专题4.5 三角形中位线的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.5 三角形中位线的综合 · 典例分析 【典例1】中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． （1）请你根据上边分析，完成证明过程． （2）如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． （3）如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【思路点拨】 （1）取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； （2）延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； （3）延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【解题过程】 （1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，等边中，点分别为的延长线上，且，为的中点，为中点，，，则的长（    ） A．1.5 B． C．2.5 D． 6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则 ．    8．（2025·山西朔州·一模）已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在中，，，射线是的角平分线，交于点，过点向射线作垂线，垂足为点，作边上的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点，连接，若长为，则的长为 ． 12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 13．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ． 14．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则 ；点F是的中点，连接，过点F作交于点G，则 ． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． （1）当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． （2）若，，则直接写出的长． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：和均为等腰直角三角形，，，，连接，取、、的中点分别为G、F、H，连接、、．    图1                                    图2 （1）当点D在边上，点E在边上时，如图1，判断的形状为 ； （2）把图1中绕点C在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； （3）把绕点C在平面内任意旋转，若，，求线段的最大值与最小值． 18．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． （1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． （2）如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． （3）变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． （4）如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点是的边上一点（），点关于，的对称点分别为，连接，，，且经过点． （1）求证：点是的中点； （2）如图2，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长到点使，连接交于点，连接，，若，当时，求的长． 20．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． （1）如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． （2）当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 22．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：． （2）如图，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论． （3）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论． （4）如图，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，（），为的中点，为线段上一动点（）），将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是线段上一点且，连接，． （1）小亮为了研究的度数，将图中的点移至到的中点处，使点与点重合，如图，请直接写出的度数： （2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若，延长交于点，若，请直接写出的长． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，且，为中点，点分别在线段上，连接． 问题背景： （1）如图，连接，将射线绕点旋转，使，求证：． 问题探究： （2）如图，连接，将射线绕点旋转，使，作于点，延长交于点．求证：为中点． 问题拓展： （3）连接，将射线绕点旋转，使且，作于点，延长交于点，若，直接写出______． 26．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 三角形中位线的综合 · 典例分析 【典例1】中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． （1）请你根据上边分析，完成证明过程． （2）如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． （3）如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【思路点拨】 （1）取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； （2）延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； （3）延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【解题过程】 （1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【解题过程】 解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称-最短路线问题，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理算出，作点D关于的对称点F，连接，根据轴对称的性质得出，取的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线定理得出，即可求出，，根据，得出故当三点共线时，最小， 根据勾股定理即可求出最小值． 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点F，连接， 则， 取的中点， ∵点E为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， 故当三点共线时， 则最小， 最小值． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长并延长，使，连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质得出． 【解题过程】 解：延长并延长，使，连接，，如图所示： 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 为的中点，， ， 故答案为：D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 【思路点拨】 取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【解题过程】 解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，等边中，点分别为的延长线上，且，为的中点，为中点，，，则的长（    ） A．1.5 B． C．2.5 D． 【思路点拨】 先添加辅助线构造等腰三角形，设，结合等边三角形和等腰三角形的性质可得，进而可得，的值，易知，再证明是的中位线，结合中位线的性质解得的值，即可求解． 【解题过程】 解：如下图，延长至点，使得，连接，过点作于点， 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，即， 又∵为中点， ∴为的中位线， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】 根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确． 【解题过程】 解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴．故①正确． ②如下图所示，连接，， ∵是中点， ∴． ∵、分别是、中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确． ③如上图所示：∵是中点， ∴． ∵是中点， ∴． ∵平行四边形的对角线、交于点， ∴是中点，． ∴． ∵是中点，是中点， ∴． ∴．故③不正确． 故选：A． 7．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则 ．    【思路点拨】 如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【解题过程】 解：如图，记的中点为，连接，，    ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 8．（2025·山西朔州·一模）已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 【思路点拨】 取的中点，连接，过点作于点，求出，证明，即可得到． 【解题过程】 解：取的中点，连接，过点作于点，则 ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为 ． 【思路点拨】 如图，延长至点，使，连接，过点作于，根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【解题过程】 解：如图，延长至点，使，连接，过点作于， ∵是边的中点， ∴， ∵平分的周长， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【思路点拨】 取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【解题过程】 解：如图，取、的中点、，连接、，则，为的中位线， ∴， ∴， 在等边三角形中，，为的中点， ∴，， ，，， ∴， ，， ， ； 过作，且，连接、，则， ， ， ， 当点在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在中，，，射线是的角平分线，交于点，过点向射线作垂线，垂足为点，作边上的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点，连接，若长为，则的长为 ． 【思路点拨】 延长，交的延长线于点，根据直角三角形两锐角互余得，根据垂直平分线的定义得，，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得，，进一步得到，，，根据角平分线、垂直的定义和据直角三角形两锐角互余推出，得到，由等腰三角形三线合一性质得是边上的中线，最后利用三角形中位线定理可得解． 【解题过程】 解：延长，交的延长线于点， ∵在中，，， ∴， ∵边上的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点，长为， ∴，，即点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵射线是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是边上的中线，即点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在，，D点在上，，E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，，，则的面积为 ． 【思路点拨】 连接，设的中点为，连接，由三角形的中位线定理得， ，，，由此可证和均为等边三角形，设 ，则，进而得，则，由此可求出，则 ，，，进而得，然后根据，得，据此可得的面积． 【解题过程】 解：连接， 设的中点为， 连接，，如下图所示： ∵点分别是的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ，，，， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：，即 解得：，(不合题意，舍去)， ， ， ， ， 边上的高与边上的高相同， ， ， ． 13．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 连接交于点G，连接，过点G作于点H，证得，则，再利用勾股定理可得的长，然后由三角形中位线定理即可求解． 【解题过程】 解：连接交于点G，连接，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ， ， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：5． 14．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则 ；点F是的中点，连接，过点F作交于点G，则 ． 【思路点拨】 由等边三角形的性质可得，，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的长．连接，过A点作与H，过F点作于M点，过G点作于N点，过F点作于P点，则可得M点是的中点．求得，，则可得．在中，设，则，．易证是的中位线，则可得，．由勾股定理得，，又，则可得，解方程求出x的值，即可得的值． 【解题过程】 解：∵是等边三角形，且， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 如图，连接，过A点作与H，过F点作于M点，过G点作于N点，过F点作于P点． 则，且． ∵F点是的中点， ，且M点是 的中点， ， ， ， ． 在中，，， ． 在中，设，则，， ，， ， ∵F点是的中点， ∴P点是的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 又， ， ， 解得． ， ． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． （1）当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． （2）若，，则直接写出的长． 【思路点拨】 （1）①连接，如图所示，由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理证得，进而由全等性质得到，最后根据三角形中位线的判定与性质即可得证；②根据①中得到的三角形中位线及三角形全等，等量代换确定、，根据得到，数形结合即可得到答案； （2）过作，如图所示，由等腰三角形三线合一及勾股定理求出的相关边长，利用勾股定理求出，再由三角形中位线性质求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：①连接，如图所示： 和是等边三角形， ， 点为线段上任一点， ，则， 在和中， ， ， 为中点，点分别为的中点， 是的中位线；是的中位线； ，即； ②由①知是的中位线；是的中位线； ， ， ， ， ， 由①知，则，即， ， ，则； （2）解：过作，如图所示： 是等边三角形， 由三线合一可得是边上的中线， ， 在中，，由勾股定理可得， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 由（1）知． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【解题过程】 （1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是的中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：和均为等腰直角三角形，，，，连接，取、、的中点分别为G、F、H，连接、、．    图1                                    图2 （1）当点D在边上，点E在边上时，如图1，判断的形状为 ； （2）把图1中绕点C在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； （3）把绕点C在平面内任意旋转，若，，求线段的最大值与最小值． 【思路点拨】 （1）根据等腰直角三角形的性质可知：，，再根据、、的中点分别为G、F、H，可得，，，，即有，根据，，可得，，进而可得，则有，问题得解； （2）连接、，先证明，即有，，根据、、的中点分别为G、F、H，可得， ，， ，即有，延长交于点N，交于点M，交于点H，先证明，再根据平行的性质可得，问题得解； （3）由（2）可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即有，在中，当点D在边上时，，当点D在延长线上时，，即有，可得，问题随之得解． 【解题过程】 （1）∵，，， ∴，， ∴，， ∵、、的中点分别为G、F、H， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）的形状不改变，理由如下： 连接、， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵、、的中点分别为G、F、H， ∴， ，， ， ∴， 延长交于点N，交于点M，交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，形状不改变； （3）由（2）可知是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，， ∴， 在中， 当点D在边上时，，当点D在延长线上时，， ∴， ∴， 当最大时最大，当最小时最小， ∴最大为：， 最小为：． 18．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． （1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． （2）如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． （3）变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． （4）如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【思路点拨】 （1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【解题过程】 （1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点是的边上一点（），点关于，的对称点分别为，连接，，，且经过点． （1）求证：点是的中点； （2）如图2，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长到点使，连接交于点，连接，，若，当时，求的长． 【思路点拨】 （1）连接，由轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，即可得证； （2）令、交于点，、交于点，由轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，从而得出，，，进而得出，证明是的中位线，得到，从而得到，求出即可得证； （3）由轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，由（1）得：，从而得出，证明得到，结合，可得，从而得到，最后由，结合，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接， 点关于，的对称点分别为， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 经过点， 点是的中点； （2）解：如图，令、交于点，、交于点， 点关于，的对称点分别为， 垂直平分，垂直平分， ，，， ，即， 由（1）得：点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：点关于，的对称点分别为， 垂直平分，垂直平分， ，， 由（1）得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ． 20．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知在三角形中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接，将线段绕D点顺时针旋转60°，得到线段（点E不与点B重合）．连接．取的中点P，连接． （1）如图（1），当点E落在线段上时，取的中点G，的中点H，连接， ①求证：； ②求证：． （2）当，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【思路点拨】 （1）①由直角三角形斜边中线的性质得，再公共，利用边边边判定即可证明； ②由三角形中位线定理得，，则；由旋转知是等边三角形，且P是中点，则，；再由H是中点，是等边三角形，则，则可证明，即有，从而； （2）分两种情况考虑：当点E在线段上时；当点E在线段延长线上时；利用等边三角形的性质及勾股定理即可计算． 【解题过程】 （1）证明：①∵分别是斜边上的中点， ∴， ∵， ∴； ②∵G、H分别是的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 由旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∵P是的中点， ∴，； ∴； ∵H是中点，， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：当点E在线段上时，如图，过点C作于N； ∵，P是的中点， ∴； ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图，过点C作于N； 同理，得， ∴； 综上所述，线段的长为或． 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 【思路点拨】 （1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【解题过程】 证明：（1）是的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 22．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【思路点拨】 （1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【解题过程】 解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：． （2）如图，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论． （3）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论． （4）如图，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数． 【思路点拨】 （1）取的中点，连接、，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状． （3）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形是等边三角形，再进一步确定，进而求出，故的形状可证； （4）连接，取的中点连接，，根据三角形的中位线的性质得到，，，，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得，再求解即可得到结论． 【解题过程】 （1）证明：如图所示，连接，取的中点，连接、， 、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，，， ， ， ， ，， ，， ； （2）解：是等腰三角形． 理由：如图，取的中点，连接，， 点、、分别是、、的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：是直角三角形． 理由：如图连接，取的中点，连接、， 是的中点， ，， 同理，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形． ， ， ， ， 即是直角三角形； （4）解：连接，取的中点，连接，， 、分别是、的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ． 24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，（），为的中点，为线段上一动点（）），将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是线段上一点且，连接，． （1）小亮为了研究的度数，将图中的点移至到的中点处，使点与点重合，如图，请直接写出的度数： （2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若，延长交于点，若，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）根据题意可得，则，根据，推出，即可求解； （2）连接，延长到使，连接，，根据中位线定理得出，，由旋转的性质得：，，推出，则是等腰三角形，进而得出，，设，，则，，，得出，，，通过证明，得出，则，根据三线合一即可得出结论； （3）连接，延长到使，连接，，过点作于点，通过证明是等边三角形，得出，，进而求证，得出，则为等腰直角三角形，设，则，则，推出，，，求出，根据，列出方程，求出，则，最后即可得出． 【解题过程】 （1）解：∵点为的中点， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论依然成立，理由如下： 如图，连接，延长到使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴， 设，，则，，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，延长到使，连接，，过点作于点， 由（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到线段，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，且，为中点，点分别在线段上，连接． 问题背景： （1）如图，连接，将射线绕点旋转，使，求证：． 问题探究： （2）如图，连接，将射线绕点旋转，使，作于点，延长交于点．求证：为中点． 问题拓展： （3）连接，将射线绕点旋转，使且，作于点，延长交于点，若，直接写出______． 【思路点拨】 （1）连接，利用等腰三角形的性质，余角的性质等可得出，，，然后证明，再利用全等三角形的性质即可得证； （2）连接，作的平分线交于P，利用等腰三角形的性质，角平分线定义，余角的性质等可得出，，，然后证明，得出，设，，利用三角形外角的性质可得出，，然后证明，，即可得证； （3）分两种情况讨论：①由（1）知当时，，连接，过G作于P，过E作于Q，利用含的直角三角形性质，勾股定理等可求出，，证明是等腰直角三角形，得出，， ，，，，同理可得是等腰直角三角形，求出，，然后根据勾股定理求出；②当时，可证，得出，过H作于P，连接，同①可求：，，，利用勾股定理求出，取中点，连接，，利用三角形中位线定理得出，，进而得出，由（1）同理可证，，即可求解． 【解题过程】 （）证明：连接， ∵，，为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接，作的平分线交于P， ∵，，为中点， ∴，，，， 又， ∴， 又平分， ∴， 又， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即E为中点； （3）解：①由（1）知当时，， 如图，连接，过G作于P，过E作于Q 由（1）知， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，，， ∴， ∴， 如图，过H作于P，连接， 同①可求：，， 由①知：， ∴， ∴， 取中点，连接，， ∴，， 又， ∴， 由（1）同理可证， ∴， ∴， 综上，长为或． 26．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再根据得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （2）连接，，与的延长线交于点M，先证明和全等得，，进而得，则，再证明是的中位线，是的中位线，则 ，， ，进而得，，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （3）①先证明，进而可依据“”判定和全等，然后个根据全等三角形的性质可得出结论； ②连接，设与交于点N，先证和全等得，由此得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出线段与的数量关系． 【解题过程】 解：（1），理由如下： 连接， ∵在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （2），理由如下： 连接，，与的延长线交于点M， ， ， ， ， ∴在和中， ， ，， ， ， 即， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （3）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ②，理由如下： 连接，设与交于点N， 在中，， ， ， ， $ 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位， ， ，， ， ，， 是等边三角形， 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$