查漏知识 上海高考必记核心知识点归纳（干货必备）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

查漏知识 上海高考必记核心知识点归纳（干货必备） 必备知识01集合与逻辑 2 必备知识02不等式 4 必备知识03函数的概念与性质 6 必备知识04幂指对函数 7 必备知识05三角函数 10 必备知识06函数的应用 11 必备知识07平面向量及其应用 13 必备知识08复数 16 必备知识09空间向量与立体几何 17 必备知识10直线和圆 20 必备知识117 必备知识12数列 29 必备知识13导数 30 必备知识14 计数原理、排列组合、二项式定理 32 必备知识15 统计与概率 34 必备知识01集合与逻辑 知识点01集合的有关概念 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．区间法 一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 知识点02集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 知识点03集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 知识点04集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩()＝，A∪()＝U，； 知识点05常用结论 （1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）． （2）子集个数：若有限集A中有n个元素， 则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个． （3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B． （4）（5） 知识点06充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 知识点07充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． <知识记忆小口诀> 集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互异，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显． <解题方法与技巧> 充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 必备知识02不等式 知识点01等式与不等式的性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. 3.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 知识点02均值不等式及其应用 1.均值不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 知识点03从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 必备知识03函数的概念与性质 知识点01函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 知识点02函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 知识点03函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 知识点04分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 知识点05函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 知识点06函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点07函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 知识点08函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 必备知识04幂指对函数 知识点01 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 知识点02指数函数 1．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 2．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 知识点03对数函数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 3．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 4．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 必备知识05三角函数与解三角形 知识点01三角函数的运算 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 知识点02三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 知识点03正弦定理、余弦定理及综合应用 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 1.三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2.解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． 3.解三角形实际问题的步骤 必备知识06函数的应用 知识点01函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点02二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 知识点03三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 知识点04常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 1.判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 2.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 必备知识07平面向量及其应用 知识点01向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点02向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点03两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 知识点04平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点05平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 知识点06平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 知识点07向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 知识点08平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 知识点09向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点10平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 知识点11平面向量与解三角形的综合应用 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决． (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识． 1．五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． (4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)，＝(＋)． (5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．基底需要的关注三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 4．共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 必备知识08复数 知识点01复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)． 知识点02复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． 知识点03复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 2．复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N* 必备知识09空间向量与立体几何 知识点01空间几何体的侧面展开图 (1)圆柱的侧面展开图是矩形． (2)圆锥的侧面展开图是扇形． (3)圆台的侧面展开图是扇环． 知识点02旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (3)S球表＝4πR2(R为球的半径)． 知识点03空间几何体的体积公式 (1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)． (2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)． (3)V台＝(S上＋＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)． (4)V球＝πR3(R为球的半径)． 知识点04求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； (2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可． 知识点05判断空间直线、平面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断． 知识点06平行关系及垂直关系的转化 知识点07异面直线所成的角 设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ. 则(1)θ∈； (2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ ＝. 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 知识点08直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值． (2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心． 知识点09平面与平面所成的角 设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈；(2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 平面与平面夹角的取值范围是，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补． 知识点10空间距离 (1)点到直线的距离 直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设＝a，则点P到直线l的距离d＝. (2)点到平面的距离 平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝. (3)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法． (4)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离． 1.求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的． (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． 2.求解空间几何体的内切球问题的策略 空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径． 3.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 4.在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路 (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． 5.作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面． (2)利用相交直线找截面． 6.找交线的方法 (1)线面交点法：各棱线与截平面的交点． (2)面面交点法：各棱面与截平面的交线． 必备知识10直线和圆 知识点01直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点02直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 知识点03直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 知识点04直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 知识点05特殊的直线方程 已知点，则 类型 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 知识点06方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 知识点07直线的平行与垂直 斜截式 一般式 直线方程 平行 （注意可能重合） 垂直 知识点08利用平行与垂直解决问题 斜截式 一般式 直线方程 平行 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 垂直 若直线，则可设的方程为： 若直线，则可设的方程为： 知识点09两条直线的交点 对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下： 方程组解的个数 位置关系 一个解 相交 无解 平行 无数解 重合 知识点10三个距离公式 条件 距离公式 两点之间的距离公式 已知两点， 点到直线的距离公式 已知一点，以及直线 两平行线的距离公式 已知直线， 以及 知识点11对称 条件 方法 两点关于另外一点对称 ，两点关于对称 两点关于一直线对称 ，两点关于直线对称（斜率存在） 1.两点的中点在直线上； 2.两点所在直线与直线垂直 两直线关于另一直线对称（三直线不平行） 1.三条直线交于同一点； 2.到角公式 知识点12两点关于一直线特殊的对称 点的坐标 直线方程 对称点坐标 知识点13圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 知识点14圆的标准方程 圆的标准方程 圆心 半径 知识点15圆的一般方程 圆的一般方程 圆心 半径 知识点16二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程， ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2.二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 知识点17点与圆的位置关系 圆的标准方程为一般方程为.平面内一点到圆心的距离为. 位置关系 判断方法 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆上 点在圆外 点在圆内 知识点18与圆有关的最值问题 1.与圆的几何性质有关的最值问题 类型 方法 圆外一定点到圆上一动点距离的最值 最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离） 圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离） 过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦 2.与圆的代数结构有关的最值问题 类型 代数表达 方法 截距式 求形如的最值 转化为动直线斜率的最值问题 斜率式 求形如的最值 转化为动直线截距的最值问题 距离式 求形如的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在. 知识点19直线与圆的位置关系 位置关系 图示 几何法 代数法 相切 （为圆心到直线的距离） 相交 （为圆心到直线的距离） 相离 （为圆心到直线的距离） 知识点20相切→求切线方程 过定点作圆的切线，则切线方程为： 与圆的位置关系 切线条数 切线方程（方法） 在圆上 1条 在圆外 2条 【分两种情况讨论】： 1.斜率存在，设为点斜式，再通过或求出斜率即可； 2.斜率不存在. 【说明】：若情况1有一解，则情况2必有一解；若情况1有两解，则情况2必无解. 知识点21相交→求弦长 弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）. 知识点22圆与圆的位置关系 两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为： 位置关系 图示 几何法 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 知识点23两圆的公共弦 1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程. 2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出. 知识点24直线与圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 必备知识11圆锥曲线 知识点01椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 知识点02椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 知识点03双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 知识点04双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点05抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 知识点06抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 知识点07直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 知识点08弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 必备知识12数列 知识点01等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1， an＝am·qn－m. (3)等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式： Sn＝ 知识点02通项性质： 若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝a. 知识点03前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)． (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. 知识点04等差数列、等比数列的判断与证明 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 知识点05数列求和 （1）裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝； ＝. （2）错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列． 必备知识13导数 知识点01导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 知识点02导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点03基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点04导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点05复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点06函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 知识点07利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点08函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 必备知识14计数原理、排列组合、二项式定理 知识点01两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点02排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 知识点03排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 知识点04排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝1；C＝C；C＝C＋C 知识点05二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 知识点06二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值： ①当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小． ②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 必备知识15统计与概率 知识点01全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查(普查) 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中①抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 相关概念 总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体. 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本量:样本中包含的个体数称为样本量 知识点02简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中②逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都③相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内④未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 知识点03抽签法 先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个⑤不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数. 知识点04随机数法 (1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数. 知识点05总体均值和样本均值 (1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称 =⑥=⑦为总体均值,又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=⑧. (3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称 =⑨=⑩为样本均值,又称样本平均数. 知识点06分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行①简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本②合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. (2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层③样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 知识点07画频率分布直方图的步骤 (1)求极差:极差为一组数据中①最大值与②最小值的差; (2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成③5~12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”; (3)将数据分组; (4)列频率分布表:一般分四列:分组、④频数累计、频数、⑤频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1; (5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示⑦. 小长方形的面积=组距×⑧=⑨频率,各小长方形的面积的总和等于1. 知识点08其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展变化情况 知识点09第p百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有①p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 知识点10计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步,按②从小到大排列原始数据. 第2步,计算i=③n×p%. 第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的④平均数. 知识点11众数、中位数和平均数的定义 (1)众数:一组数据中①出现次数最多的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于②中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取③中间两个数据的平均数. (3)平均数:一组数据的④和除以数据个数所得到的数. 知识点12众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的⑤横坐标与小矩形的⑥面积的乘积之和近似代替. (2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该⑦相等. (3)众数:众数是⑧最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【特别提醒】 　　众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中信息很少的一部分,对极端值不敏感 知识点13一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差 数据x1,x2,…,xn的方差为①=②,标准差为③. 知识点14总体方差和总体标准差 (1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为,则称S2=④为总体方差,S=⑤为总体标准差. (2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=. 知识点15样本方差和样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=⑦为样本方差,s=⑧为样本标准差. 知识点16标准差的意义 标准差刻画了数据的⑨离散程度或⑩波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 【特别提醒】 　　对标准差和方差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差. 知识点17分层随机抽样的方差 设样本容量为n,平均数为,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为,,方差分别为,,则这个样本的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]. 知识点18基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点19古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 【特别提醒】 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝. 知识点20古典概型的概率公式 P(A)＝. 知识点21成对数据的统计相关性 变量的相关关系 (1)函数关系 函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示. (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关 系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系. 散点图 (1)散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (2)正相关和负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关； 如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关. 样本相关系数 (1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式： （其中，，，和，，，的均值分别为和）. ①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. ②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 知识点22一元线性回归模型及其应用 1.线性回归方程： （1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点． （3）相关系数：． 【方法归纳】 （1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关． （2）利用相关系数判定，当越趋近于1相关性越强．当残差平方和越小，相关指数越大，相关性越强． （3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． （4）正确运用计算的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线过样本点的中心进行求值． 2、回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是： （1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量； （2）画出散点图，观察它们之间的关系； （3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 知识点23列联表与独立性检验 1．列联表 设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 总计 2．独立性检验 利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出列联表； (2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0： (3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”． 要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 (1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生． (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 5．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误． (2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$