专题06 一元二次方程及其解法（考点清单，7考点12题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题06 一元二次方程（范围：8.1-8.5） （7个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 清单02 一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 清单03 一元二次方程解法的基本思路 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单04 直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 清单05 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 清单06 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 清单05 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤：1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单06 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单07 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【注意】一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 【考点题型一】一元二次方程的基础（） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 3．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 【考点题型二】直接开平方法解一元二次方程（） 5．（22-23九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直接开方法求解即可． 【详解】解：， 直接开方得：，， 故选：D． 【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键． 6．（21-22八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程可得或，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴或， 当时，； 当时，无意义，舍去； 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，难度不大，注意整体思想的利用. 7．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【考点题型三】配方法解一元二次方程（） 8．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 9．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程； （1）把代入方程得出关于的方程，再求解即可； （2）把（1）问中求的值代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得． 整理得． 解得． ∵， ∴． 所以的值为． （2）将代入方程得． 即． 配方得． 开方得． 所以方程的解为，． 【考点题型四】公式法解一元二次方程（） 11．（21-22八年级下·山东济南·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意； B．此方程的根为x=，不符合题意； C．此方程的根为x=，不符合题意； D．此方程的根为x=，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式． 12．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为．据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一元二次方程可以为， 故选：D． 13．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 【考点题型五】因式分解法解一元二次方程（） 14．（23-24八年级下·山东青岛·期末）下列方程的解正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，根据直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程逐项验证即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：A、方程的解为，选项错误，不符合题意； B、方程的解为或，选项错误，不符合题意； C、方程的解为，选项正确，符合题意； D、方程的解为，，选项错误，不符合题意； 故选：C． 15．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为． ∴原方程为：． ∴二次三项式可分解为． 故选：A． 16．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果． 【详解】解：， ， ，， 角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根， （舍）， 则三角形周长， 故选：D． 17．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 【考点题型六】换元法解一元二次方程（） 18．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程的两个根分别为，，则方程的两个根分别为（   ） A．， B．， C．， D．，, 【答案】C 【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，，得或，即可求出方程的两个实数根． 【详解】解：设，则方程变为， 方程的两个实数根是，， ∴方程的两个实数根是，， ∴或， 或， 方程的两个实数根是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键． 19．（20-21八年级上·山东淄博·期中）解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y的方程，再整理去分母即可． 【详解】设，，原方程变为y-+3=0， 方程两边都乘以y得，， 把原方程变形成整式方程为：． 故选：D． 【点睛】本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键． 20．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】3 【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：令，则原等式可化为： ， 解得：， ， ，即． 的值为3． 【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键． 【考点题型七】配方法的应用（） 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解： ， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 【考点题型八】不解方程，根据判别式判定一元二次方程根的情况（） 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 24．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查判别式与一元二次方程根的情况，求出，判断符号即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 于的一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选：A． 25．（2023·河南郑州·一模）下列一元二次方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】解：A．，方程有两个不相等实数根，不合题意； B．，方程有两个不相等的实数根，不合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不合题意． 故选：C． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 26．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程 （），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 是二次项系数不能为，， 即且． 故选：D． 27．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且， C． D．且， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故选：B． 28．（2023·江苏苏州·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 29．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程有实数根，得到，结合求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【考点题型十】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求方程的解（） 30．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）若关于的方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键． 设方程的另一个根为n，根据两根之和等于，即可得出关于n的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为n， 则有，解得：． 故答案为． 31．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 【考点题型十一】利用一元二次方程根与系数的关系求解（） 32．（23-24七年级下·山东·期末）已知a，b分别是方程的两根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程解的定义、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，再根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b分别是方程的两根， ∴， 把代入方程得，，即， ∴， 故答案为：3． 33．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知实数x，y分别满足方程，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由于x、y都满足方程，则实数x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根，当时，则，当，由根与系数的关系得到，，再由进行求解即可． 【详解】解：∵实数x，y分别满足方程， ∴实数x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根， 当时，则， 当时， ∴，， ∴ ； 综上所述，的值为或2， 故答案为：或2． 34．（22-23八年级下·山东淄博·期中）知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 35．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】 ，：；，：；应用：；推广：最小值为． 【分析】（）【探究】根据一元二次方程的两个根构造方程； 根据一元二次方程的两个根构造方程； （）【应用】由方程的解代入方程，然后整体代入即可求解； （）【推广】由，，转化为，是关于方程的两根，，然后用根的判别式即可求解． 根据一元二次方程中根与系数之间关系即可求解； 【详解】（）【探究】∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 【考点题型十二】已知一元二次方程两根关系，求参数（） 36．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，由根于系数的关系得到是解题的关键． 先根据根与系数的关系用k表示出,然后根据结合完全平方公式得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 37．（22-23八年级下·山东烟台·期中）若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是 ． 【答案】1 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，，代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次方程的两根为和， ∴，， 由得， 解得， 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 38．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，将变形为，代入计算即可，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，把方程变形为，代入得，可得或，再根据根的判别式进行取舍即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 39．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系即根的判别式．熟记一元二次方程的两个根分别为，那么，是解题关键．再根据根的判别式确定m的范围，由一元二次方程根与系数的关系可知，，再根据，，求解方程，即可． 【详解】解：，即， ， 可取任何数都满足关于x的一元二次方程有两个实数根， 根据题意得：，， ， ，即， ， ． 40．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 故选A． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）观察下表，一元二次方程 的解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据图表数据找出一元二次方程等于时，未知数的值的范围，即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图表可知：当时，， 当时，， ∴的解的范围是， 故选：． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解得到，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 4．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选C． 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A．未知数项的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程未知数有4个，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，分母含有未知数，不是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程可以化为，即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和， ∴方程可以化为， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为零、分式有意义的条件，解一元二次方程，熟练掌握分式为零、分式有意义的条件是解题的关键．利用分式的值为零得，利用分式有意义得，分别求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 由，得； 由，得或； ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东泰安·期末）若定义，那么满足的x值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：或3． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）设α、β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答． 【详解】∵是方程的两个实数根， ， 故答案为：1． 12．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知关于的方程有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程的根的判别式是，当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此列出不等式并求解，即可获得答案． 【详解】解：若关于的方程有实数解， 则有， 解得． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山东东营·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设，则式子转为，根据解一元二次方程的方法，解出，即可． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ∴； （2）解：，即， ∴； （3）解：， ∴或， ∴或； （4）解：， ∴，即：或， ∴或． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【详解】（1）解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； （2）解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 16．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知，是关于的方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)，且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根结合一元二次方程的定义得出，，计算即可得出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， 解得：，且； （2）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程（范围：8.1-8.5） （7个考点梳理+12种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 清单02 一元二次方程的根 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 清单03 一元二次方程解法的基本思路 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单04 直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 清单05 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 清单06 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 清单05 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤：1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单06 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单07 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【注意】一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 【考点题型一】一元二次方程的基础（） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【考点题型二】直接开平方法解一元二次方程（） 5．（22-23九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 6．（21-22八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【考点题型三】配方法解一元二次方程（） 8．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 9．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ． 10．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【考点题型四】公式法解一元二次方程（） 11．（21-22八年级下·山东济南·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【考点题型五】因式分解法解一元二次方程（） 14．（23-24八年级下·山东青岛·期末）下列方程的解正确的是（    ） A．方程的解为 B．方程的解为 C．方程的解为 D．方程的解为， 15．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 17．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型六】换元法解一元二次方程（） 18．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程的两个根分别为，，则方程的两个根分别为（   ） A．， B．， C．， D．，, 19．（20-21八年级上·山东淄博·期中）解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（    ） A． B． C． D． 20．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，求的值． 【考点题型七】配方法的应用（） 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【考点题型八】不解方程，根据判别式判定一元二次方程根的情况（） 23．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 24．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 25．（2023·河南郑州·一模）下列一元二次方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 26．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 27．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且， C． D．且， 28．（2023·江苏苏州·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 29．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【考点题型十】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求方程的解（） 30．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）若关于的方程的一个根是2，则另一个根是 ． 31．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ． 【考点题型十一】利用一元二次方程根与系数的关系求解（） 32．（23-24七年级下·山东·期末）已知a，b分别是方程的两根，则的值为 ． 33．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知实数x，y分别满足方程，则的值为 ． 34．（22-23八年级下·山东淄博·期中）知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 35．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【考点题型十二】已知一元二次方程两根关系，求参数（） 36．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 37．（22-23八年级下·山东烟台·期中）若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是 ． 38．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 39．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 40．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【命题预测】 1．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）观察下表，一元二次方程 的解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 4．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）若分式的值为零，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·山东泰安·期末）若定义，那么满足的x值为 ． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）设α、β是方程的两个实数根，则的值为 ． 12．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知关于的方程有实数解，则的取值范围是 ． 13．（23-24八年级下·山东东营·期末）若，则 ． 14．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 16．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知，是关于的方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$