第八章 空间直线、平面的平行（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第八章 空间直线、平面的平行 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二·全国·课后作业）已知平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系是（    ） A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、异面或相交 【答案】D 【分析】根据空间直线的位置关系判断． 【详解】平面平面，直线，直线，间可能相交，可能平行，也可能异面．如正方体中，上下底面都与平面平行，上下底面两个正方形的边所在直线都与平面平行，这些直线间，，，与异面． 故选：D． 2．（2025高三下·河南·阶段练习）已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】分别取，，CD的中点H，E，F，连接，HN，AF，EF，可得平面平面，，，EF为平面与正方体各面的交线，则可得梯形即为所求截面，求出其面积可得答案 【详解】如图， 分别取，，CD的中点H，E，F，连接，HN，AF，EF． 易得，则平面，又平面，故平面平面， 又，故为平面与平面的交线； 因为，故为平面与平面的交线； 而，故EF为平面与平面的交线， 故梯形的内部即为所求截面． 由已知得，，， 梯形的高为， 故． 故选：B． 3．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，P是所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点，，，若，则等于 A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由面面平行的性质定理可得，，，可得， 由已知条件可求出，再利用平行线段的比例关系，即可求解. 【详解】由平面平面ABC，侧面分别与平面， 平面ABC交于，所以， 同理可得，， 因为 与方向相同，所以， 同理，所以， 所以，所以， 所以. 故选:D 【点睛】本题考查面面平行的性质定理的应用，考查等角定理，属于中档题. 4．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【详解】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 5．（2025·福建厦门·二模）如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：记AC∩BD=O，则MN∥OD1，利用线面平行的判定可得MN∥平面BD1D． 详解： A：和是异面直线，故选项不正确； B：和是异面直线，故选项不正确； C：记AC∩BD=O． ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点， ∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=CD， ∴MNOD1为平行四边形， ∴MN∥OD1， ∵MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D， ∴MN∥平面BD1D． D：由C知，而面和面相交，故选项不正确； 故答案为C. 点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断. 6．（2025高三·贵州贵阳·开学考试）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理即可证明AF平面BCD，进而得到①正确；求得BE与平面CDF相交，进而得到②错误；利用线面平行判定定理即可证明CD平面BEF，故③正确． 【详解】对于①，由题意得，∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AFBC， ∵平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴AF平面BCD，故①正确； 对于②，取DF中点G，连接EG，CG， ∵E是AD中点，AFBC，AFBC， ∴EGBC，EGBC ∴四边形为梯形， ∴直线BE与直线CG相交， ∴BE与平面CDF相交，故②错误； 对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴O是AC中点， ∴OECD， ∵OE⊂平面BEF，平面BEF， ∴CD平面BEF，故③正确． 故选：C． 7．（2025高二上·浙江温州·期中）正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（      ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG，证明平面MEF平面PQGH，进而有EF平面PQGH，所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH，从而即可求解. 【详解】解：取中点为M，连接ME、MF，取CD、CB中点分别为P、Q，连接QH、PQ、QG， 在正方体中，由题意四边形PQGH为矩形，且MEGH，MFQG， 因为ME平面PQGH，MF平面PQGH，GH平面PQGH，QG平面PQGH， 所以ME平面PQGH，MF平面PQGH， 又MEMF=M， 所以平面MEF平面PQGH， 因为EF平面MEF，所以EF平面PQGH， 所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形PQGH， 因为正方体的棱长为2，所以, 所以矩形PQGH的面积为, 所以过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为， 故选：C. 8．（2025高二上·北京海淀·期中）如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且，则的最大值为． A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【详解】 正方体中，连接，，交于点，则点满足条件； 证明如下，连接，交于点，连接，， 则，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又平面，且平面， ∴平面， 同理，平面， ∴当在直线上时，都满足， ∴是最大值． 故选项是正确的． 点睛：这是立体中空间角的问题，点动，引起直线动，动直线形成动平面，因此这个题目先研究动点的轨迹，通过线面平行，先过点B做出和已知平面平行的平面，从而得到动点的轨迹是上面的对角线．再根据角的正切值，找出范围． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·河南濮阳·期中）如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】作出过点、、的截面，由、、与截面相交可判断ABC选项，利用面面平行的判定定理可判断D选项. 【详解】过点、、的截面如图所示（、、均为中点）， 所以直线与截面交于点点，故A项错误； 直线与直线在平面必定相交，故B项错误； 直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误； 因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，则平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面，D对. 故选：ABC. 10．（2025高一下·全国·课后作业）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABD 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 11．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（    ） A．平面APC B．平面 C．A，P，M三点共线 D．平面平面ABCD 【答案】AB 【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平面的性质以及平面与平面相交的性质进行判断即可. 【详解】平面APC即为平面，，即，而平面， 因此有平面，所以A正确.由平面平面，又平面，故平面，所以B正确.平面APC即为平面，共线，所以A，P，M三点不共线；所以C不正确. 平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以D不正确. 故选：AB 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的性质以及平面与平面相交的定义，属于基础题. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二下·山西吕梁·开学考试）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱中点，能得出平面的图形的序号是 ． 【答案】、 【分析】根据线面平行的判定定理分别判断即可. 【详解】对于图1，如下图，由，，分别为其所在棱中点，易知，， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面. 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 故图1符合题意. 对于图2，如下图，取底面正方形的中心为，连结，可知， 显然平面，即与平面相交， 故与平面也相交，即图2不符合题意. 对于图3，如下图，连结，因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为分别为其所在棱的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 故图3符合题意. 对于图4，如下图，点为其所在棱的中点， 因为，所以为平行四边形，则， 因为平面，即与平面相交，所以与平面也相交. 故图4不符合题意. 故答案为：1、3. 13．（2025高一·全国·课后作业）如图，平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B，D，A1，且α与平面A1B1C1D1的交线为l，则l与B1D1的位置关系是 ，平面α与平面CB1D1的位置关系是 . 【答案】 平行 平行 【分析】（1）先证得BD平面A1B1C1D1.，然后根据线面平行的性质即可得到结果. （2）直接利用面面平行的判定定理即可得到结果 【详解】（1）因为DD1BB1，DD1=BB1， 所以四边形BDD1B1是平行四边形. 所以BDB1D1. 又B1D1⊂平面A1B1C1D1，BD⊄平面A1B1C1D1， 所以BD平面A1B1C1D1. 又BD⊂α，α∩平面A1B1C1D1=l，所以lBD. 所以lB1D1. （2）因为DD1BB1，DD1=BB1， 所以四边形BDD1B1是平行四边形. 所以BDB1D1. 因为A1D1BC，A1D1=BC， 所以四边形A1D1BC是平行四边形. 所以A1B D1C. 又BD与A1B相交于点B， 所以由面面平行的判定定理可知平面A1BD平面 C B1D1， 即平面α平面CB1D1 14．（2025高一下·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是 . 【答案】 【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断P位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结果． 【详解】如下图所示， 分别取棱的中点、，连接， ∵分别为所在棱的中点，则， ∴，又平面， 平面， ∴平面． ∵， ，∴四边形为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面，又， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 在中，． 同理，在中，可得， ∴为等腰三角形． 当点为中点时，即 ，此时最短； 又， ∴线段长度的最小为． 故答案为：． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接与交于点O，连接OD，证明，平面即得证. 【详解】如图所示： 连接与交于点O，连接OD， 因为O，D为中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法. 方法一（几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现的主要是一个转化的思想. 方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 16．（2025高二·全国·课后作业）如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D. （1）求证：； （2）已知，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由面面平行的性质定理得证线线平行； （2）由平行线的性质可求得线段长． 【详解】（1），所以确定一个平面， 由题意平面，平面， 所以； （2）由（1），所以，所以， 所以． 17．（2025高一下·福建厦门·阶段练习）在正方体中，分别是和的中点.求证： (1)平面. (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线线平行（）证线面平行即可 （2）先用线线平行（）证线面平行（平面），再证面面平行即可 【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以. 因为平面平面， 所以平面， （2）连接，因为四边形为正方形，为中点， 所以为中点. 又因为为中点，所以. 因为平面平面 所以平面. 由（1）知平面，又，平面， 所以平面平面. 18．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在棱长为的正方体中， 分别是的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【详解】试题分析：（1）利用中位线，证明即可证得 ；（2）由（1）知；（3）利用中位线，证明 且，所以四边形 为平行四边形，故,所以 . 试题解析： （1）证明：法一 如图，连接. 分别是 的中点， ∴. 又， ， ∴. 法二 取的中点 ，连接， 则有，且 ， ∴. 又，∴ . （2）由（1）易知. （3）证明：法一 取的中点 ， 连接，则有 . 又， ∴. ∴四边形为平行四边形，∴ ， 又， ∴. 法二 取的中点 ，连接， 则有，且 ， ∴. 又，∴ . 考点：证明线面平行. 19．（2025高二上·安徽合肥·阶段练习）已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且． （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析． 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面； （2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可． 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形， 所以， 故， 所以， 又因为， 所以， 所以． 又平面，平面， 故平面． （2）当的值为时，能使平面平面． 证明：因为， 即有， 故． 所以． 又平面，平面， 所以平面， 又，平面． 所以平面平面． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 空间直线、平面的平行 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高二·全国·课后作业）已知平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系是（    ） A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、异面或相交 2．（2025高三下·河南·阶段练习）已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，P是所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点，，，若，则等于 A． B． C． D．1 4．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 5．（2025·福建厦门·二模）如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·贵州贵阳·开学考试）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025高二上·浙江温州·期中）正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（      ） A． B．2 C． D．4 8．（2025高二上·北京海淀·期中）如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且，则的最大值为． A． B．3 C．2 D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·河南濮阳·期中）如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．平面平面 10．（2025高一下·全国·课后作业）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 11．（2025高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（    ） A．平面APC B．平面 C．A，P，M三点共线 D．平面平面ABCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二下·山西吕梁·开学考试）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱中点，能得出平面的图形的序号是 ． 13．（2025高一·全国·课后作业）如图，平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B，D，A1，且α与平面A1B1C1D1的交线为l，则l与B1D1的位置关系是 ，平面α与平面CB1D1的位置关系是 . 14．（2025高一下·江苏无锡·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面； 16．（2025高二·全国·课后作业）如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D. （1）求证：； （2）已知，求的长. 17．（2025高一下·福建厦门·阶段练习）在正方体中，分别是和的中点.求证： (1)平面. (2)平面平面. 18．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在棱长为的正方体中， 分别是的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：. 19．（2025高二上·安徽合肥·阶段练习）已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且． （1）求证：平面； （2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$