专题06 几何压轴大题（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题06 几何压轴大题 题型概览 题型01等腰三角形综合证明大题 题型02一次函数与几何综合大题 题型03旋转与折叠相关的几何综合大题 等腰三角形综合证明大题题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为，，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，，为中点，交延长线于点，于．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若求的面积． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图 1，等边三角形中，于点 E，以点C为直角顶点在的同侧作等腰直角三角形，点 M 是射线上的动点，连接，以所在的直线为对称轴，作点B的对称点为，连接交 直线于点 N，试探究的度数． 【探究发现】 （1）如图2，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点与点 A 重合时，易得出 的度数是 ； 【数学思考】 （2）如图 1，猜想当点M 在线段上时，的度数是否发生变化，并说明理由； 【拓展引申】 （3）当点M 在线段的延长线上时，在备用图中画出图形，并直接写出的度数． 5．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；    （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线；    【应用概念】： （3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________． 7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 8．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）【模型感知】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    （1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ． 【模型应用】在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （2）如图2，当点落在边上时，求证：； （3）利用备用图研究：点在直线运动过程中，当满足时，的大小．（直接写出结果即可） 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 10．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）问题发现： （1）如图①，在中，，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则之间的数量关系是 ；与的数量关系是 ． 类比探究： （2）如图②，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．直接写出的度数及与的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请猜想的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若，，求四边形的面积． 11．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）（1）如图1，为等边三角形，点为边上一点，将线段绕A点逆时针方向旋转得到线段，连接，求证： （2）如图2，在中，，，点为边上一点，将线段绕A点逆时针方向旋转得到线段，连接，若，求线段的长度． （3）如图3，在中，，，点为右侧一点，连接，若，，，请直接写出线段的长度． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知：在中，，．    【初步发现】（1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_________________________． 【深入研究】（2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】（3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 一次函数与几何综合大题题型02 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）解答下列问题． (1)【数学阅读】 如图，在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，求证：． 小尧的证明思路是：如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．    (2)【推广延伸】 如图，当点在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明．    (3)【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中有两条直线，，分别是函数和的图象，，与轴的交点分别为，．    ①两条直线的交点的坐标为______； ②说明是等腰三角形； ③若上的一点到的距离是，运用上面的结论，求点的坐标． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． (1)求点的坐标，直接出直线的表达式； (2)如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． (3)如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）综合与探究 等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标． (3)若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值． 16．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点． (1)求直线的函数关系式； (2)如图2，若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若直线与有公共点，直接写出的取值范围． 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 　　， 　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，，且，连接．求的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 旋转与折叠相关的几何综合大题题型03 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于180°），点和点是对应点；和所在直线相交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，若，求线段的长． 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了轴对称、平移、旋转这三类基本的图形运动，这三类变化有一个基本性质，即图形的位置发生了改变，但图形的形状与大小都不改变．李老师在“图形的变化”主题下设计了这样一个问题背景：如图1，已知和均为等边三角形，，点D，E分别为边的中点．在此情境下，同学们提出了如下问题，请你解答． (1)【观察发现】如图2，将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为_________； (2)【尝试探究】如图3，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，当点B，，在同一条直线上时，求证：平分； (3)【拓展应用】如图4，先将绕点A按逆时针方向旋转，再沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离，并选择其中一种情况写出解决过程． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】 （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，，连接，，若，求的长； 小明是这样想的：如图2，把绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．连接，则可以得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长，又易证，从而求的长； 小亮是这样想的：如图3，把和分别沿和所在直线折叠，得到和，从而得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长； 根据小明或小亮的做法，可以求得________； 【拓展延伸】 （2）如图4，在等边中，点，在边上，且，连接，，若，求的边长； 【解决问题】 （3）在某公园的水平空地上，四条道路围成四边形，已知米，，，．道路，上有两个景点，分别记作，（如图5所示），测得米，米．若在，之间修一条直路，请直接写出走路线比走路线少走多少米？    23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N，连接，此时E、F、N在同一直线上． (1)与的数量关系为 ；的形状为 三角形； (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转． ①当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． “洞察小组”提出问题是（1）中形状的结论是否仍然成立？若成立，请你证明；若不成立，请你写出新的结论，并证明； ②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周过程中，连接，点G为中点，的最大值为 ；当最小时，请直接写出点F到直线的距离． 26．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 27．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 28．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 29．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 33．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和、之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是 ； （2）和、之间的数量关系是 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，平分，，，，求的长． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 33．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？ (1)特例初探： 如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；    (2)规律探究： 如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；    (3)拓展应用： 已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，． 求：的面积．    35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论． 【发现与证明】 在中，，将沿翻折至，连接． 结论1：； 结论2：与重叠部分的图形是等腰三角形． 请利用图1证明结论Ⅰ或结论2． 【应用与探究】 在中，，将沿翻折至，连接． （1）如图2，，，与相交于点E，求的面积； （2）已知，当的长为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何压轴大题 题型概览 题型01等腰三角形综合证明大题 题型02一次函数与几何综合大题 题型03旋转与折叠相关的几何综合大题 等腰三角形综合证明大题题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线 (2)成立，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】见详解 【详解】（1）解：AE是∠FAD的角平分线； （2）解：成立，如图，延长FE交AD于点B， ∵E是DC的中点， ∴EC=ED， ∵FC⊥DC，AD⊥DC， ∴∠FCE=∠EDB=90°， 在△FCE和△BDE中， , ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分线； （3）解：成立，如图，延长FE交AD于点B， ∵AD=DC， ∴∠FCE=∠EDB， 在△FCE和△BDE中， , ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分线. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键. 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【教材再现】 （1）期中复习期间，数学老师沈老师将教材42页例5复印下来，请你再一次完成证明． 如图1，，，垂足分别为，，，求证：． 【变式拓展】 （2）沈老师改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，，为中点，交延长线于点，于．求证：． 【学以致用】 （3）在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，再利用斜边直角边证明即可得到结论； （2）如图，连接，作交于点．证明，可得，再证明，可得是等腰直角三角形．再证明，从而可得结论； （3）如图，取中点，连接．证明，． 求解．再证明，可得，由（2）得，可得，再利用面积公式可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图，连接，作交于点． 交延长线于， ， ． ∵为中点， ， ， ． ，， ， ． ， 又， ． ，即． ， ， ，． 是等腰直角三角形． ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ． （3）如图，取中点，连接． 与关于直线成轴对称， ， ，． 由（2）得， ， ， ． 为中点， ， ， ， ． 为等腰直角三角形， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， 由（2）得， ． ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图 1，等边三角形中，于点 E，以点C为直角顶点在的同侧作等腰直角三角形，点 M 是射线上的动点，连接，以所在的直线为对称轴，作点B的对称点为，连接交 直线于点 N，试探究的度数． 【探究发现】 （1）如图2，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点与点 A 重合时，易得出 的度数是 ； 【数学思考】 （2）如图 1，猜想当点M 在线段上时，的度数是否发生变化，并说明理由； 【拓展引申】 （3）当点M 在线段的延长线上时，在备用图中画出图形，并直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）图见详解，或 【分析】（1）由等边三角形和等腰直角三角形的性质得出，，，进而可得出，由三角形内角和定理得出，由轴对称的性质得出，最后由三角形外角的定义即可得出答案． （2）不变，解析过程同（1）． （3）分两种情况，当点在射线的左侧时和当点在射线的右侧时，分别画出图形，利用等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的定义以及性质求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵B以为轴对称的对称点为，且与点 A重合， ∴， ∵是的一个外角， ∴． （2）不变，理由如下： 设， ∵点B与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． （3）分两种情况，当点在射线的左侧时，如下图： 设， ∵点B与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 当点在射线的右侧时，如下图： 设， ∵点B与关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 综上：当点M 在线段的延长线上时，或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理等知识，掌握这些性质以及判定是解题的关键． 5．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；探究： 【分析】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． （1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）设等边三角形的边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；    （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线；    【应用概念】： （3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，和是等腰三角形，四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可分别求得 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， 设，则， 则， 由题意得，，解得， ∴， ∴， ∴的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【详解】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 8．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）【模型感知】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    （1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ． 【模型应用】在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （2）如图2，当点落在边上时，求证：； （3）利用备用图研究：点在直线运动过程中，当满足时，的大小．（直接写出结果即可） 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据题意可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解； （2）作交于点，连接，证明得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，得出，即可得证； （3）分两种情况讨论，当在点的右边时，在点的左边时，分别画出图形，同（2）可得，根据，以及勾股定理得出，进而结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）已知与都是等腰三角形，，，且， ∴，即， 在与中， ， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，作交于点，连接，    ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）如图所示，当在点的右边时，    同（2）可得 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴ 当点在点的左边时，如图所示，    同理可得 ∴ 综上所，或 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，关键是利用三角形的内角和外角找出找出所求角的关系． （1）用证明即可． （2）利用全等可得，，可得出的度数． （3）仿造（1）证明，可得，再利用三角形内角和等于，可得出角的关系． 【详解】（1）证明：与均为等边三角形， ，，， ， ， ． （2）解：． 由（1）知， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． （3）解：． ，，， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）问题发现： （1）如图①，在中，，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则之间的数量关系是 ；与的数量关系是 ． 类比探究： （2）如图②，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．直接写出的度数及与的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请猜想的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）的度数是，；（3），，理由见解析；（4） 【分析】（1）由，分别在上，且，得，，则，得到答案； （2）由等边三角形的性质得，，，则，可根据“”证明，则，，所以； （3）由和都是等腰直角三角形，，得，，，所以，，可根据“”证明，则，，所以，； （4）由，，，得，． 【详解】解：（1）根据题意，∵，分别在上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴的度数是，； （3）结论：，， 理由：根据题意，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 11．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）（1）如图1，为等边三角形，点为边上一点，将线段绕A点逆时针方向旋转得到线段，连接，求证： （2）如图2，在中，，，点为边上一点，将线段绕A点逆时针方向旋转得到线段，连接，若，求线段的长度． （3）如图3，在中，，，点为右侧一点，连接，若，，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等边三角形和旋转的性质证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由题意可得、，在证可得、，进而得到，最后根据勾股定理即可解得； （3）如图3：作，交延长线于，连接，延长交于H，先证可得、、，再根据直角三角形的性质可得，进而得到，，最后在中运用勾股定理即可解得． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵线段绕A点逆时针方向旋转得到线段， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴． （2）如图：连接， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴， ∴． （3）如图3：作，交延长线于，连接，延长交于H， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，， ∵， ∴，，， 在中，， ∴． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）已知：在中，，．    【初步发现】（1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_________________________． 【深入研究】（2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】（3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 【答案】12． 成立，理由见解析 或 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 12．证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：①当点D在线段上时，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图，    由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理根据知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 一次函数与几何综合大题题型02 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）解答下列问题． (1)【数学阅读】 如图，在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，求证：． 小尧的证明思路是：如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．    (2)【推广延伸】 如图，当点在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明．    (3)【解决问题】 如图，在平面直角坐标系中有两条直线，，分别是函数和的图象，，与轴的交点分别为，．    ①两条直线的交点的坐标为______； ②说明是等腰三角形； ③若上的一点到的距离是，运用上面的结论，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：．证明见解析 (3)①；②见解析；③点的坐标为或 【分析】（1）连接，由与面积之和等于的面积可以得证； （2）连接，同理利用与面积之差等于的面积可以证得结论； （3）①根据一次函数图象，联立和，解方程组即可求得点的坐标； ②求出、的坐标，根据坐标求出线段和的长相等，即可求证； ③分两种情况：在线段上时和在线段外，再分别根据图②和③的结论，求得到的距离，即点的纵坐标，再代入的解析式可求出的坐标． 【详解】（1）如图2，连接． ，，， ，，， ， ， 又， ． （2）猜想：． 证明：如图3，连接．     ，，， ，，， ， ， 又， ． （3）①直线和相交于点， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：； ②，令，则， ． ，令，则， ， ， 在中，， ， ， ， 是等腰三角形． ③当在线段上时，过分别作轴，，垂足分别为，，    上的一点到的距离是， ， 由图2的结论得：， ， 点的纵坐标为， 又在直线上， 当时，， 坐标为； 同理，由前面结论可知当点在线段外时，有， 可求得或，即点的纵坐标为或， 分别代入，可求得或（舍，因为它到的距离不是）， 点的坐标为． 综上可知，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． (1)求点的坐标，直接出直线的表达式； (2)如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． (3)如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在， 【分析】（）过点作轴，垂足为，由一次函数可得坐标，即得，， 再证明，可得，，进而可得，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，进而证明，得到，，即得，据此即可求解； （）求出点和点坐标，再求出， 根据列出方程求出即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ∵直线，令，可得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵ 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：在线段上存在一点，使直线平分的面积． 如图， ∵直线解析式为，是线段上一点， ∴， ∴， 将代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）综合与探究 等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标． (3)若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)（0，） (3)OP的最小值为 ，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，而，，则，即可根据“”证明； （2）由是等边三角形，，得，由，，得，则，，所以，则，求得，所以点的坐标为； （3）作于点，则，由，可知点在经过点且与轴所夹的锐角为的直线上运动，因为，所以，则，所以的最小值为． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：如图2，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 点的坐标为． （3）解：的最小值为， 理由：如图3，作于点，则， 由（1）得， ， 点在经过点且与轴所夹的锐角为的直线上运动， ，，， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角的对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 16．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点． (1)求直线的函数关系式； (2)如图2，若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若直线与有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用；全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过点作轴于点，证明，进而求得 再根据待定系数法求得； （2）过点作轴于，设点的坐标为，根据，即可求解； （3）分别求得直线经过点时的值，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵点和点坐标分别为和， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 （2）如图2，过点作轴于， 设点的坐标为， 当时， ， 解得：， ； （3）当直线经过点时， 解得：， 当直线经过点时，， 解得： 观察图形可得：直线与有公共点，则 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式 (3)或 【分析】（1）点一次函数的图象与正比例函数的图象交点，由点的纵坐标为1，代入，得出点的坐标，在代入求出的值． （2）由，则，所以，然后求出点的坐标，在代入，求出值，从而得出解析式． （3）由等腰直角三角形的性质，结合两点间的距离，得出，得出值，从而得出点 的坐标． 本题考查了一次函数解析式的确定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：将代入，得． 把代入， ， ∴． （2）解：如图 ∵， ∴当时，则， 记与轴交于点， ∵与的面积相等 即 ∵ ∴， 即， ∴． 把代入 得 ∴ 把代入直线中， 得． 解得：， 直线的解析式． （3）解：依题意，平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形， ∴与交于，与交于， ，过点作，如图所示： 则，． 是以为边的等腰直角三角形，， ∴点P的纵坐标与的中点的纵坐标是相等的， ， ． ∵， ， ， 解得或． 或． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，   ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 　　， 　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，，且，连接．求的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，过点作于点，证明，则，，最后证明△是等腰直角三角形，从而可解答此题； （3）分三种情况讨论：①当时，如图3，过点作轴于；②当时，如图4，过点作轴于；③当时，如图6，过点作轴于，过点作于；证明三角形全等，同理可得结论． 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ，， 故答案为：；； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （3）分三种情况： ①当时，如图3，过点作轴于， 由（2）可知， ， 是等腰直角三角形， ， 同理得：， ，， ， ， ； ②当时，如图4，过点作轴于， ， 同理得：， ，， ， ； 同理：如图5，，， ， ； ③当时，如图6，过点作轴于，过点作于， 同理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 旋转与折叠相关的几何综合大题题型03 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于180°），点和点是对应点；和所在直线相交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据证明即可解题； （2）连接，根据勾股定理求出，由①得，即可得到，然后根据勾股定理得到即可解题． 【详解】（1）证明：连接， 旋转得到， ，， ， ． ，， ； （2）解：连接， ，， ， 在中，． 由①得， ，， ， ， ， ． 旋转得到， ， ． 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了轴对称、平移、旋转这三类基本的图形运动，这三类变化有一个基本性质，即图形的位置发生了改变，但图形的形状与大小都不改变．李老师在“图形的变化”主题下设计了这样一个问题背景：如图1，已知和均为等边三角形，，点D，E分别为边的中点．在此情境下，同学们提出了如下问题，请你解答． (1)【观察发现】如图2，将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为_________； (2)【尝试探究】如图3，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，当点B，，在同一条直线上时，求证：平分； (3)【拓展应用】如图4，先将绕点A按逆时针方向旋转，再沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离，并选择其中一种情况写出解决过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，过程见解析 【分析】（1）根据中点的性质和平移的性质，求解即可； （2）证明，得到，利用等边三角形的性质和角的和差关系，即可得出结论； （3）根据旋转和平移的性质，得到为等边三角形，当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，分分别为直角顶点，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点D为边的中点． ∴， ∴将沿射线方向平移得到，当点与点B重合时，平移的距离为； 故答案为：； （2）∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B，，在同一条直线上， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）由旋转和平移的性质可知：为等边三角形， ∴，， 当以B，，为顶点的三角形为直角三角形时，分两种情况讨论： ①当点为直角顶点时，如图，则：， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即平移距离为； ②当点为直角顶点时，设交于点，如图，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 即平移距离为； 综上：平移的距离为或． 【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】 （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，，连接，，若，求的长； 小明是这样想的：如图2，把绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．连接，则可以得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长，又易证，从而求的长； 小亮是这样想的：如图3，把和分别沿和所在直线折叠，得到和，从而得到直角三角形，利用勾股定理可以求出的长； 根据小明或小亮的做法，可以求得________； 【拓展延伸】 （2）如图4，在等边中，点，在边上，且，连接，，若，求的边长； 【解决问题】 （3）在某公园的水平空地上，四条道路围成四边形，已知米，，，．道路，上有两个景点，分别记作，（如图5所示），测得米，米．若在，之间修一条直路，请直接写出走路线比走路线少走多少米？    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等： （1）小明的做法，根据题目所给的思路进行求解即可；小亮的做法，根据题目所给的思路进行求解即可； （2）证，得，过点F作，交的延长线于点G，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，利用勾股定理求出，即可解决问题； （3）延长交于H，证明，解得到，则，再解得到，则，；过点M作于G，求出，则，可得，求出，则即走路线比走路线少走． 【详解】解：（1）小明的做法：∵， ∴； ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵ ∴； ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； 小亮的做法：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得； 故答案为：． （2）∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图2，则，，，．    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的边长为；    （3）如图所示，延长交于H， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， 如图所示，过点M作于G， ∵， ∴， ∴， ∴点N和点G重合， ∴， ∴， ∴走路线比走路线少走．    23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，根据勾股定理解出即可； （3）（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点C，B，E三点共线），其中点B与点D重合（标记为点B）．连接，取的中点M，过点F作交的延长线于点N，连接，此时E、F、N在同一直线上． (1)与的数量关系为 ；的形状为 三角形； (2)深入探究：杨老师将图2中的绕点B顺时针方向旋转． ①当点C，B，E三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． “洞察小组”提出问题是（1）中形状的结论是否仍然成立？若成立，请你证明；若不成立，请你写出新的结论，并证明； ②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点B顺时针方向旋转一周过程中，连接，点G为中点，的最大值为 ；当最小时，请直接写出点F到直线的距离． 【答案】(1)，等腰直角 (2)①成立，见详解；②， 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，，，即可证得结论； （2）①延长，相交于点，设与相交于点，可证得，得出，再证得，，，即可推出是等腰直角三角形； ②取中点为点H，连接，则可得，由，则当点C、H、G三点共线，且点G在延长线上时，取得最大值，可求，则，故；由，得当点C、H、G三点共线，且点G在上时，取得最小值，如图示：过点F作延长线的垂线，垂足为点K，过点A作延长线的垂线，垂足为点Q，可得， ，在中，运用勾股定理得，对运用等面积法得即可求解． 【详解】（1）解：如图，和是等腰直角三角形， ，， 点，，三点在一条直线上，， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∴E、F、N三点共线， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）解：①（1）中的结论仍然成立，即是等腰直角三角形．理由如下： 如图，延长，相交于点，设与相交于点，和是等腰直角三角形， 点是的中点， ， ， ； 在和中， ， ， ， 和是腰长相等的等腰直角三角形， ，且， ， ， ． 是和 的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形； ②取中点为点H，连接， ∵ 点G为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，H为中点， ∴，， ∵， ∴当点C、H、G三点共线，且点G在延长线上时，取得最大值， 如图示： ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点C、H、G三点共线，且点G在上时，取得最小值， 如图示：过点F作延长线的垂线，垂足为点K，过点A作延长线的垂线，垂足为点Q，则， ∵均是边长为4的等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，而， ∴ ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点F到到直线的距离为． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，三角形三边关系求最值，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键． 26．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据是的角平分线，可得，再根据所对直角边是斜边的一半，得出，利用勾股定理可求出，同理：，即可得出结论； （2）同（1）的方法得到，再根据证明，得出，则，即可得出结论； （3）同（2）的方法得到，根据等量代换可得． 【详解】解∶ （1）是的角平分线， ， ， ， 在中， 设， 则， 由勾股定理得 同理：    （2）（1）中结论仍然成立，理由∶ 如图2， 过点 C作于 F，于 G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， (3)结论为∶ 理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，     27．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再利用及三角形面积公式即可证明； （2）延长至，使，连接，易证，从而证得，得到，，由的定义，结合图形等线段转化即可得解； （3）①过点D作，由直角三角形的全等的判定易得，，得到，从而得证； ②分两种情况：当四边形为筝形时，时和时，结合图形分别计算即可得解； 【详解】（1）在四边形中， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又， ∴点C在线段的垂直平分线上， ， ， （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， 又，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， （3）①如图3，过点D作， 平分， ∴ 又， ，， ， ， ②分两种情况： 当四边形为筝形时，时，如图 ， 当四边形为筝形时，时，如图 ， ， ， 综上所述，或 28．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 【答案】（1）①E和D；②见解析；（2）①图见解析；②1或2或或10 【分析】（1）①根据互为顶针点的定义判断即可；②根据等边三角形、等腰三角形的性质求得，进而根据互为勾股顶针点的定义以及进行判断证明即可； （2）①以点B为圆心，长为半径画弧交于F，连接，作的平分线交于E，则点E、F即为所求作； ②分四种情况，分别画出图形，利用折叠性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴点与点E和D关于互为顶针点； 故答案为：E和D； ②证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∴点与点关于互为勾股顶针点． （2）①如图3，以点B为圆心，长为半径画弧交于F，连接，作的平分线交于E，则点E、F即为所求作； 作图理由：连接，， 由作图得，，又， ∴， ∴，， 则， ∴点与点关于互为勾股顶针点； ②根据点E、F的位置，分四种情况： 1）如图4-1，当时，设，则， 由折叠性质得，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 2）如图4-2，当时，； 3）如图4-3，当时，设，则， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 4）如图4-4，当时，点F与D重合，此时， 综上，满足条件的值为1或2或或10． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图等知识，理解题中新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合和分类讨论思想的运用是解答的关键． 29．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）选择小明同学的思路：先证明，得到，再证明即可证明结论；选择小强同学的思路：先证明，得到即可证明结论； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，得出即可证明结论； （3）在上截取，，连接，结合前面结论证明为等边三角形，得出，即可求出结论； 【详解】解：（1）选择小明同学的思路： 在上截取，连接，如下图． ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 选择小强同学的思路： 延长至点E，使，连接，如下图． 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2），理由如下： 在上截取，连接，如下图． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）在上截取，，连接，如下图， ∵平分，平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同（1）得，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 【答案】【类比探究】见解析；【直接应用】20；【拓展应用】． 【分析】本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识 类比探究：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P．根据角平分线的性质得，再利用面积法可得结论； 直接应用：作于H，由角平分线的性质得，由勾股定理得，，可得答案； （4）由（1）可得，从而得出的面积，同理可求：，进而解决问题． 【详解】证明：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P． ∵平分， ∴. ∴， ， ∴； 直接应用：由（1）得， 设 在中，由勾股定理得， ， 解得 ∴. 拓展应用：∵， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴. 33．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和、之间的数量关系． 小明发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）请回答： （1）在图2中，小明得到的全等三角形是 ； （2）和、之间的数量关系是 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，平分，，，，求的长． 【答案】（1），；（2）；解决问题： 【分析】（1）由容易证明； （2）由，得出，，再求出，得出，即可得出结论； 解决问题：在上截取，连接，先证明，得出，，过点C作于点F，设，在和中，根据勾股定理求出x，即可得出结果． 【详解】解：（1）平分， ， 又，， ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解决问题 如下图，在上截取，连接， 平分， ， 又 ， ， ，， 过点C作于点F， ， 设， 在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， ， 解得， ， 的长为21． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，勾股定理、等腰三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解答本题的关键． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【答案】（2）；（3）不成立，理由见解析，；（4），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理， （2）由翻折可得，则和，由，则 ，即； （3）由翻折可得，则和，由，则，即； （4）过作，交于点，交延长线于点，则，可得，由已知可得，结合三角形内角和定理得，即可证明，有，结合，即有． 【详解】解：（2）由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （3）小组二的结论不成立 理由如下：由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （4）解：，理由如下： 证明：过作，交于点，交延长线于点，如图，   交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 在和中 ， ， ． 32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，翻折的性质，三角形三边的关系，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）方法一利用翻折可以得到，然后比较角的大小；方法二、三由折叠可得，然后利用三角形的外角大于与它不相邻的内角解题；方法四、五截取，然后根据三角形的外角大于与它不相邻的内角解题； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上．然后得到点在线段上，再根据三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长到，使得，连接，则可得到，，然后证明解题即可． 【详解】（1）方法一：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：将沿边的高翻折， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角， ∴， ∴； 方法四：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； 方法五：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵， ∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 33．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴ ∴的最小值是3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学实践课上，老师组织同学们开展以“图形的旋转”为主题的探究活动，已知为等腰直角三角形，过点A的直线，射线绕点B旋转交于点M，过点M作，交直线于点N，探究线段和有怎样的数量关系？ (1)特例初探： 如图1，当时，点N与点A重合，猜想线段和间的数量关系，并证明你的结论；    (2)规律探究： 如图2所示，当与不垂直时，（1）的结论是否仍然成立？请猜想并证明你的结论；    (3)拓展应用： 已知：中，，过点O，E分别作，，垂足分别为O，E，与交于点F，连接，若，． 求：的面积．    【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据，点N与点A重合，结合，得到，由为等腰直角三角形，得到，即可证明结论； （2）过点M作，垂足为，根据等腰直角三角形及平行线的性质，证明四边形是正方形，得到，再证明，即可得出结论； （3）分别过点作交直线与点，证明，是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理得到，即，求解出，，则，根据即可解答． 【详解】（1）， 证明：，点N与点A重合，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ； （2）解：如图，过点M作，垂足为，   ， ， ， ， 四边形是矩形， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，分别过点作交直线与点，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，，，， ，即， ， （负值舍去），则， ，，， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论． 【发现与证明】 在中，，将沿翻折至，连接． 结论1：； 结论2：与重叠部分的图形是等腰三角形． 请利用图1证明结论Ⅰ或结论2． 【应用与探究】 在中，，将沿翻折至，连接． （1）如图2，，，与相交于点E，求的面积； （2）已知，当的长为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】发现与证明：见解析；应用与探究：（1）；（2）2或6． 【分析】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识， 应用与探究：通过折叠和平行四边形的性质证明，进一步证得和，从而证得两个结论； 应用与探究：（1）过点C作，垂足为G，先求出和，再设，根据勾股定理建立方程，解方程求出，根据三角形的面积公式即可求得答案； （2）分别根据和两种情况展开讨论，当时，先证明，进一步求得，最后根据勾股定理建立方程即可求出，从而得到；当时，延长交于点G，证明G是中点，即可求出． 【详解】发现与证明：如下图所示，设将沿翻折至，于交于点， ∵， ∴，，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴结论1和结论2成立； 应用与探究：（1）过点C作，垂足为G， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据发现与证明的结论得到， 设，则， ∵， ∴， 解方程得：， ∴， ∴的面积等于； （2）当时， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∴, ∵， ∴， ∵是以为斜边的直角三角形， 得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，得， 如下图所示，延长交于点G， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴G是的中点， 在直角三角形中，, ∴， ∴， ∴当或时，是以为斜边的直角三角形． 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为___________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； 故答案为：； （2）设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，如图：   满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， ． ， ，， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式（组，三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$