专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系六种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系六种考法 一、方法讲解 1.共面、共线及共点问题证明 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 2.截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 3.异面直线的判定 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 4.异面直线所成的角 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 5.平面的基本性质 平面具有三大基本性质： （1）任意三点不共线则确定一个唯一平面； （2）任意两条平行直线确定一个唯一平面； （3）过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。 注：这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 6.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 二、重难点例题及变式 类型一、共面、共线及共点问题证明 例．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以. 在中，因为，所以， 所以，所以. 所以E，F，G，H四点共面. （2）因为，所以. 由已知可得，，，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，所以平面ABC. 同理，平面ADC，平面ADC. 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点. 又平面平面，所以， 所以P，A，C三点共线. 【变式训练1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）证明见解析; 【解析】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【变式训练2】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）证明见解析; 【解析】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 类型二、截面问题 例．（1）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【解析】在正方体中，由分别为的中点， 得截面与正方体的3个面必有交线，而点在线段上， 截面与正方形或正方形有交线，即截面至少与正方体4个面有交线， 因此截面不可能是三角形，即A不可能； 取与重合，此时截面为四边形，如图，B可能； 当截面与棱的交点在线段（不含点）上时，截面与正方体 除正方形外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能； 当点为棱的中点时，截面为六边形，如图，D可能. 故选：BCD （2）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设正方体外接球的半径为，棱长为， 因为正方体外接球的体积为， 所以，则， 由，得， 设球心到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为， 设到平面的距离为, 因为、、分别为棱的中点， 所以是边长为的正三角形, 由,得, 则, 解得,又, 所以到平面的距离为， 则， ， 所以平面截球的截面面积为，. 故选：A. 【变式训练1】已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 【变式训练2】如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以，同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 类型三、异面直线的判定 例．（多选）如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】如图，由题意易知在平面上， 对于A，平面，平面，， 由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故A正确； 对于B，平面，平面，，由异面直线的定义知， 与直线是异面直线，故B正确； 对于C，平面，平面，，由异面直线的定义知， 与直线是异面直线，故C正确； 对于D，当为的中点时，，所以D错误. 故选：ABC． 【变式训练1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是， 其中，所以与共面、与共面、与共面． 故选：C 【变式训练2】已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. 【答案】C 【解析】在正方体中，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 由点在直线上，为线段的中点， 当点和重合时，可得平面，所以，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. 类型四、异面直线所成的角 例．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点， 正方体中，，，四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 因此，即异面直线AM与BN所成角的正弦值为. 故选：B． 【变式训练1】如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 【变式训练2】如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为____________ 【答案】 【解析】 取的中点，连接，由E为CD的中点，得，， 则是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形中，，在中，， ，， 于是， 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为. 故答案为： 类型五、平面的基本性质 例．下列命题是真命题的是（ ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【解析】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面； 当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【变式训练1】下列命题正确的是（ ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】D 【解析】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内， 故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D 【变式训练2】是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确； B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确； C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误； D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确； 故选：C. 类型六、等角定理 例．已知空间中两个角，且，若，则 . 【答案】或 【解析】因为两个角，且， 则的两边分别平行， 所以相等或互补， 又，所以或 故答案为：或 【变式训练1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则 .    【答案】/ 【解析】因为，分别是，的中点， 所以， 同理，，， 所以，． 又的两边和的两边的方向都相同， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练2】过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． A. 0 B. 1 C. 2 D.3 【答案】C 【解析】在正方体中，与平面垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与、都成的直线有几条． 考虑到，夹角为，所以同一平面的角平分线与，的夹角大小为， 因为，从而存在两条直线满足条件．而，的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条件． 综上，满足条件的直线共2条． 故选：C. 三、能力测试练 1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 2．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，则，取的中点，连接，则， 所以（或其补角）为直线与所成的角， 又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：C 3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【解析】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确； ②对应图2，重合，与是相交直线，②错； ③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错； ④与图1类似得与是异面直线，④正确． 故选：A． 4．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）    A． B．9 C． D． 【答案】A 【解析】 如图，取AB的中点G，连接GE，，． 因为E为BC的中点，所以，， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形， 其周长为． 故选：A． 5．（多选）在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 【答案】ABC 【解析】选项A：如果两个平面有一个交点，则个平面必有过该点的一条交线， 所以这两个平面有无数个公共点，故A正确； 选项B：若其中三点共线，则一条直线和直线外一点确定一个平面， 则四点共面，与四个点不共面矛盾，所以其中任意三点不公线，故B正确； 选项C：若点既在平面内，又在平面内， 则点是两个平面的公共点，是两个平面的交线， 根据公共点一定在交线上，所以一定在上，故C正确； 选项D：只有平面与底面平行时，得到的平面和底面间的几何体才是圆台，故D错误. 故选：ABC 6.（多选）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值可以是（  ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BC 【解析】设四面体的底面是，，，顶点为， 在三角形中，因为两边之和大于第三边可得：，① 取中点，是中点，直角三角形全等于直角， 所以在三角形中，， 两边之和大于第三边 ，得，（负值0值舍）② 由①②得． 故选:BC． 7.在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 8．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， . 【答案】 /0.5 / 【解析】在正方体中，是棱的中点， 延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，， 由，得，又，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，， 所以. 故答案为：； 9．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． （1）求证：三线交于点P； （2）在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2）在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 10．若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证： （1）和、和、和分别在同一平面内； （2）如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）∵，∴确定平面， ∵都在平面内，∴平面；平面， ∵，∴确定平面， ∵都在平面内，∴平面；平面， ∵，∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系六种考法 一、方法讲解 1.共面、共线及共点问题证明 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 2.截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 3.异面直线的判定 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 4.异面直线所成的角 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 5.平面的基本性质 平面具有三大基本性质： （1）任意三点不共线则确定一个唯一平面； （2）任意两条平行直线确定一个唯一平面； （3）过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。 注：这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 6.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 二、重难点例题及变式 类型一、共面、共线及共点问题证明 例．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 【变式训练1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【变式训练2】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 类型二、截面问题 例．（1）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （2）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式训练2】如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A． B． C． D． 类型三、异面直线的判定 例．（多选）如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）    A． B． C． D． 【变式训练2】已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. 类型四、异面直线所成的角 例．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【变式训练2】如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为____________ 类型五、平面的基本性质 例．下列命题是真命题的是（ ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【变式训练1】下列命题正确的是（ ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【变式训练2】是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ） A． B． C． D． 类型六、等角定理 例．已知空间中两个角，且，若，则 . 【变式训练1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则 .    【变式训练2】过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． A. 0 B. 1 C. 2 D.3 三、能力测试练 1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 4．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）    A． B．9 C． D． 5．（多选）在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 6.（多选）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值可以是（  ） A．0 B．1 C． D． 7.在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 8．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， . 9．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． （1）求证：三线交于点P； （2）在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 10．若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证： （1）和、和、和分别在同一平面内； （2）如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$