10.1 二元一次方程组的概念【9个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

10.1 二元一次方程组的概念【9个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 二元一次方程的概念】 1 【必考点1 判断二元一次方程的个数】 1 【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】 2 【知识点2 二元一次方程的解】 2 【必考点3 二元一次方程的解代入求值】 2 【必考点4 二元一次方程的整数解】 3 【知识点3 二元一次方程组的概念】 3 【必考点5 判断二元一次方程组的个数】 3 【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】 4 【知识点4 二元一次方程组的解】 4 【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】 5 【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】 5 【必考点9 二元一次方程组的整数解】 6 【知识点1 二元一次方程的概念】 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【必考点1 判断二元一次方程的个数】 【例1】方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】下列方程：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【变式2】下列方程中，二元一次方程的个数有（　　） ①；②；③x2﹣y2＝4；④；⑤2x2＝3；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列方程中，二元一次方程的个数为（　　） ①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2+y＝3；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】 【例1】已知方程（m+1）x+2y|m|＝0是关于x的二元一次方程，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1 【变式1】若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 【变式2】若kx|k﹣1|+（k+1）y＝k是关于x，y的二元一次方程，则k＝　 　 ． 【变式3】若是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值　 　 ． 【知识点2 二元一次方程的解】 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 【必考点3 二元一次方程的解代入求值】 【例1】已知是二元一次方程5x﹣4y＝6的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　） A．1 B．3 C．0 D．﹣8 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【变式3】已知是关于x，y的方程mx﹣ny＝5的一个解，则7﹣m+2n＝（　　） A．﹣12 B．﹣2 C．2 D．12 【必考点4 二元一次方程的整数解】 【例1】二元一次方程3x+2y＝12的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】二元一次方程3x+2y＝10的非负整数解的情况是（　　） A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解 【变式2】二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【知识点3 二元一次方程组的概念】 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 【必考点5 判断二元一次方程组的个数】 【例1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（　　） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式1】在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】 【例1】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　 ． 【变式1】若是关于x，y的二元一次方程组，则ab＝　 　 ． 【变式2】方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　 ． 【变式3】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　 ． 【知识点4 二元一次方程组的解】 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】 【例1】已知是方程组的解，则a和b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝2 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝3，b＝﹣2 【变式1】已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若关于x、y的方程组的解为，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（　　） A．●＝2，☆＝0 B．●＝2，☆＝3 C．●＝0，☆＝2 D．●＝2，☆＝2 【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】 【例1】方程组的解的情况是（　　） A．一组解 B．两组解 C．无数组解 D．无解 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6 【变式2】二元一次方程组的解的情况是（　　） A．无解 B．有无数组解 C．有两组解 D．只有一组解 【变式3】下列方程组中，有无数组解的是（　　） A． B． C． D． 【必考点9 二元一次方程组的整数解】 【例1】若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（　　） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 【变式1】方程组有正整数解，则整数k的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m2的值为（　　） A．4 B．49 C．4或49 D．1或49 【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 二元一次方程组的概念【9个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 二元一次方程的概念】 1 【必考点1 判断二元一次方程的个数】 2 【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】 3 【知识点2 二元一次方程的解】 4 【必考点3 二元一次方程的解代入求值】 4 【必考点4 二元一次方程的整数解】 5 【知识点3 二元一次方程组的概念】 7 【必考点5 判断二元一次方程组的个数】 8 【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】 9 【知识点4 二元一次方程组的解】 11 【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】 11 【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】 12 【必考点9 二元一次方程组的整数解】 14 【知识点1 二元一次方程的概念】 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【必考点1 判断二元一次方程的个数】 【例1】方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【解答】解：2x0是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y＝0是二元一次方程； 2x+xy＝1不是二元一次方程； 3x+y﹣2x＝0是二元一次方程； x2﹣x+1＝0不是二元一次方程． 故选：D． 【变式1】下列方程：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【分析】含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解． 【解答】解：方程是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤， 故选：A． 【变式2】下列方程中，二元一次方程的个数有（　　） ①；②；③x2﹣y2＝4；④；⑤2x2＝3；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程）进行分析判断． 【解答】解：①、②符合二元一次方程的定义； ②、⑥是分式方程，不是整式方程； ③x2﹣y2＝4属于二元二次方程； ⑤2x2＝3属于一元二次方程． 综上所述，二元一次方程的个数有2个． 故选：B． 【变式3】下列方程中，二元一次方程的个数为（　　） ①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2+y＝3；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】运用二元一次方程的定义进行辨别、求解． 【解答】解：∵2x＝3y，是二元一次方程； xy＝1，，x2+y＝3不是二元一次方程， ∴所有方程中，只有方程①和方程⑤共2个二元一次方程， 故选：B． 【必考点2 由二元一次方程的概念求字母的值】 【例1】已知方程（m+1）x+2y|m|＝0是关于x的二元一次方程，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1 【分析】根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【解答】解：由题意得：|m|＝1且m+1≠0， ∴m＝1， 故选：B． 【变式1】若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：根据题意得m+1＝1，2n﹣3＝1， 解得m＝0，n＝2， 故选：A． 【变式2】若kx|k﹣1|+（k+1）y＝k是关于x，y的二元一次方程，则k＝　 　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为0，求出k的取值范围． 【解答】解：由题意知：|k﹣1|＝1，k+1≠0，k≠0， 解得k＝2， 故答案为：2． 【变式3】若是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值　 　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出a+b的值即可． 【解答】解：由题意得，a﹣3≠0，b＝1，a2﹣8＝1， 解得a＝﹣3， ∴a+b＝﹣3+1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【知识点2 二元一次方程的解】 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 【必考点3 二元一次方程的解代入求值】 【例1】已知是二元一次方程5x﹣4y＝6的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】将方程的解代入方程，进行求解即可． 【解答】解：把解代入5x﹣4y＝6，得：5•（﹣2k）﹣4×1＝6， 解得：k＝﹣1； 故选：B． 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　） A．1 B．3 C．0 D．﹣8 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程进行求解即可． 【解答】解：把代入●x﹣2y＝4，得：2●﹣2×（﹣1）＝4， ∴●＝1； 故选：A． 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【分析】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可． 【解答】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 【变式3】已知是关于x，y的方程mx﹣ny＝5的一个解，则7﹣m+2n＝（　　） A．﹣12 B．﹣2 C．2 D．12 【分析】将代入原方程，得到m﹣2n＝5，即可求解． 【解答】解：根据题意，将代入原方程，得m﹣2n＝5， ∴7﹣m+2n＝7﹣（m﹣2n）＝7﹣5＝2， 故选：C． 【必考点4 二元一次方程的整数解】 【例1】二元一次方程3x+2y＝12的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先，将二元一次方程适当的变形，可以得到y；由所求的解都是非负整数，可知3x一定是2的倍数，进而确定x可能的取值；再将x可能的取值代入原方程求出对应y的值，继而得到原方程的非负整数解． 【解答】解：方程3x+2y＝12可变形为y， 因为x、y都是非负整数， 所以0≤x≤4． 因为x、y都是整数， 所以3x一定是2的倍数， 所以x的值只能是0，2，4，对应的y值依次为6，3，0． 即方程3x+2y＝12的非负数整数解为，，，共3对． 故选：C． 【变式1】二元一次方程3x+2y＝10的非负整数解的情况是（　　） A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解 【分析】求出x，y同时不为负数的情况，再结合非负整数解即可得出结果． 【解答】解：∵， 当x≥0时，， ∴y≤5， ∴当y＝5时，， 当y＝4时，（舍去）， 当y＝3时，（舍去）， 当y＝2时，， 当y＝1时，（舍去）， 当y＝0时，（舍去）， ∴二元一次方程3x+2y＝10的非负整数解为，或． 故选：C． 【变式2】二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由3x+y＝15，可得出x＝5，结合x，y均为正整数，即可求出二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 【解答】解：∵3x+y＝15， ∴x＝5． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 故选：B． 【变式3】如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程2ax+by＝13，可得4a+b＝13．因a，b是正整数，故可知a及b的值，从而求出a+b的最小值． 【解答】解：由题意得：4a+b＝13． 又∵a、b是正整数， ∴a＝1，b＝9或a＝2，b＝5或a＝3，b＝1． 当a＝1，b＝9时，a+b＝10． 当a＝2，b＝5时，a+b＝7． 当a＝3，b＝1时，a+b＝4． ∴a+b的最小值为4． 故选：B． 【知识点3 二元一次方程组的概念】 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 【必考点5 判断二元一次方程组的个数】 【例1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（　　） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解答】解：①是二元一次方程组； ②不是二元一次方程组； ③不是二元一次方程组； ④是二元一次方程组； 故选：D． 【变式1】在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解答】解：、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 【变式2】在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：有三个未知数，故不是二元一次方程组； 符合二元一次方程组的定义； 符合二元一次方程组的定义； xy的次数是二次，不是二元一次方程组； 中有分式不是二元一次方程组， 故选：A． 【变式3】方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：方程组，，，，中，是二元一次方程组的有，中，共2个， 故选：B． 【必考点6 由二元一次方程组的概念求字母的值】 【例1】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　 ． 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解答】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 则a＝0， 故答案为：0． 【变式1】若是关于x，y的二元一次方程组，则ab＝　 　 ． 【分析】根据二元一次方程组的定义得出a﹣1＝1，b＝0或a﹣1＝0，b＝0，求出a，b，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组， ∴①a﹣1＝1，b＝0， ∴a＝2， ∴ab＝2×0＝0； ②a﹣1＝0，b＝0， 即a＝1， ∴ab＝1×0＝0； 故答案为：0． 【变式2】方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　 ． 【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1，b＝5， 则原式＝（﹣1）5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式3】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　 ． 【分析】根据二元一次方程组的定义： （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1 解得 c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2 所以a+b+c＝﹣2． 或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1， 解得 c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2， 所以a+b+c＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 【知识点4 二元一次方程组的解】 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 【必考点7 二元一次方程组的解代入求值】 【例1】已知是方程组的解，则a和b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝2 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝3，b＝﹣2 【分析】将代入，得到关于a，b的二元一次方程组，进而求解即可． 【解答】解：把代入到， 得， 解得． 故选：A． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解是，那么m，n的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】把方程组的解代入方程组，即可求出m，n的值． 【解答】解：把代入方程组， 得， 解得． 故选：D． 【变式2】若关于x、y的方程组的解为，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝1代入方程组第二个方程求出y的值，再将x，y的值代入x+my＝0中，进而求出m的值即可． 【解答】解：∵关于x、y的方程组的解为， ∴把x＝1代入方程2x+3y＝8得：2+3y＝8， ∴y＝2， 把x＝1，y＝2代入方程x+my＝0得：1+2m＝0， ∴， 故选：A． 【变式3】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（　　） A．●＝2，☆＝0 B．●＝2，☆＝3 C．●＝0，☆＝2 D．●＝2，☆＝2 【分析】根据方程组的解满足方程组，将x＝2代入②时，求出y，再代入①式即可得到答案． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴3×2﹣☆＝6，解得：☆＝0， 将y＝0，x＝2代入①式得， ●＝0+2＝2， 故选：A． 【必考点8 判断二元一次方程组的解的情况】 【例1】方程组的解的情况是（　　） A．一组解 B．两组解 C．无数组解 D．无解 【分析】利用一次函数的性质通过判断两直线的位置关系得到方程组解得情况． 【解答】解：直线3x﹣4y＝5与直线6x﹣8y＝12平行， 所以原方程组无解， 故选：D． 【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6 【分析】运用加减消元法分别求解x，y的值，再根据方程组无解即可求解参数的值． 【解答】解：， ①+②×3得，， 把x的值代入②得，， ∵原二元一次方程组无解， ∴a+6＝0， ∴a＝﹣6， 故选：D． 【变式2】二元一次方程组的解的情况是（　　） A．无解 B．有无数组解 C．有两组解 D．只有一组解 【分析】利用解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，根据所求答案，进行解答即可． 【解答】解：， ②﹣①得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴二元一次方程组只有一组解， 故选：D． 【变式3】下列方程组中，有无数组解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】两个方程化简后是同一个方程可满足条件． 【解答】解：对于C答案的第二个方程，两边同除以2得x﹣4y﹣7＝0， 与第一个方程相同，故有无数组解， A、B、D选项的两个方程都不相同，故不符合题意． 故选：C． 【必考点9 二元一次方程组的整数解】 【例1】若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数m的值为（　　） A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2 【分析】首先利用加减消元法得（m+1）x＝6，进而得x＝6/（m+1），然后根据该方程组的解为正整数，且m为正整数，得m+1＝1，2，3，6，据此解出m的值即可得出答案． 【解答】解：对于， ①+②得：（m+1）x＝6， ∴x， ∵方程组的解为正整数，且m为正整数， ∴m+1＝1，2，3，6， 由m+1＝1，解得：m＝0，不合题意，舍去； 由m+1＝2，解得：m＝1， 由m+1＝3，解得：m＝2， 由m+1＝6，解得：m＝5， 当m＝1时，x3，此时y（4﹣3），不合题意，舍去； 当m＝2时，x2，此时y（4﹣2）＝1，符合题意； 当m＝5时，x1，此时y（4﹣1），不合题意，舍去． ∴综上所述：当该方程组有正整数解时，m的值为2． 故选：D． 【变式1】方程组有正整数解，则整数k的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】利用加减消元法得到y＝﹣1，再由方程组有正整数解，可确定k+2＝1或k+2＝4或k+2＝2，求出k的值即可． 【解答】解：， ①﹣②得，（k+2）y＝6﹣k， 解得y1， ∵方程组有正整数解， ∴k+2＝1或k+2＝4或k+2＝2， 解得k＝﹣1或k＝2或k＝0， ∴整数k有3个， 故选：B． 【变式2】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m2的值为（　　） A．4 B．49 C．4或49 D．1或49 【分析】先解方程组，由条件方程组的解为整数，再讨论即可求得m的值，进一步计算m2即可． 【解答】解：解方程组可得， ∵方程组有整数解， ∴m+3为10和15的公约数，且m为正整数， ∴m+3＝5，解得m＝2， ∴m2＝4， 故选：A． 【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 【分析】先利用加减法求出x，y，再根据关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，列出关于k的方程，解方程求出k，再代入k2﹣1进行 计算即可． 【解答】解：， ①+②得：， 把代入②得：， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数， ∴k+3＝1或7， 解得：k＝﹣2或4， 当k＝﹣2时，k2﹣1＝（﹣2）2﹣1＝4﹣1＝3； 当k＝4时，k2﹣1＝42﹣1＝15， ∴k2﹣1的值为3或15， 故选：D． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$