2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《一次函数》19.2.3一次函数与方程不等式八大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.2.3一次函数与方程不等式八大题型 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1.一次函数与一元一次方程的关系 1.数值角度：当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 2.图象角度：直线y=kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 注意： 利用一次函数的图象解一元一次方程时,画图要准璃,这样才可以通过观察图象得出方程的解。 3 .利用图象解一元一次方程的步骤 ①转化:将一元一次方程化为一次函数: ②画图;画出一次函数的图象: ③找点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解。 学法指导： 一次函数与一元一次方程的关系要结合图形来理解运用.解一元一次方程可以借助函数图象,求函数图象上某点的横坐标可以借助解一元一次方程。, 知识点2.一次函数与一元一次不等式的关系 1.一元一次不等式kx+b>0或kx+b＜0(k≠0)可看成一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0成小于0时的情形。解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0时,求相应自变量的取值范围。 2 .利用图像解一元一次不等式 (1)①kx+b>0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为正数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的上方; ②kx+b＜0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为负数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的下方； (2)①k1x+b1>k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)上方(y1>y2)的部分对应的x的取值范围; ②k1x+b1＜k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)下方(y1＜y2)的部分对应的x的取值范围; 注意： 一次函数与二元一次不等式的关系要结合图形来理解运用.一次函数与一元一次不等式的关系也是互逆的,可利用一次函数图象解一元一次不等式,也可通过解一元一次不等式确定相应的函数值所对应的自变量的取值范围。 知识点3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 每个二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)都对应一个一次函数）,直线上毎个点的坐标都是方程ax+by=c的解。 2.一次函数与二元一次方程组的关系二元一次方程组 (a1,b1,a2,b2都不为0，且a1,b1,a2,b2,c1,c2都是常数) 的解是一次函数y＝x+y和y＝x+y图像的交点坐标。 注意：每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线,因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数,也就是对应两条直线。 3.用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法 (1)转化:将二元一次方程组转化为两个一次函数； (2)画图:画出这两个一次函数的图象; (3)找点:找出这两个一次函数的图象的交点,即为二元一次方程组的解。 4.两直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系 (1)如果两条直线只有一个交点,那么对应的二元一次方程组只有个解; (2)如果两条直线无交点,那么对应的二元一次方程组无解,就是两条直线平行的情况。 (3)如果两条直线是同一条直线,那么对应的二元一次方程组的解有无数个。 学法指导：数形结合思想的运用，从“数”的角度看,解方程组相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值。从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 知识点4.（1）已知直线与坐标轴交点求方程的解 当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； （2）由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 从“数”看,解一元一次不等式相当于求x取何值时,函数值大于0或小于0;从“形”看,解一元一次不等式相当于确定图象在x轴上方部分或下方部分对应的自变量x的取值范围。 （3）.根据两条直线的交点求不等式的解集 运用一次函数与不等式的联系,确定不等式的解集问题时,要注意结合图象,确定交点的坐标,尤其是交点两侧直线的位置关系,不要弄错。两直线交点的横纵坐标即是方程组的解。 （4）.图像法解二元一次方程组 两直线交点的横纵坐标即是方程组的解。 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【题型2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【题型3：利用图象法解一元一次方程】 【题型4：由直线与坐标轴的交点求不等式解集】 【题型5：根据两直线的交点求不等式的解集】 【题型6：两直线的交点与二元一次方程组的解】 【题型7：图象法解二元一次方程组】 【题型8：求直线围成的图形面积】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】．若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．直线与x轴的交点坐标是，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】．如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【题型2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】直线与轴的交点坐标为 ． 【变式2-1】．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【变式2-3】．如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【变式2-4】．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 【题型3：利用图象法解一元一次方程】 【例3】．直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【变式3-4】．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【题型4：由直线与坐标轴的交点求不等式解集】 【例4】．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式4-1】．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A． B． C． D． 【变式4-3】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【变式4-4】．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【题型5：根据两直线的交点求不等式的解集】 【例5】．如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 【变式5-1】．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式5-2】．如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 【变式5-3】．如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 【变式5-4】．如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求，，的值； (2)直接写出不等式组的解集：_____________； 【题型6：两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 【变式6-1】．如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 【变式6-2】．如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 【变式6-3】．如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【变式6-4】．结合画函数图象的学习经历，小华同学对二元一次方程的解与坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格1，使上下每对的值都是方程的解． 表格1：方程 ．．． -2 -1 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 表格2：方程 (2)将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解的对应点是，请在所给的坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，请将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是___________，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“___________”，画二元一次方程的图象只需取两个点． (3)根据前两问的学习经验，请在上面所给的表格2和坐标系中画出二元一次方程的图象； (4)小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组的解，请直接写出这个解为___________． 【题型7：图象法解二元一次方程组】 【例7】．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【变式7-1】．已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【变式7-2】．在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【变式7-3】．利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 【变式7-4】．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【题型8：求直线围成的图形面积】 【例8】．在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【变式8-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 【变式8-2】．如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【变式8-3】．已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【变式8-4】．直线与直线的图像交于点， (1)求这两条直线的函数关系式； (2)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.2.3一次函数与方程不等式八大题型（解析版） 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1.一次函数与一元一次方程的关系 1.数值角度：当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 2.图象角度：直线y=kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； 注意： 利用一次函数的图象解一元一次方程时,画图要准璃,这样才可以通过观察图象得出方程的解。 3 .利用图象解一元一次方程的步骤 ①转化:将一元一次方程化为一次函数: ②画图;画出一次函数的图象: ③找点：找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解。 学法指导： 一次函数与一元一次方程的关系要结合图形来理解运用.解一元一次方程可以借助函数图象,求函数图象上某点的横坐标可以借助解一元一次方程。, 知识点2.一次函数与一元一次不等式的关系 1.一元一次不等式kx+b>0或kx+b＜0(k≠0)可看成一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0成小于0时的情形。解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0时,求相应自变量的取值范围。 2 .利用图像解一元一次不等式 (1)①kx+b>0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为正数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的上方; ②kx+b＜0的解集是当一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为负数时,自变量x的取值范围,对应的函数图象在x轴的下方； (2)①k1x+b1>k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)上方(y1>y2)的部分对应的x的取值范围; ②k1x+b1＜k2x+b2(k1k2≠0)的解集,是直线y1=k1x+b1(k1≠0)位于直线y2=k2x+b2(k2≠0)下方(y1＜y2)的部分对应的x的取值范围; 注意： 一次函数与二元一次不等式的关系要结合图形来理解运用.一次函数与一元一次不等式的关系也是互逆的,可利用一次函数图象解一元一次不等式,也可通过解一元一次不等式确定相应的函数值所对应的自变量的取值范围。 知识点3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 每个二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)都对应一个一次函数）,直线上毎个点的坐标都是方程ax+by=c的解。 2.一次函数与二元一次方程组的关系二元一次方程组 (a1,b1,a2,b2都不为0，且a1,b1,a2,b2,c1,c2都是常数) 的解是一次函数y＝x+y和y＝x+y图像的交点坐标。 注意：每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线,因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数,也就是对应两条直线。 3.用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法 (1)转化:将二元一次方程组转化为两个一次函数； (2)画图:画出这两个一次函数的图象; (3)找点:找出这两个一次函数的图象的交点,即为二元一次方程组的解。 4.两直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系 (1)如果两条直线只有一个交点,那么对应的二元一次方程组只有个解; (2)如果两条直线无交点,那么对应的二元一次方程组无解,就是两条直线平行的情况。 (3)如果两条直线是同一条直线,那么对应的二元一次方程组的解有无数个。 学法指导：数形结合思想的运用，从“数”的角度看,解方程组相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值。从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 知识点4.（1）已知直线与坐标轴交点求方程的解 当一次函数y=kx＋b(k≠0)的函数值y=0时,对应的自变量x的值是一元一次方程kx＋b=0(≠0)的解； （2）由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 从“数”看,解一元一次不等式相当于求x取何值时,函数值大于0或小于0;从“形”看,解一元一次不等式相当于确定图象在x轴上方部分或下方部分对应的自变量x的取值范围。 （3）.根据两条直线的交点求不等式的解集 运用一次函数与不等式的联系,确定不等式的解集问题时,要注意结合图象,确定交点的坐标,尤其是交点两侧直线的位置关系,不要弄错。两直线交点的横纵坐标即是方程组的解。 （4）.图像法解二元一次方程组 两直线交点的横纵坐标即是方程组的解。 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【题型2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【题型3：利用图象法解一元一次方程】 【题型4：由直线与坐标轴的交点求不等式解集】 【题型5：根据两直线的交点求不等式的解集】 【题型6：两直线的交点与二元一次方程组的解】 【题型7：图象法解二元一次方程组】 【题型8：求直线围成的图形面积】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】．若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 【变式1-1】．直线与x轴的交点坐标是，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值． 方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是， ∴关于x的方程的解是． 故选：A． 【变式1-2】．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 【变式1-3】．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 【变式1-4】．如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一元一次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，直线过点， ∴方程的解为； 故答案为： 【题型2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与轴交点坐标的求法，求直线与轴的交点坐标，令，然后解关于的方程，得到的值和组成的坐标就是直线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式2-1】．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键． 【变式2-3】．如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)A点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）令纵坐标为0求解即可； （2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为； （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或． 【变式2-4】．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在求出直线的解析式． （1）设直线的解析式为，把点A、C坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接，此时最小，根据点关于轴的对称点P，得出点P的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，然后令，得出，解出方程，即可得出点D的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把点，点代入，得 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接， ∴， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴点关于轴的对称点P的坐标为， 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴点D的坐标． 【题型3：利用图象法解一元一次方程】 【例3】．直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 【变式3-1】．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是． 故选：B． 【变式3-2】．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数图象求对应方程的解，理解一次函数中点的关系与方程的解的关系是解题的关键． 根据一次函数经过的点判定方程的解即可求解． 【详解】解：直线经过点，即当时，， ∴方程的解为， 故选：A ． 【变式3-3】．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 【变式3-4】．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 【题型4：由直线与坐标轴的交点求不等式解集】 【例4】．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C． 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-1】．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 【变式4-2】．如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量x大于0．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而增大， ∴不等式的解集是． 故选：A． 【变式4-3】．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图像法是解题关键．关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2，结合函数图像，求出此时的取值范围即可得． 【详解】解：关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2， 由函数图像可知，当一次函数的函数值小于2时，， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【变式4-4】．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【题型5：根据两直线的交点求不等式的解集】 【例5】．如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为，从交点向左函数的图象在的图象下方，进而得出取值范围． 【详解】解：观察图象可知， 当时，． 故答案为：． 【变式5-1】．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 【变式5-2】．如图，直线：与轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)列表并画出一次函数的图象； (3)如果，写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将两个一次函数解析式联立得到方程组，解方程组即可得到点的坐标； （2）列出表格，根据描点法即可画出图象； （3）根据图象，找出落在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线：与一次函数的图象交于点， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：画表如下： 描点画图如下： （3）解：直线与一次函数的图象交于点， 由题意和（2）中图可知，如果，那么的取值范围是． 【变式5-3】．如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． 【变式5-4】．如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求，，的值； (2)直接写出不等式组的解集：_____________； 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查一次函数的图像和性质，以及两直线相交问题，解决此类题目的关键是灵活运用待定系数法求函数的解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由图可得时，在点的右侧，而当时，，由此可得出不等式组的解集． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 分别把点和点代入， 得， 解得， 即，，的值分别为，，； （2）解：若，即， 由图可知时在点的右侧，包括点， ，则， 而当时，， 不等式组的解集为：． 【题型6：两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键． 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为： ． 【变式6-1】．如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得，即可求解． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， ∴， 当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得， 解得， ∴， ∴方程的，解为， 故答案为：． 【变式6-2】．如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图像的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式6-3】．如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为 . 【答案】 【分析】根据方程组的解与函数交点坐标的关系求解．本题考查了一次函数与方程组的关系，正确理解这种关系是解题的关键． 【详解】解：依题意，方程组的解即为这两个一次函数图象的交点坐标， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【变式6-4】．结合画函数图象的学习经历，小华同学对二元一次方程的解与坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格1，使上下每对的值都是方程的解． 表格1：方程 ．．． -2 -1 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 表格2：方程 (2)将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解的对应点是，请在所给的坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，请将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是___________，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“___________”，画二元一次方程的图象只需取两个点． (3)根据前两问的学习经验，请在上面所给的表格2和坐标系中画出二元一次方程的图象； (4)小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组的解，请直接写出这个解为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，一条直线；两点确定一条直线 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程的解与坐标的联系是解题的关键． （1）根据列表即可． （2）描点、连线即可；再根据图像和两点确定一条直线即可求解． （3）先列表，再描点，后连线，画出二元一次方程的图象即可； （4）根据图象即可求得方程组的解． 【详解】（1）解：列表如下： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 1 0 ．．． （2）解：连线并画图，如下图 观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是一条直线，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“两点确定一条直线”，画二元一次方程的图象只需取两个点． （3）解：列表并描点： … 0 1 … … 2 4 … 连线并画图，如图， （4）解：由图象可知，二元一次方程组的解为． 【题型7：图象法解二元一次方程组】 【例7】．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 【变式7-1】．已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 【变式7-2】．在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图形即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 5 4 3 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为． （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 【变式7-3】．利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：如图， 两个一次函数y与的交点坐标为； 因此方程组的解． 【变式7-4】．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 【题型8：求直线围成的图形面积】 【例8】．在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，求三角形的面积，掌握求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，求出x的值得到点A的坐标；当求出y的值得到点B的坐标； （2）在平面直角坐标系中描出点和点的坐标，过两点作直线即可； （3）根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：． 【变式8-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或；或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式； （2）由直线可得，由直线：得，即可得的面积； （3）设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可； 设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， ， 设直线的表达式，把和代入得： ， 解得：，， 的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ， 直线：与轴相交于点， ， 点， ， ； （3）解：点在轴正半轴时，过点作轴于，如图， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，，， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 设点的坐标为， 点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 【变式8-2】．如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【答案】(1)216 (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形与四边形的面积． （1）根据直线的解析式求出A点坐标，将两直线的解析式联立求出B点坐标，根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）设点C的坐标为，则，那么，根据四边形的面积为120列出方程，解方程即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：， ∴时，， ∴， 由，解得， ∴， ∴的面积； （2）解：如图，设点C的坐标为，则， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 【变式8-3】．已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的交点的问题，与坐标轴围成的三角形面积问题： （1）联立函数解析式，解方程组即可求解交点坐标； （2）分别求出两直线与轴交点坐标，即可确定三角形的底，再用面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴交点坐标； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点； 对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点， ∴两条直线与x轴所围成的三角形的面积为． 【变式8-4】．直线与直线的图像交于点， (1)求这两条直线的函数关系式； (2)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两个一次函数的交点与对应二元一次方程组的解的关系，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入直线与直线中，求出、的值，即可得解； （2）根据直线的解析式画出大致图象，联立两直线，求出交点坐标，再求出直线与轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线的图像交于点， 将点代入直线与直线中，得： ，， 解得：，， 这两条直线的函数关系式为，； （2）解：如图所示，设直线与轴的交点为，两直线交点为， 联立两直线， 解得：， 交点， 在直线中，令，得， ， 这两条直线与轴围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$