8.1 不等式的基本性质 学案 2024-2025学年青岛版八年级数学下册

作差法比较两个实数的大小 通常我们可以用__作差法__的方法比较两个实数的大小． 即对于任意实数a，b， 如果a－b是正数，那么a__＞__b； 如果a－b等于零，那么a__＝__b； 如果a－b是负数，那么a__＜__b. 不等式 (1)定义：用__“＞”或“＜”__表示__不等__关系的式子，叫做不等式． (2)常用的不等符号及对应的实际意义 符号 实际意义 读法 ＜ 小于、低于、少于、不足 小于 ＞ 大于、超过、多于、高于 大于 ≤ 不大于、不超过、至多、不高于 小于或等于 ≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于 ≠ 不相等 不等于 不等式的基本性质 1．不等式的两边同时__加上(或减去)__同一个整式，不等号的方向__不变__． 即如果a>b，那么a＋c__＞__b＋c，a－c__＞__b－c. 2．不等式的两边都乘(或除以)同一个__正__数，不等号的方向__不变__． 即如果a>b，c>0，那么ac__＞__bc，__＞__. 3．不等式的两边都乘(或除以)同一个__负__数，不等号的方向__改变__． 即如果a>b，c<0，那么ac__＜__bc，__＜__. 用作差法比较实数的大小 典例1 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若A－B＞0，则A＞B，若A－B＝0，则A＝B，若A－B＜0，则A＜B.这种比较大小的方法称作“作差法”，请运用这种方法尝试解决下列问题： (1)比较3a2－2b＋1与5＋3a2－2b＋b2的大小； (2)比较a＋b与a－b的大小； (1)，(2)根据题意列出整式相减的式子，再去括号，合并同类项即可求解． 解：(1)∵(3a2－2b＋1)－(5＋3a2－2b＋b2) ＝3a2－2b＋1－5－3a2＋2b－b2 ＝－4－b2， ∵b2≥0， ∴－b2≤0， ∴－4－b2＜0， ∴3a2－2b＋1＜5＋3a2－2b＋b2； (2)∵(a＋b)－(a－b) ＝a＋b－a＋b＝2b， ∴当b＞0时，a＋b＞a－b； 当b＝0时，a＋b＝a－b； 当b＜0时，a＋b＜a－b. 变式 [2023·茂名期中]比较大小： (1)①如果a－b<0，那么a____b； ②如果a－b＝0，那么a____b； ③如果a－b>0，那么a____b； (2)用(1)的方法你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程． 解：(1)①<　②＝　③>； (2)能，比较过程如下： (3x2－3x＋7)－(4x2－3x＋7) ＝3x2－3x＋7－4x2＋3x－7＝－x2≤0， 所以3x2－3x＋7≤4x2－3x＋7. 不等式的定义 典例2 下列数学表达式：①－2<0　②2y－5>1　③m＝1　④x2－x　⑤x≠－2 ⑥x＋1<2x－1.其中是不等式的有( C ) A．2个　　 B．3个　　 C．4个　　 D．5个 根据不等式的定义逐个判断即可． 变式 下列式子：①3＞0　②4x＋5＞0 ③x＜3　④x2＋x　⑤x＝－4　⑥x＋2＞x＋1.其中不等式有( B ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 不等式的基本性质(不含字母) 角度一：利用不等式的基本性质将不等式变形 典例3 [2024·广州]若a<b，则( D ) A．a＋3>b＋3 B．a－2>b－2 C．－a<－b D．2a<2b 根据不等式性质逐项判断，即可解题． 变式 试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式(a为常数)． (1)x＞－x－2； (2)x≤(6－x)． 解：(1)利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上x，得x＋x＞－x＋x－2， 即x＞－2； (2)根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得x×2≤(6－x)×2， 即x≤6－x，① 再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得 2x≤6，② 最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3. 角度二：根据不等式确定未知量的取值范围 典例4 [2024·深圳期末]若不等式(m－3)y－1>0(m为常数，且m≠3)可变形为y<，则m的取值范围是__m<3__． 本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 变式 已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜.试化简：|m－1|－|2－m|. 解：因为(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜， 所以m－1＜0，m＜1， 所以2－m＞0， 所以|m－1|－|2－m|＝(1－m)－(2－m)＝ 1－m－2＋m＝－1. 1．[2024·济南期中]下列各式：①x＋3≠0 ②－3<0　③3m＝5　④a2＋2ab＋b2 ⑤3a＋2b<0.其中属于不等式的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2024·周口期末]已知x<y，则下列不等式不成立的是( D ) A．x＋3<y＋3 B．3x<3y C．－3x>－3y D．－x－1<－y－1 3．[2024·和平期末]有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是( B ) 第3题图 A．－5a<－3a B．a＋c<b＋c C．ac2>bc2 D．b－c<b 4．[2023·松原期中]用不等式表示：x的2倍与y的的和不大于5，正确的是( D ) A．2x＋y>5 B．2x＋y≥5 C．2≤5 D．2x＋y≤5 5．[2023·无锡三模]已知关于x的不等式(a＋2)x<1可化为x>的形式，则a的取值范围为__a<－2__． 6．比较两个实数的大小，则__＜__1.(填“＜”“＝”或“＞”) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作差法比较两个实数的大小 通常我们可以用__ __的方法比较两个实数的大小． 即对于任意实数a，b， 如果a－b是正数，那么a__ __b； 如果a－b等于零，那么a__ __b； 如果a－b是负数，那么a__ __b. 不等式 (1)定义：用__ __表示__ __关系的式子，叫做不等式． (2)常用的不等符号及对应的实际意义 符号 实际意义 读法 ＜ 小于、低于、少于、不足 小于 ＞ 大于、超过、多于、高于 大于 ≤ 不大于、不超过、至多、不高于 小于或等于 ≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于 ≠ 不相等 不等于 不等式的基本性质 1．不等式的两边同时__ __同一个整式，不等号的方向__ __． 即如果a>b，那么a＋c__ __b＋c，a－c__ __b－c. 2．不等式的两边都乘(或除以)同一个__ __数，不等号的方向__ __． 即如果a>b，c>0，那么ac__ __bc，__ __. 3．不等式的两边都乘(或除以)同一个__ __数，不等号的方向__ __． 即如果a>b，c<0，那么ac__ __bc，__ __. 用作差法比较实数的大小 典例1 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若A－B＞0，则A＞B，若A－B＝0，则A＝B，若A－B＜0，则A＜B.这种比较大小的方法称作“作差法”，请运用这种方法尝试解决下列问题： (1)比较3a2－2b＋1与5＋3a2－2b＋b2的大小； (2)比较a＋b与a－b的大小； 变式 [2023·茂名期中]比较大小： (1)①如果a－b<0，那么a____b； ②如果a－b＝0，那么a____b； ③如果a－b>0，那么a____b； (2)用(1)的方法你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程． 不等式的定义 典例2 下列数学表达式：①－2<0　②2y－5>1　③m＝1　④x2－x　⑤x≠－2 ⑥x＋1<2x－1.其中是不等式的有( ) A．2个　　 B．3个　　 C．4个　　 D．5个 变式 下列式子：①3＞0　②4x＋5＞0 ③x＜3　④x2＋x　⑤x＝－4　⑥x＋2＞x＋1.其中不等式有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 不等式的基本性质(不含字母) 角度一：利用不等式的基本性质将不等式变形 典例3 [2024·广州]若a<b，则( ) A．a＋3>b＋3 B．a－2>b－2 C．－a<－b D．2a<2b 变式 试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式(a为常数)． (1)x＞－x－2； (2)x≤(6－x)． 角度二：根据不等式确定未知量的取值范围 典例4 [2024·深圳期末]若不等式(m－3)y－1>0(m为常数，且m≠3)可变形为y<，则m的取值范围是__ __． 变式 已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜.试化简：|m－1|－|2－m|. 1．[2024·济南期中]下列各式：①x＋3≠0 ②－3<0　③3m＝5　④a2＋2ab＋b2 ⑤3a＋2b<0.其中属于不等式的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2024·周口期末]已知x<y，则下列不等式不成立的是( ) A．x＋3<y＋3 B．3x<3y C．－3x>－3y D．－x－1<－y－1 3．[2024·和平期末]有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是( ) 第3题图 A．－5a<－3a B．a＋c<b＋c C．ac2>bc2 D．b－c<b 4．[2023·松原期中]用不等式表示：x的2倍与y的的和不大于5，正确的是( ) A．2x＋y>5 B．2x＋y≥5 C．2≤5 D．2x＋y≤5 5．[2023·无锡三模]已知关于x的不等式(a＋2)x<1可化为x>的形式，则a的取值范围为__ __． 6．比较两个实数的大小，则__ __1.(填“＜”“＝”或“＞”) 学科网（北京）股份有限公司 $$