精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

集宁二中2024-2025学年下学期高二年级月考检测卷 数学 注意：本试卷包含两卷，第一卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第二卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置，答案写在试卷上均无效，不予记分. 第一卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数存在单调递减区间，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知在处的极大值为5，则（    ） A B. 6 C. 或6 D. 或2 6. 已知函数，则关于不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若过点可以作三条直线与曲线：相切，则取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极值点 B. 3是函数的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 1是函数的极小值点 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象在处的切线斜率大于0 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D. 若有两个零点，则 11. 关于函数，，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，恒成立 C. 当时，在上单调递增 D. 当恒成立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为______． 13. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 14. 若直线与曲线相切，则的最大值为______． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，a为实数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上是减函数，求a的取值范围. 16. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在上值域； （2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若函数存在两个极值，求的取值范围；并证明：函数存在唯一零点. （2）若存在实数，，使，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集宁二中2024-2025学年下学期高二年级月考检测卷 数学 注意：本试卷包含两卷，第一卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第二卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置，答案写在试卷上均无效，不予记分. 第一卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出 【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得 ，解得， 所以， 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，则. 故选：D 3. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为， 当时，，解得， 所以. 故选：D. 4. 已知函数存在单调递减区间，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数存在单调递减区间可转化为当时，有解，等价于在上有解；令，利用导数求得的最小值，从而可得的取值范围. 【详解】由题意得： 函数存在单调递减区间 当时，有解，即当时，有解 等价于在上有解 令，则 当时，，当时， 则在上单调递减，在上单调递增 ； 本题正确选项： 【点睛】本题考查能成立问题求解，关键是能够将函数存在单调递减区间转化为有解的问题，进而通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系问题，属于常考题型. 5. 已知在处的极大值为5，则（    ） A. B. 6 C. 或6 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 6. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，以及求导判断函数的单调性，即可求解相应不等式. 【详解】， ，为奇函数， 则， ，， ，为减函数， 又， 则， ， 或. 故选：C 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的奇偶性和在上的单调性，即可唯一确定正确选项. 【详解】设，则的定义域是，同时，故是奇函数，排除B选项； 当时，，，所以当时，；当时，. 故在上递增，在上递减，能够体现在上先递增后递减的图象只有D选项. 故选：D. 8. 若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切点处的切线方程，根据经过，得到关于的函数关系，然后利用导数研究单调性，结合最值和极限，可以得到的取值范围. 【详解】设一个切点为， 则由，可得该点处的切线方程， 当经过点时，有，即， 则过点切线的条数即为方程的解的个数. 设，则， 当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 又由，，可得时，有三个解， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极值点 B. 3是函数的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 1是函数的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数极小值点.故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象在处的切线斜率大于0 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可. 【详解】由题得，则，故A错误； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减， 所以的极大值即最大值为，故B正确，C错误； 令，则， 由知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 所以若有两个零点，则，即，故错误. 故选：ACD 11. 关于函数，，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，恒成立 C. 当时，在上单调递增 D. 当恒成立，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性可判断AC选项；当时，解不等式可判断B选项；由恒成立求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，解得， 故当时，函数的增区间为，A错； 对于B选项，当时，由可得，解得，B错； 对于C选项，当时，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，C对； 对于D选项，当时，函数在上增函数，， 此时不等式不恒成立； 当时，恒成立； 当时，由可得， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，可得，解得. 综上所述，当恒成立，，D正确. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒成立方法： （1）分离参数法：若不等式在区间上恒成立，可将参数与变量分离， 转化或在区间上恒成立问题； （2）最值法； （3）数形结合法：将函数恒成立问题转化为两个函数图像的位置关系问题； （4）变更主元法：当函数中含有多个变量时，可根据具体情况选择一个变量作为主元，将问题转化为关于主元的函数恒成立问题； （5）构造函数法.：通过构造新函数，利用新函数的性质来解决原函数的恒成立问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数判断单调性，进而判断极小值点. 【详解】函数的定义域为R， 令得， ， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 综上所述，在处取得极小值，即的极小值点为2． 故答案为：2. 13. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】即导函数在在区间内有零点. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调， 即在区间有零点， 又，即为的零点在区间内， 所以解得，即m的取值范围是． 故答案为： 14. 若直线与曲线相切，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义可得，结合切点在切线与曲线上，得到，令，构造函数，然后求函数最值即可得答案. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，故切线的斜率为：， ，则．又由于切点在切线与曲线上， 所以，所以 令，则，设， ，令得：， 所以当时，，是增函数；当时，，是减函数． 所以．所以的最大值为1, 故答案为：1. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，a为实数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上是减函数，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性； （2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围. 【详解】（1）， 当，即时，，在R上单调递增， 当，即时，由得或，由得. 分别在与上单调递增，在单调递减， 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，分别在与单调递增，在单调递减. （2）由已知得在区间上恒成立， 在区间上恒成立， 当时，；当时，. 而在上单调递增，时，，则. 综上. 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题. 16. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调性； （2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值． 【小问1详解】 的定义域是， ， 时，恒成立，在上是减函数； 时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数． 【小问2详解】 由（1）当时，在上递减，； 时，即时，在上递减，； ，即时，在上是减函数，在上是增函数，． 综上，或时，，时，． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可得斜率，进而可求直线方程， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数即可求导求解最值求解. 【小问1详解】 由得，又， 所以在切线为 【小问2详解】 令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， 【小问3详解】 由得， 故， 构造函数则，令，则， 故当时，，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 18. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得函数在上的值域； （2）由，构造函数，利用导数，结合对进行分类讨论来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令，则， 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，又， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 函数在上仅有两个零点， 令，则问题等价于在上仅有两个零点， 易求，因为，所以. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上没有零点，不符合题意； ②当时，令，得， 所以在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因为在上有两个零点， 所以，所以. 因为， 令， 所以在上，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，所以， 所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在上仅有两个零点. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 19. 已知函数，. （1）若函数存在两个极值，求的取值范围；并证明：函数存在唯一零点. （2）若存在实数，，使，且，求的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析；(2) 【解析】 【分析】(1)求出的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即得的范围；令 ，求出，得到至多有一个零点，再验证，即可证明； (2)求出，以及，设，记，根据导数与单调性，最值的应用，即可求解. 【详解】由题意， 所以方程有两个不相等的正实数根，不妨设，则 ，解得：， 所以的取值范围为； 由题易知在处取得极大值，当处取得极小值，且有 ，故， 令，故， 令，解得， 由导数与函数的最值可知： 故，所以至多有一个零点， 又因， 所以函数存在唯一零点； 由题意知：， 即， 故， 设，记 则， 所以在定义域上单调递减，所以， 即， 故的取值范围.为. 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，导数的应用，考查了换元思想及转化思想，是一道综合题，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$