专题9 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积六种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题9 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积六种考法 一、方法讲解 1.空间几何体结构特征的判断技巧: 紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． 2.斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系： ． 3.展开图 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状. 4.最短距离问题 把立体几何中空间最短距离问题滑轨为平面两点间线段最短问题． (1)化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； (2)考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； (3)利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 5.空间几何体的表面积处理方法： （1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． （3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 6.空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 二、重难点例题及变式 类型一、空间几何体的结构特征 例．下列命题正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】D 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确. 故选：D 【变式训练1】下列说法正确的是（ ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 【答案】A 【解析】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确； 对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误； 对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误； 对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误. 故选：A. 【变式训练2】下列说法中正确的是（ ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【答案】C 【解析】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点， 该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的， 故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误. 故选：C. 类型二、直观图 例．（1）（多选）下列说法正确的是（ ） A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】AD 【解析】对于A，在斜二测画法中，平行的线段在直观图中仍然平行，故A正确； 对于B，长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，故B错误； 对于C，水平摆放正方形的邻边相等， 但在用斜二测画法画出的直观图中邻边变成了原来的2倍关系，故C错误； 对于D，正棱锥底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，故D正确； 故选：AD （2）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】将直观图还原为原图，如图， 由，，所以， 所以，则， 即原平面图形的面积是． 故选：D 【变式训练1】若用斜二测画法画出某△ABC水平放置的直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（ ） A B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】直观图是边长为2的等边三角形， 且的面积为， 所以原的面积为. 故选：B. 【变式训练2】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，运用斜二测画法，逆向画出原图.在轴位置不变，，长度不变； 点在轴上，求得，则，是原来的两倍； ，长度不变，． 则四边形为平行四边形，面积为：． 故选：C． 类型三、展开图 例．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥的性质可得侧面展开图的半径为，弧长为， 又圆锥的底面周长为， 所以， 又， 所以，即圆锥的底面半径长为2. 故选：A 【变式训练1】已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且为直角三角形，将半个圆锥展开后如图，则， 又因为为的中点，则， 可得为等边三角形，即，则侧面展开图的圆心角为 所以该圆锥的侧面积. 故选：C. 【变式训练2】已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝ ． 【答案】 【解析】由题意可知，△CEF为等边三角形，所以，则， 由可知， 在△PCF中，由正弦定理得：． 在△PCE中，由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 所以， 则，， 在△PBE中，由余弦定理得， 所以． 故答案为： 类型四、最短距离问题 例．半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示， 由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【变式训练1】如图，圆锥的母线长为2，点M为母线的中点，从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图， 从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点， 最短距离即为线段BM长，则有， 而M是线段中点，又母线长为2，于是得，即， 设圆锥底面圆半径为r，从而有：，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选:B. 【变式训练2】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由. 故答案为： 类型五、空间几何体的表面积 例．(1)《九章算术》是我国古代数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． (2)（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【答案】BCD 【解析】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为， 又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练1】某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即4cm， 下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm， 上底面圆的半径是， 所以杯套的表面积. 故选：C. 【变式训练2】如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积为， 故，原圆柱的侧面积为. 故选：B 类型六、空间几何体的体积 例．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得，则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 故答案为： 【变式训练1】如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【答案】D 【解析】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故， 故选：D 【变式训练2】已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B．28 C． D．14 【答案】B 【解析】设正四棱台的斜高为h，高为H， 表面积为，得， 则侧棱长为， 正四棱台上下底面对角线长为， 正四棱台的高， 正四棱台的体积. 故选：B 三、能力测试练 1．有下列四个命题，其中正确的是（ ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【解析】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，， 则， 可得原图中（右图），，， 所以四边形的面积为. 故选：D. 3．已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【解析】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为， 所以，解得：， 将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O. 线段就是蚂蚁经过的最短距离， 设，圆心角是，则由题意知 ①， ②， 由①②解得，，， ∴，，则. 故选：C. 4．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ） A．3 B． C． D．48 【答案】B 【解析】如图，作平面，，垂足分别为，连接. 由题可知，，所以， 所以表面积. 故选：B 5．（多选）下面关于空间几何体叙述正确的有（ ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 【答案】AC 【解析】对于A，根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确； 对于B，只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时， 才是正四棱锥，故B错误； 对于C，根据棱台的定义知，底面边数至少为3， 故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确； 对于D，若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误. 故选：AC. 6.（多选）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 弧长度为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 三棱锥的体积为5 【答案】ACD 【解析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 因为弧的长度是弧长度的倍，，即， ，，， 所以弧的长度为，故A正确； 曲池的体积为，故B错误； 曲池的表面积为 ，故C正确； 三棱锥的体积为，故D正确． 故选：ACD． 7.圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 【答案】 【解析】如图所示： ，. 由图知：点绕圆锥侧面移动到的最短距离为. 故答案为： 8．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为 . 【答案】 【解析】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以， 所以，所以与全等， 所以，同理，所以， 过A作，垂足为G， 则，， 又，所以， 所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故答案为： 9．在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为__________；若E为的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体所得的截面面积为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】在棱长为2的正方体中， 可得其外接球的半径为，所以, 所以外接球的表面积为； 如图所示，过点作，连接， 所以过三点的平面截正方体所得的截面为且为等腰梯形， 过点作于点，过点作，连接， 所以为等腰梯形的高，且, 所以梯形的面积为. 故答案为：；. 10．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】（1）个； （2）. 【解析】（1）因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. （2）易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积六种考法 一、方法讲解 1.空间几何体结构特征的判断技巧: 紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． 2.斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系： ． 3.展开图 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状. 4.最短距离问题 把立体几何中空间最短距离问题滑轨为平面两点间线段最短问题． (1)化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； (2)考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； (3)利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 5.空间几何体的表面积处理方法： （1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和． （3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理． 6.空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 二、重难点例题及变式 类型一、空间几何体的结构特征 例．下列命题正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【变式训练1】下列说法正确的是（ ） A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆台的所有母线延长不一定交于一点 D．一个多面体至少有3个面 【变式训练2】下列说法中正确的是（ ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 类型二、直观图 例．（1）（多选）下列说法正确的是（ ） A．平行线段在直观图中仍然平行 B．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 （2）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【变式训练1】若用斜二测画法画出某△ABC水平放置的直观图，得到边长为2的等边三角形，则原的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【变式训练2】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 类型三、展开图 例．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1】已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线，，，则PB＝ ． 类型四、最短距离问题 例．半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】如图，圆锥的母线长为2，点M为母线的中点，从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 类型五、空间几何体的表面积 例．(1)《九章算术》是我国古代数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ） A. B. C. D. (2)（多选）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【变式训练1】某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 类型六、空间几何体的体积 例．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 . 【变式训练1】如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【变式训练2】已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B．28 C． D．14 三、能力测试练 1．有下列四个命题，其中正确的是（ ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3．已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ） A．3 B． C． D．48 5．（多选）下面关于空间几何体叙述正确的有（ ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 6.（多选）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 弧长度为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 三棱锥的体积为5 7.圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 8．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为 . 9．在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为__________；若E为的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体所得的截面面积为____________. 10．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$