， 这说明施肥的多少对粮食的产量影响很大。 问题：(1)粮食的产量还受其他因素的影响吗？ (2)施肥量和粮食的产量是确定的函数关系吗？ (3)两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗？ 为了搞清这些问题，我们一起来学习本节内容－－变量的相关关系． 读教材 0 阅读课本P93-P95，4分钟后完成下列问题： 1.相关关系与函数的区别和联系？ 我们一起来探究“变量的相关关系”吧！ 2.你能总结出两个变量之间的关系有哪些吗？ 01 03 02 目录 1 两个变量的相关关系 学习过程 2 散点图与线性相关 3 题型训练 1 新知探究 探究1 下列两个变量之间有关系吗？关系是否确定？ 思考：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢？ (1)正方体的体积V与棱长a； (2)汽车匀速行驶时的路程S与时间t； (3)粮食产量y与施肥量x； (4) 学习成绩与学习时间； (5)人的体重与视力； (6)商品销售收入y与广告支出经费x； 有确定关系：V=a3 有确定关系：s=vt 有关系但不是唯一因素 有关系但不是唯一因素 没有关系 有关系但不是唯一因素 1 新知探究 (1)正方体的体积V与棱长a； (2)汽车匀速行驶时的路程S与时间t； 有确定关系：V=a3 有确定关系：s=vt 思考：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢？ 问题(1)和问题(2)的确定关系中，体积V是棱长a的函数，路程s是时间t的函数， 我们知道，如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y； 所以当两个变量之间有确定的关系时，这两个变量之间有因果关系， 也就是说两个变量之间的确定关系是一种“函数关系”。 1 新知探究 思考：上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢？ (3)粮食产量y与施肥量x； (4) 学习成绩与学习时间； (5)人的体重与视力； (6)商品销售收入y与广告支出经费x； 有关系但不是唯一因素 有关系但不是唯一因素 没有关系 有关系但不是唯一因素 问题(3)、问题(4)、问题(6)的不确定关系中， 两个变量有关系，但后一个变量不是影响前一个变量的唯一因素， 所以当两个变量之间有不确定的关系时，这两个变量之间有因果关系或伴随关系， 此时，我们称两个变量之间的不确定关系是一种“相关关系”。 1 新知1－－两个变量的相关关系 两个变量的相关关系 像上述，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的 一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 一个人的体重与他的身高有关系，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小；但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素. 两个变量的关系 相关关系： 函数关系：正方形的面积与边长 ：体重与视力 不相关 学习时间与学习成绩 1 思考：相关关系与函数关系之间有何区别和联系? 新知1－－离散型随机变量 关系 函数关系 相关关系 相同点 都是两个变量间的关系 不同点 是一种确定关系 是一种非确定关系 是一种因果关系 不一定是因果关系， 也可能是伴随关系 伴随关系：现象之间伴随发生或共同变化。 例如：我市某年的房产销售产量与装修公司的收入之间的关系。 学以致用 例1 (多选)下列关系中，属于相关关系的是（ ） A.正方形的边长与面积之间的关系 B.农作物的产量与施肥量之间的关系 C.出租车费与行驶的里程 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解：A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； C为确定的函数关系； D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. BD 学以致用 例2 若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系（ ） A.相关关系 B.函数关系 C.无任何关系 D.不能确定 A 解：一般来说，名师更可能出高徒，但高徒还受师傅教导时间、徒弟的天赋、 以及徒弟自身的努力等因素影响。 学以致用 例3 (多选)给出下列关系，其中有相关关系的是（ ） A.人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系 B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C.苹果的产量与气候之间的关系 D.森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系 解：A中，人的年龄与他(她)拥有的财富有相关关系； B中，曲线上的点与该点的坐标之间有确定关系； C中，苹果的产量与气候之间有相关关系； D中，森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系具有相关关系. ACD 01 03 02 目录 1 两个变量的相关关系 学习过程 2 离散图与线性相关 3 题型训练 1 新知探究 思考：你能准确描述下列相关关系吗？ 思考：上述相关性是由“经验”推断，当经验判断不了时应该怎么办呢？ (1)粮食产量y与施肥量x； (2) 学习成绩与学习时间； (3)商品销售收入y与广告支出经费x； 一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关。 学习时间越长，学习成绩越好，但学习成绩还与学习效率、学习状态等因素有关。 在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高.但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响. 1 新知探究 探究2 在研究两个变量间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断： 科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表,表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 问题1：根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 问题2：如果用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，上述数据用直角坐标系中的 点表示出来，图有什么特征？ 1 新知探究 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 散点图：是描述成对数据 之间关系的一种直观方法. 问题1：根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 问题2：如果用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，上述数据用直角坐标系中的 点表示出来，图有什么特征？ 把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 由散点图得，散点大致落在一条 从左下角到右上角的直线附近， 表明随年龄值的增加，脂肪含量值 呈现增高的趋势. 2 新知2－－离散图与线性相关 离散图与线性相关 把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来， 由这些点组成的统计图叫做散点图． 散点图：是描述成对数据之间关系的一种直观方法. 正相关：从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大，点的位置散布在从左下角到右上角的区域. 负相关：从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小，点的位置散布在从左上角到右下角的区域内. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 新知2－－离散图与线性相关 思考1：两个变量的相关关系一定是线性相关的吗? ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关， 而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。 线 性 相 关 线 性 相 关 非 线 性 相 关 思考2：正相关和负相关一定是线性相关的吗？ 反过来呢？ 不一定，如上图，正相关也可能是非线性关系； 反之也不一定，相关系数为0时。 学以致用 例1 某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图；(2)从散点图中判断 销售金额与广告支出费成什么样的关系？ 解：(1)以x对应的数据为横坐标， y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示. (2)从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系. 学以致用 例2 (多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( ) 解：图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系； 图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系. BC 学以致用 例3 两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关， 则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( ) 解：对于(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系； 对于(2)，图中的点没有明显的带状分布，是③不相关； 对于(3)，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系.故选D. A.①②③ B.②③① C.②①③ D.①③② D 学以致用 例4 给出下列x，y值的数据如下： 则根据数据可以判断x和y的关系是_________. (填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”) 解：由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系：y＝2x＋1， 所以x，y是一种确定的关系，即函数关系. x 1 2 4 8 y 3 5 9 17 确定关系 思路点拨 散点图判断相关关系： 画散点图的一般步骤:(1)建立直角坐标系，注意，两轴的长度单位可以不一致. (2)将个数据点描在平面直角坐标系中， 描出的点可以是实心点，也可以是空心点. (3)画直线时，一定要画在多数点经过的区域.具体作直线时， 用一条透明的直尺边缘尽量靠近或经过大多数点，然后画出直线. 两个变量的关系 相关关系：线性相关，非线性相关，正相关，负相关 函数关系：正方形的面积与边长 ：体重与视力 不相关 01 03 02 目录 1 两个变量的相关关系 学习过程 2 散点图与线性相关 3 题型训练 3 例1 判断下列正误： (1)函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.(　　) (2)两个变量呈正相关，那么这两个变量有线性相关性.(　　) (3)散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性.(　　) (4)若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关.(　　) 解：(1)由两个变量关系的分类可知，说法正确； (2)正相关不一定线性相关，也可能是非线性相关，例如曲线相关，说法错误； (3)散点图的作用可知，说法正确； (4)函数关系是两个变量有确定关系，不是线性相关，说法错误. 题型1－－散点图与相关关系 √ × √ × 3 例2 据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图， 这两个变量是否具有线性相关关系___.(填“是”或“否”) 解：图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系. 题型1－－散点图与相关关系 否 3 例3 如图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后， 剩下的4组数据成线性相关关系（ ） 解：如图，去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系. B 题型1－－散点图与相关关系 A.E B.D C.B D.A 3 例4 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示： 解：(1)散点图如图所示； (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列， 因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系. 题型1－－散点图与相关关系 年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6 身高y(cm) 78 87 98 108 115 120 (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系， 如果相关，是正相关还是负相关. 课堂小结 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；注意区分相关关系和函数关系。 散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. 正相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称之两个变量正相关。 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关。 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关；正相关不一定是线性相关，也可能是非线性相关。 $$