精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度下学期高一年级4月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A B. C. 4 D. 2 5. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，若O为外心，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若角终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. B. C. D. 10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ，频率为，初相为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上的值域为 D. 若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为 B. 已知是第二象限角，则 C. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则 D. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 将函数，图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数___________ 13. 如图，在中，，为上点，且，若，，则的值为___________. 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象； x （2）解不等式． 16. 已知向量，其中． （1）若，求角； （2）若，求的值． （3）在（2）的条件下，求值． 17. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数．求和的值． 18. 函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高一年级4月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 2. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 3. 下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案. 【详解】对于A，函数的最小正周期，且为奇函数，故A正确； 对于B，函数的最小正周期，且为奇函数，故B错误； 对于C，函数最小正周期，且为偶函数，故C错误； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：A. 4. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件计算，，由计算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 5. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理得到，，由同角三角函数平方关系可构造方程求得，由的范围求得的范围，由此可得的取值. 【详解】由题意得：， ， 即，解得：； ，，即， ，. 故选：B. 6. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 7. 已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程的根，然后结合根的个数列不等式求解即可. 【详解】因为函数 所以当时，方程可化为，解得， 则当时， 当时，方程可化为， 解得， 则当时， 因为方程在上恰有4个不同实根， 所以这4个不同实根为，则. 故选：A 8. 在中，，若O为的外心，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设分别是的中点，连接，根据垂径定理和向量投影即可计算. 【详解】 连接，设分别是的中点，连接， 因为，所以， 在上的投影为，， 同理在上的投影为，则， ， 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项即可判断正误. 【详解】因为角的终边在第三象限， 所以，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：BD 10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ，频率为，初相为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上的值域为 D. 若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的图象求出，进而根据相关定义即可求解A，代入验证是否为最值即可求解B，利用整体法结合三角函数的性质即可求解CD. 【详解】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确． 故选：BD． 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为 B. 已知是第二象限角，则 C. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则 D. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角函数的定义、三角函数的性质、判断A，B，根据平移规则可得C错误，根据向量夹角计算得出参数判断D. 【详解】对于A，因为角的终边上一点的坐标为，即， 所以角在第四象限，所以角是第四象限角，， 所以角的最小正值为，所以A项不正确； 对于B，当是第二象限角时，， 所以，，所以，所以B项正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为， 若是偶函数，则，所以，故C正确； 对于D：与是两个互相垂直的单位向量，则， 向量与的夹角为锐角， 则，且向量与不共线，所以， 则k的取值范围是，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 将函数，图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据图象的伸缩平移变换法则得到函数， 【详解】函数，图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，再将得到的图象向左平移个单位长度，得. 故答案为： 13. 如图，在中，，为上点，且，若，，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得，又三点共线，可得，则，利用向量的线性运算可得，进而表示出，计算即可． 【详解】在中，因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又， 则 . 故答案为：. 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积. 【详解】函数，则； ，因此函数周期为， 则， 当时，；当时，，； 当时，；当时，，； 当时，，； 当时，，， 因此，， 所以集合中所有元素之积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：分段讨论求出函数的值域是求得第2空答案的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象； x （2）解不等式． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用＂五点作图法＂即可得解； （2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解． 【小问1详解】 列表： 0 0 1 0 -1 0 又当时，，当时，， 描点作图，如图所示： 【小问2详解】 因为， 所以， 解得， 故不等式的解集为． 16. 已知向量，其中． （1）若，求角； （2）若，求的值． （3）在（2）的条件下，求值． 【答案】（1）或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据数量积的坐标表示可求得，由此可求出答案； （2）由题意得，则，由此可求出． （3）先应用诱导公式化简，再弦化切代入计算求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， 即， ∴或； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又， ∴， 即为， 即有， 可得. 【小问3详解】 ， 所以. 17. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数．求和的值． 【答案】或 【解析】 【分析】由 是偶函数可得 的值，图象关于点对称可得函数关系 ,得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得， 即 ， 所以 ， 对任意x都成立，且 ，不恒等于0， 所以得 ．依题设 ，所以得； 由的图象关于点对称，得， 取 ，得，即 ， 又，得，， ，， 又在区间上是单调函数，故 ， 即当 时， ，当时， ， 所以，综合得 或 18. 函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）根据诱导公式可求解； （3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由图可得， 函数过点， 所以，则， 解得， 又，则，所以； 【小问2详解】 若，即， 而； 【小问3详解】 因为，所以， 则，令， 设，则恒成立， 由二次函数的图象性质可知，只需， 解得，故的取值范围为. 19. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）2 （2）9 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 法一：设，，则，， 所以， ， 所以， 故， ， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值的最小是9． 法二：，故．故． 故 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值的最小是9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$