精品解析： 江苏省泰州中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

江苏省泰州中学2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：蒋珊珊 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“向量，，则”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则值是（ ） A. B. C. D. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则__________． 13. 已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 14. 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与夹角为，向量满足，则的最小值是__________． 四､解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 16 已知集合. （1）求； （2）记关于不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 17. 已知函数在R上为奇函数，． （1）求实数值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立，求的取值范围． 18. 已知向量， ，函数 ， . （1）若的最小值为-1，求实数的值； （2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①； ②； （2）若是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省泰州中学2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：蒋珊珊 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由倒数定义易判断A正确；通过举反例即可逐一排除B，C，D项. 【详解】对于A，由可知均不为0，故，即A正确； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C， 由，若取，则没有意义，故C错误； 对于D，由，若取，则，故D错误. 故选：A. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解： 或， ， ， 故选：C 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案. 【详解】函数的定义域为且，排除A项； ∵，∴是奇函数，排除C项； 再取特殊值当时，，排除D项. 故选：B. 【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档题. 4. “”是“向量，，则”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由于，即可判定 【详解】由题意， 因此“”是“向量，，则”的充分不必要条件 故选：A 5. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案. 【详解】由题意得①，②， 则， 即，即， 所以， 故选：D 6. 在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】在正方形中，， 由，得，又， 因此 ， 而，且不共线，于是. 故选：D 7. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角变换公式计算判断ACD；利用指数、对数运算计算判断B. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性. 【详解】对于A，对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C正确． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有， 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义进行求解即可得． 【详解】解：因为函数为幂函数， 所以可得，解得． 故答案：1 13. 已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 【答案】 ①. 0 ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解. 【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则， 由，且函数的图象在点附近是上升的，得， 即，因此，所以； ，而点在的图象上，则，即， 又，则或，解得或， 所以的最小值为. 故答案为：0； 14. 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，所以. 设，，，，，， 则，，， 所以有，，则， 所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点， 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，， 所以有. 又，所以. 故答案为：. 四､解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． 【小问2详解】 设，由题知， 于，， ．即． 16. 已知集合. （1）求； （2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）分别解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合，再求即可； （2）解一元二次不等式求出集合，再根据，借助数轴可解出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为即， 所以，所以； 由，可得或， 所以或，进而可得， 所以或，. 【小问2详解】 解：因为， 所以，所以， 所以； 又或， 若，则，所以， 所以实数的取值范围是 17. 已知函数在R上为奇函数，． （1）求实数的值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）R上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合奇函数的性质有，代入化简可得，即有，解出的值，代入检验即可得出答案； （2）令，分以及两种情况分析得出函数的单调性，进而即可根据复合函数的单调性得出判断； （3）根据函数的奇偶性、单调性结合已知条件化简得出.设，根据已知条件结合三角函数的性质求出函数的最小值，进而得出不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知结合奇函数的性质可得， 即， 所以，解得（舍去负值），所以. 此时有，定义域为R，满足题意. 【小问2详解】 令， 因为，所以函数在上单调递增. 又当时，有在上单调递减； 当时，与均为减函数， 所以有在上单调递减. 综上所述，在R上单调递减. 根据复合函数的单调性可知，在R上单调递减. 【小问3详解】 由已知， 结合奇函数的性质可得. 又由（2）知，在R上单调递减， 所以有，整理即有. 设，要使该式恒成立，则应满足. 又， 当，即时，有最小值， 则有，整理可得，解得. 18. 已知向量， ，函数 ， . （1）若的最小值为-1，求实数的值； （2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 试题解析： （1）∵， ， ∴ ， ∵∴， ，令， ∴∵，对称轴为， ①当即时，当时， ∴舍， ②当即时，当时， ∴， ③当即是，当时， ∴舍， 综上， . （2）令，即， ∴或，∵， 有四个不同的零点， ∴方程和在上共有四个不同的实根， ∴∴∴. 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①； ②； （2）若是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 【答案】（1）①是，②不是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解； （3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【小问1详解】 对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2， 不是函数的“区间”. 【小问2详解】 记， ，注意到， 因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即. 当时，在上单调递增，且， 所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意. 综上，. 【小问3详解】 对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以. 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$