第八章 空间直线、平面的垂直（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第八章 空间直线、平面的垂直 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一·全国·课后作业）在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质即可得出答案. 【详解】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合， 所以． 故选：B. 2．（2025·全国·高考预测题）如果直线l，m与平面满足和，那么必有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系. 【详解】由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交. 综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交． 故选：A 3．（2025高一·全国·课后作业）如图，平面于，在图中与垂直的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】根据题意可知平面，故面内直线与垂直，由图象可知4条. 【详解】∵平面平面，∴.又∵平面，平面，∴平面，∴平面中有4条直线与垂直.选D. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，线面垂直的性质，属于中档题. 4．（2025高三下·上海杨浦·阶段练习）在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】D 【分析】根据正方体的线面关系证明平面，来验证命题①；求证平面，来验证命题②即可得结论. 【详解】对于①，如图，连接    在正方体中，有正方形，所以， 又，所以四边形为平行四边形，故确定唯一的平面， 又平面，平面，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合才符合题意,与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确； 对于②，如图，连接交于，连接      由①得平面，又，所以四边形为平行四边形，所以，则平面， 因为平面，所以 又因为正方形，所以，又平面，平面，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面，又平面，所以 于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确. 故选：D. 5．（2025高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，平面，且，点在边上.若要使，则这样的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【分析】连接，设， 由得，解方程可得答案. 【详解】若， 连接，平面，所以，， 设，则， 所以， ， ， 由得， 整理得，解得， 则这样的点有1个. 故选：B. 6．（2025高一·全国·课后作业）已知:平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度为（    ） A．13 B． C．12 D．15 【答案】A 【分析】首先根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，再利用勾股定理求解的长度即可. 【详解】如图，连接AD.    因为平面平面，，， 所以平面， . 在中，， 在中，. 故选：A 7．（2025·安徽安庆·二模）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于.其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】如图1，取AD中点M，连接MD1与MQ，说明PQ与BD1异面，判断①；如图2，取CD中点R，可得平面PQR∥平面BB1D1D，判断②；通过PQ⊥B1C，则C1Q⊥B1C，推出矛盾，判断③；利用体积求解判断④. 【详解】解：如图1，取AD中点M，连接MD1与MQ，则MQ∥D1C1，B平面MQC1D1，则PQ与BD1异面，矛盾，故①错误；如图2，取CD中点R，易得平面PQR∥平面BB1D1D，故②正确；若③正确，则PQ⊥B1C，则C1Q⊥B1C，矛盾，故③错误； 如图2，.故④正确. 故选：C. 8．（2025高三上·河北衡水·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，给出下列结论：①平面，②，③平面平面，其中正确结论的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】在①中，由已知推导出，，从而得到平面；在②中，由已知推导出平面，从而，进而得到；在③中，由② 知平面，所以平面平面，故③正确. 【详解】解：在①中：在直三棱柱中，平面，平面， ，，是的中点， ，，平面， 平面，故①正确； 在②中：平面，平面，平面， ，， ，，平面， 平面，平面，， ，，，故②正确； ③ ：由② 知平面，又因为平面，所以平面平面故③正确. 综上所述，正确结论的个数为3. 故选：D 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·单元测试）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（    ） A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立 【答案】ABD 【分析】由立体几何知识对选项逐一判断 【详解】对于A，因为四边形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD与EF相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误； 对于B，因为四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE与EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误； 对于C，因为四边形ABFE是梯形，AE//BF，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立，故C正确； 对于D，因为四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D错误． 故选：ABD 10．（2025高一·全国·单元测试）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理判断A；由，为的中点，得到，再结合平面判断C；根据平面即可判断B；由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D. 【详解】平面，平面 ，又，平面且 平面，故A正确 由平面，平面 得 又，是的中点， 又平面， 平面，平面 ，故B,C正确 由平面，平面 得 因为与不平行 因此与不垂直 从而不与平面垂直，故D错误 故选：ABC. 11．（2025高一下·全国·课后作业）(多选)如图，在梯形中，，，,分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折．给出四个结论： ①；②；③平面⊥平面,；④平面⊥平面． 在翻折的过程中，可能成立的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】 对于①：因为，与相交不垂直，所以与不垂直,则①错误； 对于②：设点在平面上的射影为点,当时就有, 而,为锐角，所以可作出，从而满足条件,所以②正确； 对于③：当点落在上时, 平面,从而平面⊥平面,所以③正确； 对于④：因为,所以点的投影不可能在上，所以平面⊥平面不成立，即④错误． 故选:BC. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一上·陕西西安·阶段练习）如图，是直角三角形，，平面，此图形中有 个直角三角形. 【答案】3 【分析】先判断是直角三角形，然后利用平面，证明、是直角三角形；利用判断不是直角三角形. 【详解】首先，底面是直角三角形； ∵平面，∴ ，， 所以、是直角三角形； 由、、是直角三角形，可得： ∴ ∴不是角三角形. 综上：在此图形中有3个直角三角形. 故答案为：3 13．（2025高二·全国·课后作业）如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为 . 【答案】 【分析】要求点P到直线BD的距离，需要作出P到直线BD的高，然后计算即可. 【详解】 过作于，连接， 直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面 .为所求的距离， 在中， , 在中，, 故答案为： 14．（2025·四川宜宾·二模）如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：      ①平面； ②四点、、、可能共面； ③若，则平面平面； ④平面与平面可能垂直.其中正确的是 . 【答案】①③ 【分析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示： 则且，四边形是矩形，且，为的中点， 为的中点，且，且， 四边形为平行四边形，，即， 平面，平面，平面，命题①正确； 对于命题②，，平面，平面，平面， 若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得， 则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾. 所以，命题②错误； 对于命题③，连接、，设，则， 在中，，，则为等腰直角三角形， 且，，，且， 由余弦定理得，， ，又，，平面， 平面，， ，、为平面内的两条相交直线，所以，平面， 平面，平面平面，命题③正确； 对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面，， ，，，，， 又，平面，平面，. ，平面，平面，. ，，显然与不垂直，命题④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·全国·课后作业）在直角梯形中，，，，，将沿对角线折起，折起后点A的位置记为P，且使平面平面.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】证明，根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】证明：因为，， 所以. 因为，， 所以. 所以，即. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 因为，，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 16．（24-25高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证： (1)； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在正方体中，平面， ∵平面，∴， 又四边形为正方形，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. （2） 与（1）中证明同理可证，又， （3） 平面， ∴平面． 17．（2025高二上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直. 【详解】（1）连接, ∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， ∴△为等边三角形， 又 ∵G为AD的中点， ∴ BG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. （2）如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD. 由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB， ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB. 18．（2025高一·天津红桥·学业考试）如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，即可得证； 【详解】解：（1）因为M、N分别是BC、PC 的中点， 所以， 又平面， 平面， 则平面 （2）因为PA⊥底面ABC， 且 平面ABC， 所以， 又， 且，平面 所以平面， 又平面， 所以BC⊥PC. 19．（2025高一·全国·课后作业）如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，E， F分别为AB， PC的中点． (1)求证：EF⊥AB； (2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：平面EFD⊥平面PDC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PD的中点M，连接AM， FM，首先证出，再由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD，进而证出EF⊥AB. （2）由面面角可得AM⊥PD，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）取PD的中点M，连接AM， FM. 因为F为PC的中点，所以MFCD，且 因为矩形ABCD，所以ABCD，从而MF，且 因为E为AB的中点，所以AE，从而AEMF，且AEMF， 所以四边形AEFM是平行四边形，从而. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB. 因为矩形ABCD，所以AB⊥AD. 又PA∩AD＝A， PA， AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD， 从而AB⊥AM，所以EF⊥AB. （2）由题意可知∠PDA为二面角P­CD­A的平面角，所以∠PDA＝45°，从而PA＝AD. 因为M为PD的中点，所以AM⊥PD. 由(1)知AB⊥AM，，，所以EF⊥PD， EF⊥CD. 又PD∩CD＝D， PD， CD⊂平面PDC，所以EF⊥平面PDC. 又因为EF⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面PDC. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 空间直线、平面的垂直 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一·全国·课后作业）在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（    ） A． B． C．与l异面 D．与l相交 2．（2025·全国·高考预测题）如果直线l，m与平面满足和，那么必有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025高一·全国·课后作业）如图，平面于，在图中与垂直的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（2025高三下·上海杨浦·阶段练习）在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（    ）   A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 5．（2025高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，平面，且，点在边上.若要使，则这样的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．（2025高一·全国·课后作业）已知:平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度为（    ） A．13 B． C．12 D．15 7．（2025·安徽安庆·二模）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于.其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 8．（2025高三上·河北衡水·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，给出下列结论：①平面，②，③平面平面，其中正确结论的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·单元测试）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是（    ） A．存在某一位置，使得CD//平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF//平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立 10．（2025高一·全国·单元测试）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B． C．平面 D．平面 11．（2025高一下·全国·课后作业）(多选)如图，在梯形中，，，,分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折．给出四个结论： ①；②；③平面⊥平面,；④平面⊥平面． 在翻折的过程中，可能成立的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高一上·陕西西安·阶段练习）如图，是直角三角形，，平面，此图形中有 个直角三角形. 13．（2025高二·全国·课后作业）如图，设P为矩形ABCD所在平面外一点，直线PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为 . 14．（2025·四川宜宾·二模）如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：      ①平面； ②四点、、、可能共面； ③若，则平面平面； ④平面与平面可能垂直.其中正确的是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高二·全国·课后作业）在直角梯形中，，，，，将沿对角线折起，折起后点A的位置记为P，且使平面平面.求证：平面平面. 16．（24-25高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证： (1)； (2)平面. 17．（2025高二上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 18．（2025高一·天津红桥·学业考试）如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点. （1）求证：MN//平面PAB； （2）求证：BC⊥PC. 19．（2025高一·全国·课后作业）如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，E， F分别为AB， PC的中点． (1)求证：EF⊥AB； (2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，求证：平面EFD⊥平面PDC. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$