期中模拟测试卷（测试范围：第7-10章）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

2024-2025学年八年级数学下册期中模拟测试卷 测试范围：第7-10章 一、单选题 1．下列调查中，适合进行普查的是（　　） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况 C．《新闻联播》电视栏目的收视率 D．一个班级学生的体重 【答案】D 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，故A不符合题意； B、调查长江流域的水污染情况，适合进行抽样调查，故B不符合题意； C、《新闻联播》电视栏目的收视率，适合进行抽样调查，故C不符合题意； D、一个班级学生的体重，适合进行全面调查，故D符合题意； 故选：D． 2．若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【答案】C 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解即可． 【解析】解：把原式中的、分别换成、，那么 把分式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍， 故选：C． 3．如图，在平行四边形中，，，的角平分线交于，那么的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质结合角平分线的定义得出，即可推出，从而得解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查的是事件发生的可能性大小的判断．根据题意可得，即可求解． 【解析】解：∵袋子里有8个红球，m个白球，摸到红球的可能性最大． ∴． 故D选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【解析】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 6．第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题与分式方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时得出方程，进而得出答案． 【解析】解：设型机器人每小时搬运建筑材料，则型机器人每小时搬运的建筑材料， 根据题意可得：； 故选：D 7．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．根据四边形是矩形，得到，利用三角形外角性质，得到，，由此可求． 【解析】解： 四边形是矩形， ， ，，， ， ，， ， ． 故选：B． 8．如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求解即可判断． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，过点E作于H， 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， 整理得，故A不符合题意； 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，，即点与点重合， ∴，故B符合题意； 当时，则，， ∴，，， 在中，， 则，故C不符合题意； 当时，则，， ∴，，，即点与点重合， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题 9．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【解析】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 10．若点，关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解． 【解析】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．为更好地反映我市一周内降雨量的变化情况，最适合采用 统计图（填“扇形”、“折线”或“条形”）． 【答案】折线 【分析】本题主要考查统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【解析】解：为更好地反映我市一周内降雨量的变化情况，最适合采折线统计图． 故答案为：折线． 12．若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理即可得到正方形的一条对角线的长． 【解析】解：∵正方形的边长是， ∴它的一条对角线的长是， 故答案为： 13．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 ． 【答案】0.25 【分析】题目主要考查频数与频率，熟练掌握频率的计算方法是解题关键． 根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【解析】解：根据题意得：， 则第5组的频率为， 故答案为：． 14．如图，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【解析】解：∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故答案为：24． 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先根据分式的性质把分式的分子、分母同时乘以，得到：原式，由可得、，整体代入化简后的代数式计算求值即可． 【解析】解：， ， ，， 原式． 故答案为： ． 16．如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，通过证明得到，即可得出结论． 【解析】解：连接交于点O， ∵在边长为2的菱形中，， ∴，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，，点E在过点A且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点E在过点A且平行于的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，正确地理解题意是解题的关键． 三、解答题 17．化简： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据分式约分即可求解； （）根据分式异分母加法运算法则即可求解； 本题考查了分式约分，异分母加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的基本思路方法，是解题的关键．基本方法是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． （2）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解析】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 19．先化简：，再从1，2，3中选一个数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【解析】解： ． ∵，，， ∴，，， ∴把代入得：原式． 20．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，点， (2) 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求 点， （2）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)试证明：以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）证明：， ∴， 由（1）可知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 22．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 【答案】甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可 【解析】解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米． 23．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.59，116 (2)0.6 (3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解析】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； （2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 24．如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的边，，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由折叠可得，进而利用矩形的性质可证四边形为平行四边形，进而由即可求证； （）设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【解析】（1）证明：由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 在矩形中，，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 25．阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【解析】（1）解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； （2） 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． 26．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． 【解析】（1）解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 27．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识． （1）取的中点F，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于G，与交于O，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【解析】（1）解：（1）， 理由如下：如图，取的中点F，连接， 、E分别为、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）； 如图，在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）作，交的延长线于G，与交于O， 由（2）知，， ∴点在射线上运动，， ∴时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， 点D与G关于对称， 的最小值为的长， ， ， 由勾股定理得， 周长的最小值为． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下册期中模拟测试卷 测试范围：第7-10章 一、单选题 1．下列调查中，适合进行普查的是（　　） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况 C．《新闻联播》电视栏目的收视率 D．一个班级学生的体重 2．若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 3．如图，在平行四边形中，，，的角平分线交于，那么的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A．1 B．3 C．5 D．10 5．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 6．第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 9．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 10．若点，关于原点对称，则 ． 11．为更好地反映我市一周内降雨量的变化情况，最适合采用 统计图（填“扇形”、“折线”或“条形”）． 12．若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是 ． 13．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 ． 14．如图，E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，，则四边形的面积是 ． 15．已知，则 ． 16．如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 三、解答题 17．化简： (1)； (2) 18．解方程： (1)； (2) 19．先化简：，再从1，2，3中选一个数作为的值代入求值． 20．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 21．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)试证明：以为顶点的四边形是平行四边形． 22．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 23．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 24．如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的边，，求菱形的边长． 25．阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 26．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 27．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$