8.4 一元一次不等式组 学案 2024-2025学年青岛版八年级数学下册

一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数x的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)不等式的个数必须不小于2. 一元一次不等式组的解集 一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的__公共部分__叫做这个一元一次不等式组的解集． 公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解集的四种情况 不等式组 (a<b) 解集 x>b x<a a<x<b 无解 图示 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 无处找 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用__数轴__求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的定义 典例1 　[2024·郑州期中]下列各项中，是一元一次不等式组的是( D ) A. B. C. D. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断． 变式 下列不等式组： ① ② ③ ④ ⑤ 其中一元一次不等式组的个数是( B ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解不等式组 典例2 [2024·雅安]不等式组的解集在数轴上表示为( C ) A. B. C. D. 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找，确定不等式组的解集． 变式1 [2024·北京]解不等式组： 解： 解不等式①，得x<7， 解不等式②，得x>－1， ∴不等式组的解集为－1<x<7. 变式2 解不等式：－3≤＜5. 解：方法一：原不等式可化为： 解①，得x≥－4， 解②，得x＜8. 则不等式的解集为－4≤x＜8. 方法二：将不等式的左边、中间和右边分别乘3，得 －9≤2x－1＜15， 将不等式的左边、中间和右边分别加1，得 －8≤2x＜16， 将不等式的左边、中间和右边分别除以2，得 －4≤x＜8. 1．[2024·临沂期末]如果点P(m，1－2m)在第二象限，那么m的取值范围是( C ) A．0<m< B．－<m<0 C．m<0 D．m< 2．[2024·菏泽期中]不等式组的解集是__x>3__． 3．下列不等式组： ① ② ③ ④ ⑤其中是一元一次不等式组的有__2__个． 4．[2024·威海期末]解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来． 解： 由①，得x≤1， 由②，得x>－2， ∴原不等式组的解集为－2<x≤1. 把解集表示在数轴上如图： 第4题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次不等式组的特殊解及求字母的取值范围 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用__数轴__求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集； 3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间； 4．判断两端能不能取等号． 列一元一次不等式组解应用题的步骤 (1)分析问题中的__未知量与已知量___(题意)，设__未知量__； (2)找出问题中的__已知量与未知量之间的不等__关系； (3)根据__已知量与未知量之间的不等__关系列出一元一次不等式组； (4)解不等式组并__检验是否符合题意__． 一元一次不等式组的特殊解 典例1 [2024·济南]解不等式组： 并写出它的所有整数解． 分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 解：解不等式①，得x>－1， 解不等式②，得x<4， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 典例1图 ∴原不等式组的解集是－1<x<4， ∴整数解为0，1，2，3. 变式 [2024·济南二模]不等式组 的所有整数解的和是( C ) A．9 B．7 C．5 D．3 不等式组中的参数问题 典例2 [2024·曲靖模拟]若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( A ) A．a≥3 B．a≤3 C．a>3 D．a<3 先解每个不等式，再根据无解确定a的范围． 变式1 [2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是( B ) A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2 变式2 [2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是__4__． 不等式组的应用 典例3 [2024·临沂期末]“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵40元，买2组水彩画和3组创意字共用380元． (1)求每组水彩画、创意字的价格分别是多少； (2)若学校需购进水彩画、创意字共12组，总费用不超过900元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ (1)设每组水彩画的价格是x元，每组创意字的价格是y元，列二元一次方程组，解方程组即可； (2)列不等式组可求出购买方案种类，对比每种方案的费用即可求出最低费用． 解：(1)设每组水彩画的价格是x元，每组创意字的价格是y元， 依题意，得 解得 答：每组水彩画的价格是100元，每组创意字的价格是60元； (2)设需购进水彩画m组，则需购进创意字(12－m)组， 由题意，得 解得2<m≤4.5， 又∵m为正整数， ∴m可以取3，4， ∴共有2种购买方案， 方案1：购进3组水彩画，9组创意字，费用为3×100＋9×60＝840(元)； 方案2：购进4组水彩画，8组创意字，费用为4×100＋8×60＝880(元)． ∵840<880， ∴最低费用为840元． 变式 [2024·淄博期中]某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/(万元/台) 8 6 月处理污水量/(吨/月) 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1 490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 解：(1)设购买A型设备x台，B型设备(8－x)台， 由题意，得 解得≤x≤， ∵0<x<8，且x为正整数， ∴x可取3和4， 答：企业有2种购买方案：购买A型设备3台，B型设备5台或购买A型设备4台， B型设备4台； (2)当x＝3时，8×3＋6×(8－3)＝54(万元)， 当x＝4时，8×4＋6×(8－4)＝56(万元)， ∵54<56， ∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱． 1．[2024·泸州一模]已知不等式组的解集是－2<x<0，则(m＋n)2 024＝( B ) A．2 024 B．1 C．0 D．－1 2．[2024·青岛期中]如果不等式组的解集是x<n，那么n的取值范围是( A ) A．n≤5 B．n<5 C．n>5 D．n≥－5 3．[2024·南昌期末]若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为( B ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( B ) A．4 B．7 C．9 D．12 5．[2024·牡丹江一模]为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元． 解答下列问题： (1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？ (2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6 000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案． 解：(1)设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元． 根据题意，得 解得 答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元； (2)设甲种足球买m个，则乙种足球买(80－m)个． 解得20≤m≤22. ∵m为整数，∴m＝20，21，22. ∴学校共有三种方购买案； (3)根据(2)，得到三种方案具体如下： 第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个； 第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个； 第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个； 由每队甲种足球至少3个，且每队分得两种足球数量分别相等，得这8个足球的购买方案如下： 第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个； 第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个； 第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数x的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)不等式的个数必须不小于2. 一元一次不等式组的解集 一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的__ __叫做这个一元一次不等式组的解集． 公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解集的四种情况 不等式组 (a<b) 解集 x>b x<a a<x<b 无解 图示 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 无处找 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用__ __求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的定义 典例1 　[2024·郑州期中]下列各项中，是一元一次不等式组的是( ) A. B. C. D. 变式 下列不等式组： ① ② ③ ④ ⑤ 其中一元一次不等式组的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解不等式组 典例2 [2024·雅安]不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 变式1 [2024·北京]解不等式组： 变式2 解不等式：－3≤＜5. 1．[2024·临沂期末]如果点P(m，1－2m)在第二象限，那么m的取值范围是( ) A．0<m< B．－<m<0 C．m<0 D．m< 2．[2024·菏泽期中]不等式组的解集是__ __． 3．下列不等式组： ① ② ③ ④ ⑤其中是一元一次不等式组的有__ __个． 4．[2024·威海期末]解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次不等式组的特殊解及求字母的取值范围 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用__ __求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集； 3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间； 4．判断两端能不能取等号． 列一元一次不等式组解应用题的步骤 (1)分析问题中的__ ___(题意)，设__ __； (2)找出问题中的__ __关系； (3)根据__ __关系列出一元一次不等式组； (4)解不等式组并__ __． 一元一次不等式组的特殊解 典例1 [2024·济南]解不等式组： 并写出它的所有整数解． 变式 [2024·济南二模]不等式组 的所有整数解的和是( ) A．9 B．7 C．5 D．3 不等式组中的参数问题 典例2 [2024·曲靖模拟]若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A．a≥3 B．a≤3 C．a>3 D．a<3 变式1 [2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是( ) A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2 变式2 [2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是__ __． 不等式组的应用 典例3 [2024·临沂期末]“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵40元，买2组水彩画和3组创意字共用380元． (1)求每组水彩画、创意字的价格分别是多少； (2)若学校需购进水彩画、创意字共12组，总费用不超过900元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 变式 [2024·淄博期中]某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/(万元/台) 8 6 月处理污水量/(吨/月) 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1 490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 1．[2024·泸州一模]已知不等式组的解集是－2<x<0，则(m＋n)2 024＝( ) A．2 024 B．1 C．0 D．－1 2．[2024·青岛期中]如果不等式组的解集是x<n，那么n的取值范围是( ) A．n≤5 B．n<5 C．n>5 D．n≥－5 3．[2024·南昌期末]若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( ) A．4 B．7 C．9 D．12 5．[2024·牡丹江一模]为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元． 解答下列问题： (1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？ (2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6 000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$