专题05 不等式及不等组实际应用（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 不等式及不等组实际应用 题型概览 题型01用一元一次不等式解决实际问题 题型02二元一次方程组与不等式 题型03不等式与一次函数求最值 题型04不等式与方案选择问题 题型05一次函数与不等式的综合应用 用一元一次不等式解决实际问题题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，求该护眼灯最多可以降价多少元？ 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？ 3．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，甲种笔记本每本10元，乙种笔记本每本5元，两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求最多能购买多少本甲种笔记本？ 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）学校准备奖励八年级学习进步较大的同学，决定购买A，B，C三档奖品共20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示，若A档奖品购买3件，则B档至多能买多少件？ 奖品 A B C 售价（单位：元/件） 20 12 6 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）盘锦某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人．（列二元一次方程组或一元一次不等式解答） (1)参加报名的儿童和成人各有多少人？ (2)旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 二元一次方程组与不等式题型02 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的照明灯共200只，甲型号照明灯的进价为30元/只，乙型号照明灯的进价为60元/只． (1)若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只． (2)若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？ 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元． (1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？ (2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共120辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）体育的兴衰与国家强盛息息相关，“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．党的十八大以来，全民健身事业在新时代经历了飞速发展，运动成为满足人民美好生活需要的重要组成，全民健身蔚然成风，正展开一幅盎然生机的时代画卷．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央高度重视关心体育工作，亲自谋划推动体育事业改革发展，将全民健身上升为国家战略，广泛开展全民健身运动，推动全民健身和全民健康深度融合．某街道为了响应国家号召决定对小区的健身器材进行升级，购买甲和乙两种健身器材，其中甲种器材每套500元，乙种器材每套460元． (1)若购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各购买多少套？ (2)若购买甲和乙的健身器材共40套，且支出不超过19500元，求乙种健身器材至少要购买多少套？ 10．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元． (1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？ (2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？ 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买5副围棋和5副中国象棋需用130元；若购买7副围棋和3副中国象棋需用142元． (1)求围棋和中国象棋每副各多少元； (2)该中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 12．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至少购买A种品牌足球多少个？ 13．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）2024年元旦，锦州市某校勤工俭学小组为筹集春节文艺汇演费用，他们用300元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（单位：元/） 6 7 零售价（单位：元/） 7 9 (1)则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱可用于汇演费用？ (2)如果批发的西红柿和豆角共，所赚到的钱不少于100元，那么最多批发西红柿多少千克？ 不等式与一次函数求最值题型03 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）近年来，沈阳市跨境电商销量持续增加，物流产业发展迅速．某物流公司为了提高快递的分拣效率，计划采购A，B两款不同型号的智能分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作5小时，可以分拣8000件快递；若1台A型机器人先工作2小时后，再由1台B型机器人单独工作10小时才能分拣完8000件快递．A，B两款智能分拣机器人价格如下表： 型号 A B 价格（万元/台） 20 14 (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)该物流公司计划采购A，B两款机器人共30台，且每小时分拣快递总数量不少于2万件，如何采购才能使总费用最少？最少是多少万元？ 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，以甲型头盔元/个、乙型头盔元/个的价格销售完．要使总利润不少于元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？ 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 17．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示： 价格类型 进价（元/箱） 售价（元/箱） A 60 70 B 40 55 (1)若该商行进货款为1万元，则两种水果各购进多少箱？ (2)设这批水果全部售出的总利润为W元，请求出W（元）与A种水果进货箱数m（箱）之间的函数关系式，若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？ 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）锦州市时辽西地区的中心城市，锦州的美食闻名各地．其中锦州的“什锦小菜”和“北镇猪蹄”是被大家喜爱的两种食品．已知2盒“什锦小菜”和3盒“北镇猪蹄”的售价共360元，3盒“什锦小菜”和2盒“北镇猪蹄”的售价共340元． (1)请求出“什锦小菜”和“北镇猪蹄”的售价； (2)某公司计划购买“什锦小菜”和“北镇猪蹄”共100盒．其中“什锦小菜”的数量不多于“北镇猪蹄”的2倍，该公司如何设计购买方案，所需费用最低？求出最低费用． 19．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 不等式与方案选择问题题型04 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台元，优惠条件是购买台以上，则从第台开始按报价的计算；乙公司的报价也是每台元，优惠条件是每台均按报价的计算．假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某单位要印刷一批宣传材料。在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费0.12元，一次印刷页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，设该单位需要印刷宣传材料的页数为x（x>20且x是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） （1）分别写出与x的函数关系式； （2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传材料较好？为什么？ 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 25．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 26．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可以使该月公司所获利润最大？并求出最大利润； (2)某超市到该公司购买乙型果汁有如下两种方案，方案一：乙型果汁一律打9折；方案二：购买168元会员卡后，乙型果汁一律8折．请帮该超市设计出合适的购买方案． 27．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，金普新区制定了“以产业带动发展”的策略，在各村开展大棚种植樱桃，某种植大户4月初共采摘大棚樱桃48吨，计划租用，两种型号的货车将樱桃全部运到大连市内销售，已知用1辆型货车和2辆型货车载满樱桃一次可运14吨；用2辆型货车和3辆型货车载满樱桃一次可运23吨．计划一次运完，且每辆车都满载． (1)1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运樱桃多少吨？ (2)若1辆型货车需租金180元/次，1辆型货车需租金200元/次，请问有几种租车方案？最少租车费用是多少元？ 28．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践 问题情境：人们的日常生活已离不开网络，网络给人们的生活带来了便捷，小明家要安装宽带，现有三种收费方式，如表： 方式 月使用费/元 包时/小时 超时费/（元/小时） 30 20 3 50 50 3 120 不限 (1)若小明家上网时间为小时，求出，两种方式的宽带费用，（用含的代数式表示）； (2)求出当为多少小时，两种方式费用一样； (3)请帮助小明根据上网时间选择最省钱的方式，并说明理由． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨． (1)分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力． (2)根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 30．（21-22八年级下·陕西西安·期末）某服装厂生产一批西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案．甲种方案：买一套西装送一条领带；乙种方案：西装和领带均按定价的付款，某商场经理现要到该服装厂进货（只能选择两个方案中的一个进货），准备购买西装20套，领带条． (1)按甲种方案花费______元，按乙种方案花费______元；（分别用含x的代数式表示） (2)根据x的不同情况，经理选择哪种优惠方案进货花费少？ 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为30至50人(包含30人和50人)，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元． (1)求出与x之间的函数关系式，与x之间的函数关系式． (2)若该校共有50人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由． (3)计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算． 一次函数与不等式的综合应用题型05 32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【背景信息】 信息一：某科技公司生产和销售A，B两类套装电子产品，销售的种类数量及总售价（如下表） 销售种类及数量（套） 总售价（万元） A类 B类 3 2 24 2 3 26 信息二：该公司生产一套A类产品的成本是2.5万元； 信息三：销售部将生产B类产品的套数与相应的成本进行了统计，并在平面直角坐标系中绘制了反映m（成本）和x（套数）之间关系的部分图象，根据点的分布情况，发现m与x之间满足一次函数关系（x取正整数）； 【问题解决】 （1）该公司每套A类和B类产品的售价分别是多少万元？ （2）该公司准备根据市场情况，计划只安排生产A，B两类中的一类电子产品，且投入生产销售的电子产品x套． ①求公司销售x套A类产品的利润和销售x套B类产品的利润的表达式； ②为使公司总利润最高，你将建议公司怎样安排生产？ 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，为弘扬和传承中华民族的传统文化，强化劳动教育成果，锦江区某中学在端午节前夕，面向全体学生开展了包粽子比赛活动．已知A小组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的关系如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若B小组同学每分钟能包6个粽子，什么时候A小组同学包的粽子个数会超过B小组？ 34．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某樱桃批发商与某快递公司合作寄送樱桃． 素材1： 某快递公司规定： 1．从当地寄送樱桃到市按重量收费： 当樱桃重量不超过千克时，需要寄送费元； 当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 2．寄送樱桃重量均为整数千克． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 问题解决： 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请求出的值，并求出樱桃重量超过千克时寄送费用（元）关于樱桃重量（千克）之间的函数关系式 任务2 计算最省费用 若樱桃重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小红想在当地购买一批价格为元/千克的樱桃并全部寄送给在市的朋友们．若小红能用来支配的钱有元，请直接写出她最多可以购买多少千克的樱桃？ 36．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）甲、乙两辆摩托车从相距的两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求：    (1)哪辆摩托车的速度较快？ (2)求甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围？ 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)若一次函数为与的图象与x轴分别相交于点A、B，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是______； 关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是______； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是______； ②请求出的面积． 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知函数，且当时；请对该函数及图象进行如下探究： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 3 2 1 3 …          (1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为________； (2)根据解析式，求出如表的，的值；________，________． (3)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描并画出函数图象； (4)写出函数图象一条性质________； (5)解不等式． 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 41．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． (1)求点A与直线之间的“关联距离”； (2)若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； (3)若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 44．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式及不等组实际应用 题型概览 题型01用一元一次不等式解决实际问题 题型02二元一次方程组与不等式 题型03不等式与一次函数求最值 题型04不等式与方案选择问题 题型05一次函数与不等式的综合应用 用一元一次不等式解决实际问题题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，求该护眼灯最多可以降价多少元？ 【答案】该护眼灯最多可以降价32元 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据利润售价进价=进价利润率列不等式求解即可． 【详解】解：设该护眼灯降价x元， 根据题意，得， 解得， 故该护眼灯最多可以降价32元． 2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？ 【答案】至少需答对23道题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 设参赛者需答对x道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题，根据题意可列出关于x的一元一次不等式，解不等式，再根据x的实际意义取值即可． 【详解】解：设参赛者需答对x道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得： ， 又x为正整数， x的最小值为23． 答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“知识小达人”． 3．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，甲种笔记本每本10元，乙种笔记本每本5元，两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求最多能购买多少本甲种笔记本？ 【答案】最多需要购买本甲种笔记本 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，读懂题意，设能购买本甲种笔记本，由班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，列出不等式求解即可得到答案，实际应用题中的取值是解决问题的关键． 【详解】解：设能购买本甲种笔记本， 根据题意得， 解得 ， ∴取最大整数为， 答：最多需要购买本甲种笔记本． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）学校准备奖励八年级学习进步较大的同学，决定购买A，B，C三档奖品共20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示，若A档奖品购买3件，则B档至多能买多少件？ 奖品 A B C 售价（单位：元/件） 20 12 6 【答案】B档奖品至多能买6件 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键．设B档奖品能买x件，则C档奖品买件，根据题意列式，解出x范围作答即可． 【详解】解：设B档奖品能买x件，则C档奖品买件， 由题意得：， 解得：， 答：B档奖品至多能买6件． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）盘锦某旅行社组织旅行活动，去我市红海滩旅行，报名的人数有40人，其中成人人数比儿童人数的2倍少5人．（列二元一次方程组或一元一次不等式解答） (1)参加报名的儿童和成人各有多少人？ (2)旅行社为吸引游客，打算给每个游客准备一顶帽子．购买时，成人每顶帽子打八折优惠，儿童每顶帽子40元，打五折优惠，旅行社预算不超过1200元，请问每顶成人帽子的价格最高是多少元？ 【答案】(1)报名的儿童有人，成人有人； (2)每顶成人帽子的价格最高是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）设报名的儿童有人，成人有人，根据题意列二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每顶成人帽子的价格是元，根据题意列不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设报名的儿童有人，成人有人， 根据题意得， 解得， 答：报名的儿童有人，成人有人； （2）解：设每顶成人帽子的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每顶成人帽子的价格最高是元． 二元一次方程组与不等式题型02 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 (2)6套 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的照明灯共200只，甲型号照明灯的进价为30元/只，乙型号照明灯的进价为60元/只． (1)若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只． (2)若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？ 【答案】(1)甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只 (2)甲型号照明灯至少购进120只 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只，根据购进甲、乙两种型号的照明灯共200只共花费7200元列出方程组求解即可； （2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进只，根据总费用不超过8400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只． 根据题意，得 解得 答：甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只． （2）解：设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进只． 根据题意，得， 解得． 答：甲型号照明灯至少购进120只． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）我市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元． (1)求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？ (2)公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共120辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 【答案】(1)A型公交车每辆12万元，B型公交车每辆11万元 (2)该公司最多购买57辆A型公交车 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，购买1辆A型公交车和3辆B型公交车需要45万元，2辆A型公交车和1辆B型公交车需要35万元．据此列方程组，解方程组即可； （2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买辆B型公交车，购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，据此列出不等式并解不等式，根据m为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元， 由题意得： 解得： 答：A型公交车每辆12万元，B型公交车每辆11万元； （2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买辆B型公交车， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m最大值为． 答：该公司最多购买57辆A型公交车． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）体育的兴衰与国家强盛息息相关，“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．党的十八大以来，全民健身事业在新时代经历了飞速发展，运动成为满足人民美好生活需要的重要组成，全民健身蔚然成风，正展开一幅盎然生机的时代画卷．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央高度重视关心体育工作，亲自谋划推动体育事业改革发展，将全民健身上升为国家战略，广泛开展全民健身运动，推动全民健身和全民健康深度融合．某街道为了响应国家号召决定对小区的健身器材进行升级，购买甲和乙两种健身器材，其中甲种器材每套500元，乙种器材每套460元． (1)若购买甲和乙的健身器材共40套，且恰好支出18880元，求甲和乙的健身器材各购买多少套？ (2)若购买甲和乙的健身器材共40套，且支出不超过19500元，求乙种健身器材至少要购买多少套？ 【答案】(1)购买甲种健身器材12套，则购买乙种健身器材28套； (2)乙种健身器材至少要购买13套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购买甲种健身器材套，则购买乙种健身器材套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购买乙种健身器材套，则购买甲种健身器材套，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购买甲种健身器材套，则购买乙种健身器材套， 根据题意，可得， 解得：， ∴套． 答：购买甲种健身器材12套，则购买乙种健身器材28套； （2）设购买乙种健身器材套，则购买甲种健身器材套， 根据题意，可得， 解得． 答：乙种健身器材至少要购买13套． 10．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元． (1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？ (2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？ 【答案】(1)长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元 (2)七年三班最多能购买长跳绳20条 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，根据第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元列出方程组求解即可； （2）设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，根据购买费用不超过600元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元， （2）解：设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条， 由题意得，， 解得， ∵m是整数， ∴m的最大值为20， 答：七年三班最多能购买长跳绳20条． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买5副围棋和5副中国象棋需用130元；若购买7副围棋和3副中国象棋需用142元． (1)求围棋和中国象棋每副各多少元； (2)该中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副围棋16元，每副中国象棋10元 (2)最多购买25副围棋 【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买围棋m副，则中国象棋买副．可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，求整数解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元． 解得 答：每副围棋16元，每副中国象棋10元． （2）设可购买副围棋． ， 解得， 所以的最大整数值为25，因此最多购买25副围棋． 12．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至少购买A种品牌足球多少个？ 【答案】(1)购买一个种品牌的足球需要60元，购买一个种品牌的足球需要80元 (2)至少购买A种品牌足球15个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①根据数量关系找出关于的二元一次方程组；②根据数量关系找出关于的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程(方程组、不等式或不等式组)是关键． （1）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用+买种足球费用，以及种足球单价比种足球贵20元”可得出关于的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用+买种足球费用”可得出关于的一元一次不等式，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要60元，购买一个种品牌的足球需要80元． （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故至少购买A种品牌足球15个． 13．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）2024年元旦，锦州市某校勤工俭学小组为筹集春节文艺汇演费用，他们用300元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（单位：元/） 6 7 零售价（单位：元/） 7 9 (1)则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱可用于汇演费用？ (2)如果批发的西红柿和豆角共，所赚到的钱不少于100元，那么最多批发西红柿多少千克？ 【答案】(1)75元 (2)最多批发西红柿 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设他们从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角，根据“他们用300元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖”列出二元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设批发市场批发了西红柿，则豆角为，根据“所赚到的钱不少于100元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设他们从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角， 则根据题意可得：， 解得：， 则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到（元）； （2）解：设批发市场批发了西红柿，则豆角为， 则根据题意可得：， 解得：， 所以最多批发西红柿． 不等式与一次函数求最值题型03 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）近年来，沈阳市跨境电商销量持续增加，物流产业发展迅速．某物流公司为了提高快递的分拣效率，计划采购A，B两款不同型号的智能分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作5小时，可以分拣8000件快递；若1台A型机器人先工作2小时后，再由1台B型机器人单独工作10小时才能分拣完8000件快递．A，B两款智能分拣机器人价格如下表： 型号 A B 价格（万元/台） 20 14 (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)该物流公司计划采购A，B两款机器人共30台，且每小时分拣快递总数量不少于2万件，如何采购才能使总费用最少？最少是多少万元？ 【答案】(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣1000和600件快递 (2)A型机器人采购5台，B型机器人采购25台总费用最少，最少为450万元 【分析】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式的解法和二元一次方程组的应用， （1）设1台A型机器人每小时分拣a件快递，1台B型机器人每小时分拣6件快递，根据题意列方程组并求解即可； （2）设该物流公司采购A型机器人m台，则采购B型机器人台，根据题意列关于m的不等式并求解；设采购费用为W元，写出W关于m的关系式，并根据该关系式的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出W的最小值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设1台A型机器人每小时分拣a件快递，1台B型机器人每小时分拣b件快递． 则，解得， 答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣1000和600件快递； （2）设该物流公司采购A型机器人m台，则采购B型机器人台， 根据题意，得， 解得； 设采购费用为W元，则 ∵ ∴W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最小为， 此时采购B型机器人 (台) 故物流公司采购A型机器人采购5台，B型机器人采购25台总费用最少，最少为450万元． 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，以甲型头盔元/个、乙型头盔元/个的价格销售完．要使总利润不少于元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元 (2)该商场有种采购方案．购进甲型头盔个、购进乙型头盔个时利润最大．最大利润为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用， （1）设购进个甲型头盔需要元，个乙型头盔需要元，根据“购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据“进货总费用不超过元，且全部售出后获得的总利润不少于元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，然后根据题意列出总利润关于的一次函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组及一次函数关系式． 【详解】（1）解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意．得：， 解得：， 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； （2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，总利润为元， 根据题意，得：， 解得∶ ， ∵为整数， ∴可以为，，共个， ∴该商场共有种进货方案， ∵， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）， 此时（个）， 答：该商场有种进货方案．购进甲型头盔个、购进乙型头盔个时利润最大，最大利润为元． 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2)，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 17．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示： 价格类型 进价（元/箱） 售价（元/箱） A 60 70 B 40 55 (1)若该商行进货款为1万元，则两种水果各购进多少箱？ (2)设这批水果全部售出的总利润为W元，请求出W（元）与A种水果进货箱数m（箱）之间的函数关系式，若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？ 【答案】(1)A种水果进货100箱，B种水果进货100箱； (2)，进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元． 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程，一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式． （1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱； （2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果A与B的不等式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设A种水果进货x箱，则B种水果进货箱， ， 解得：， ， ∴A种水果进货100箱，B种水果进货100箱． （2）解：A种水果进货m箱，则B种水果进货箱， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵， 解得：， 当时，W取得最大值，此时， ∴进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）锦州市时辽西地区的中心城市，锦州的美食闻名各地．其中锦州的“什锦小菜”和“北镇猪蹄”是被大家喜爱的两种食品．已知2盒“什锦小菜”和3盒“北镇猪蹄”的售价共360元，3盒“什锦小菜”和2盒“北镇猪蹄”的售价共340元． (1)请求出“什锦小菜”和“北镇猪蹄”的售价； (2)某公司计划购买“什锦小菜”和“北镇猪蹄”共100盒．其中“什锦小菜”的数量不多于“北镇猪蹄”的2倍，该公司如何设计购买方案，所需费用最低？求出最低费用． 【答案】(1)“什锦小菜”的售价是60元/盒，“北镇猪蹄”的售价是80元/盒 (2)购买“什锦小菜”66盒，购买“北镇猪蹄”34盒时，最低费用为6680元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二元一次方程组和一次函数解析式是解此题的关键． （1）设“什锦小菜”的售价是元/盒，“北镇猪蹄”的售价是元/盒，根据“2盒“什锦小菜”和3盒“北镇猪蹄”的售价共360元，3盒“什锦小菜”和2盒“北镇猪蹄”的售价共340元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设公司计划购买“什锦小菜”盒，则购买“北镇猪蹄”盒，公司购买两种食品所需费用为元，得出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设“什锦小菜”的售价是元/盒，“北镇猪蹄”的售价是元/盒， ， 解得 答：“什锦小菜”的售价是60元/盒，“北镇猪蹄”的售价是80元/盒． （2）解：设公司计划购买“什锦小菜”盒，则购买“北镇猪蹄”盒，公司购买两种食品所需费用为元， 随的增大而减小 为正整数 当取最大值，有最小值 当时， 答：购买“什锦小菜”66盒，购买“北镇猪蹄”34盒时，最低费用为6680元． 19．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 【答案】(1)甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 (2)该公司有3种购买方案，该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元 【分析】本题考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用． （1）设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值． 【详解】（1）解：设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是万元、万元； （2）设该公司可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得 解这个不等式组得 为正整数 的取值为，，， 该公司有种购买方案 设该公司的购买费用为万元，则 ， 随的增大而增大 当时，最小，最小万元 该公司购买甲型机器人台，乙型机器人台这个方案费用最低，最低费用是万元． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 (1)求甲、乙两种水果的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元 (2)正整数m的最大值为22 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可； （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可． 【详解】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 根据题意，得． 解这个不等式，得． 设获得的利润为w元， 根据题意，得 ． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w的最大值为． 根据题意，得． 解这个不等式，得． ∴正整数m的最大值为22． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 不等式与方案选择问题题型04 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台元，优惠条件是购买台以上，则从第台开始按报价的计算；乙公司的报价也是每台元，优惠条件是每台均按报价的计算．假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由． 【答案】购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意分超过台与不超过台两类，结合费用小的更优惠列不等求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当购买电脑不超过台时， ∵不超过台，乙公司有优惠，而甲公司没优惠， ∴选择乙公司， 当购买电脑多于台，设学校需购置电脑x台，由题意可得， 到甲公司购买需付元， 到乙公司购买需付元， 当甲公司优惠大时， ， 解得， 当乙公司优惠大时， ， 解得， 当两公司优惠一样， ， 解得， 答：购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某单位要印刷一批宣传材料。在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费0.12元，一次印刷页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，设该单位需要印刷宣传材料的页数为x（x>20且x是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） （1）分别写出与x的函数关系式； （2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传材料较好？为什么？ 【答案】（1），； （2）当时，甲、乙两个印刷厂收费相同，当时，甲印刷厂费用少，当 时，乙印刷厂费用少． 【分析】（1）甲印刷厂的付费=每页收费×数量，乙印刷厂的付费需要分段计算，分为不超过20页的部分，超过20页的部分； （2）分情况讨论，当甲乙两家费用相同时，列方程计算；当甲乙两家费用不相等时，利用不等式求解. 【详解】解：（1）由题意得，, ， （2）当时， 由得：，解得，， 由得：，解得，， 由得：，解得，， 综上所述，当时，甲、乙两个印刷厂收费相同，当时，甲印刷厂费用少，当 时，乙印刷厂费用少． 【点睛】本题重点考查了分段函数与不等式应用的结合，要注意应用分类讨论的数学思想. 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； (2)个； (3)能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案：采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 【分析】（）设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案； 本题考查了二元一次方程组和不等式的综合应用，解题的关键是根据题意列方程组和不等式并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． 【详解】（1）设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意，得 ， 解得，； 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； （2）设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， ∴的最大值为； 答：最多可购进乙型头盔个； （3）能，根据题意，得：；   解得：；   ∴； ∵为整数， ∴可取或，对应的的值分别为或， 因此能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案： 采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 25．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 (1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； (2)什么情况下到甲商场购买更优惠？ 【答案】(1)， (2)当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可． （1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可； （2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可． 【详解】（1）甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：； 乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：． （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 26．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可以使该月公司所获利润最大？并求出最大利润； (2)某超市到该公司购买乙型果汁有如下两种方案，方案一：乙型果汁一律打9折；方案二：购买168元会员卡后，乙型果汁一律8折．请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】(1)甲、乙两种型号果汁的产量分别为17万瓶和3万瓶时可以使该月公司所获利润最大，最大利润为108万元 (2)当购买乙型果汁少于280瓶时，按方案1购买所花费用少；当购买乙型果汁等于 280瓶时，两种方案所花费用相同；当购买乙型果汁大于280瓶时，按方案2购买所花费用少 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出不等式和一次函数． （1）设每月生产甲型号果汁x万瓶，则每月生产乙型号果汁万瓶，根据题意列出一元一次不等式，得到，设每月公司所获利润为y万元，根据题意表示出，然后根据一次函数的性质求解即可； （2）设超市需要购买乙型果汁a瓶，表示出方案1需付款元，方案2需付款元，然后分情况讨论即可． 【详解】（1）设每月生产甲型号果汁x万瓶，则每月生产乙型号果汁万瓶 解得： 设每月公司所获利润为y万元 因为， y 随x 的增大而增大 所以当时y最大 万元， 此时乙型号果汁产量为万瓶 答：甲、乙两种型号果汁的产量分别为17万瓶和3万瓶时可以使该月公司所获利润最大，最大利润为108万元． （2）设超市需要购买乙型果汁a瓶 方案1需付款：元 方案2需付款：元 当 解得 当 解得 当 解得 当购买乙型果汁少于280瓶时，按方案1购买所花费用少； 当购买乙型果汁等于 280瓶时，两种方案所花费用相同； 当购买乙型果汁大于280瓶时，按方案2购买所花费用少． 27．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，金普新区制定了“以产业带动发展”的策略，在各村开展大棚种植樱桃，某种植大户4月初共采摘大棚樱桃48吨，计划租用，两种型号的货车将樱桃全部运到大连市内销售，已知用1辆型货车和2辆型货车载满樱桃一次可运14吨；用2辆型货车和3辆型货车载满樱桃一次可运23吨．计划一次运完，且每辆车都满载． (1)1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运樱桃多少吨？ (2)若1辆型货车需租金180元/次，1辆型货车需租金200元/次，请问有几种租车方案？最少租车费用是多少元？ 【答案】(1)1辆型货车满载一次可运樱桃4吨，1辆型货车满载一次可运樱桃5吨 (2)共有3种租车方案，最少租车费用为1960元 【分析】（1）设1辆A型货车满载时一次运樱桃x吨，1辆B型货车满载时一次运樱桃y吨，根据题意列方程组并求解即可； （2）设租用A型货车x辆，租用B型货车b辆，根据题意，用b将a表示出来，根据a、b的取值条件求出a的可能值及对应b的值，从而计算每种方案的租车费用并比较大小即可． 【详解】（1）本题考查了列二元一次方程组解应用题和不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法是本题的关键． 解：设1辆型货车和1辆型货车满载时一次分别运樱桃吨，吨， 根据题意得，，解得，， 答：1辆型货车满载一次可运樱桃4吨，1辆型货车满载一次可运樱桃5吨； （2）解：设租用型货车辆，型货车辆，由题意可得：， ， ∴， 解得：， 又，均为非负整数， ，，， 共有3种租车方案， 方案1：租用12辆型货车，0辆型货车； 方案2：租用7辆型货车，4辆型货车； 方案3：租用2辆型货车，8辆型货车． 方案1的费用：元， 方案2的费用：元， 方案3的费用：元， ， 最少租车费用为1960元． 28．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）综合与实践 问题情境：人们的日常生活已离不开网络，网络给人们的生活带来了便捷，小明家要安装宽带，现有三种收费方式，如表： 方式 月使用费/元 包时/小时 超时费/（元/小时） 30 20 3 50 50 3 120 不限 (1)若小明家上网时间为小时，求出，两种方式的宽带费用，（用含的代数式表示）； (2)求出当为多少小时，两种方式费用一样； (3)请帮助小明根据上网时间选择最省钱的方式，并说明理由． 【答案】(1)，元；，元；，元；，元 (2) (3)时，选方式；时，方式都可以；时选B方式；时，方式都可以；时选C方式；理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定费用的计算方法是解本题的关键； （1）根据收费方式分情况写出，与的关系式即可； （2）分三种情况讨论：当时，，当时，，再解方程即可，当时，，从而可得答案； （3）分情况讨论： 当时， 当时， 当时， 求解当时，可得，当时， 当时；当时， 从而可得答案． 【详解】（1）解：当，， 当时，； ，元； ，元； （2）当时，， 当时，， 解得：， 当时，， 综上：当，两种费用相同． （3）由（2）可得：当，两种费用相同． 当时，即， 当时，，选方式； 当时，，方式都可以； 当时，即， 当时，，选择B方式， 当时， 解得：， 当时，即， 当时，选B方式； 综上：时选B方式； 当时，方式都可以； 当时，即， 当时，选C方式； 综上：时，选方式；时，方式都可以；时选B方式；时，方式都可以；时选C方式； 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨． (1)分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力． (2)根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨 (2)购买A型设备3台，B型设备5台 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买A型设备m台，根据题意得到关于m的不等式组，可得，再求出购买费用为元，即可求解． 【详解】（1）解：设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意得： ， 解得：， 答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨； （2）解：设购买A型设备m台，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m取3，4，5， 购买费用为元， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴最省钱的购买方案为购买A型设备3台，B型设备5台． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某服装厂生产一批西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案．甲种方案：买一套西装送一条领带；乙种方案：西装和领带均按定价的付款，某商场经理现要到该服装厂进货（只能选择两个方案中的一个进货），准备购买西装20套，领带条． (1)按甲种方案花费______元，按乙种方案花费______元；（分别用含x的代数式表示） (2)根据x的不同情况，经理选择哪种优惠方案进货花费少？ 【答案】(1)， (2)当时，选择甲种优惠方案进货花费少；当时，选择两种优惠方案进货费用相同；当时，选择乙种优惠方案进货花费少 【分析】（1）根据总价单价数量结合两种优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择甲、乙两种优惠方案所需费用； （2）分，和三种情况，可找出关于x的一元一次不等式或一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按甲种方式花费元； 按乙种方式花费元． 故答案为：，； （2）解：当时，， 解得：， 又∵， ∴； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 答：当时，选择甲种优惠方案进货花费少；当时，选择两种优惠方案进货费用相同；当时，选择乙种优惠方案进货花费少． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确理解题意． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为30至50人(包含30人和50人)，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元． (1)求出与x之间的函数关系式，与x之间的函数关系式． (2)若该校共有50人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由． (3)计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为；与x之间的函数关系式为 (2)选择乙旅行社可以使总费用较低，见解析 (3)人数在40到50(包括50不包括40)范围内，选乙旅行社合算 【分析】（1）根据甲旅行社需要的费用为：；乙旅行社的收费为：，可得答案； （2）将分别代入求得的函数解析式，计算即可求解； （3）令，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意得：； ； 与之间的函数关系式为；与之间的函数关系式为； （2）当时，； ， ， 选择乙旅行社可以使总费用较低； （3）当时，即， 解得， ， ， 人数在到包括不包括范围内，选乙旅行社合算． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式． 一次函数与不等式的综合应用题型05 32．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【背景信息】 信息一：某科技公司生产和销售A，B两类套装电子产品，销售的种类数量及总售价（如下表） 销售种类及数量（套） 总售价（万元） A类 B类 3 2 24 2 3 26 信息二：该公司生产一套A类产品的成本是2.5万元； 信息三：销售部将生产B类产品的套数与相应的成本进行了统计，并在平面直角坐标系中绘制了反映m（成本）和x（套数）之间关系的部分图象，根据点的分布情况，发现m与x之间满足一次函数关系（x取正整数）； 【问题解决】 （1）该公司每套A类和B类产品的售价分别是多少万元？ （2）该公司准备根据市场情况，计划只安排生产A，B两类中的一类电子产品，且投入生产销售的电子产品x套． ①求公司销售x套A类产品的利润和销售x套B类产品的利润的表达式； ②为使公司总利润最高，你将建议公司怎样安排生产？ 【答案】（1）每套A类产品的售价为4万元，每套B类产品的售价为6万元；（2）①，；②当时，只安排生产A类电子产品总利润最高；当时，生产A类电子产品和生产B类电子产品总利润相等，任选一类生产即可；当时，只安排生产B类电子产品总利润最高． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法、待定系数法求函数表达式是本题的关键． （1）设每套A类产品的售价为a万元，每套B类产品的售价为b万元，根据表格中的数据列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据“利润（售价成本）销售数量”写出关于x的表达式；利用待定系数法求出m关于x的关系式，再根据 “利润销售额成本”写出关于x的表达式即可； ③分别计算当时对应x的取值范围即可． 【详解】解：（1）设每套A类产品的售价为a万元，每套B类产品的售价为b万元． 根据表格中的数据， 得， 解得， ∴每套A类产品的售价为4万元，每套B类产品的售价为6万元． （2）①根据题意，得，即； 设（k、b为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴， ∴，即； ∴公司销售x套A类产品的利润的表达式，销售x套B类产品的利润的表达式． ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得； ∴当时，只安排生产A类电子产品总利润最高； 当时，生产A类电子产品和生产B类电子产品总利润相等，任选一类生产即可； 当时，只安排生产B类电子产品总利润最高． 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，为弘扬和传承中华民族的传统文化，强化劳动教育成果，锦江区某中学在端午节前夕，面向全体学生开展了包粽子比赛活动．已知A小组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的关系如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若B小组同学每分钟能包6个粽子，什么时候A小组同学包的粽子个数会超过B小组？ 【答案】(1) (2)20分钟后A小组同学包的粽子个数会超过B小组 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，读懂题意，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据图象分段用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出B组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的函数解析式，再根据A小组同学包的粽子个数会超过B小组．列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数关系式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴； 当时，设y与x之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 综上所述，y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意B组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的函数解析式为， ∴当A小组同学包的粽子个数超过B小组时，， 解得， ∴20分钟后A小组同学包的粽子个数会超过B小组． 34．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 【答案】(1)过程见详解； (2)①，过程见详解；②，过程见详解． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据题意得出增加个纸杯，高度增加，进而即可求解； （2）①待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：量得个纸杯的高为，个叠放在一起的纸杯的高为， 个叠放在一起的纸杯增加的高为， 增加个纸杯，高度增加， 个叠放在一起的纸杯的高为； （2）①依题意，是的一次函数，设，将代入得： 解得： ； ②依题意，， 解得：， 为正整数， 的最大值为． 35．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）某樱桃批发商与某快递公司合作寄送樱桃． 素材1： 某快递公司规定： 1．从当地寄送樱桃到市按重量收费： 当樱桃重量不超过千克时，需要寄送费元； 当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 2．寄送樱桃重量均为整数千克． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：樱桃 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 问题解决： 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请求出的值，并求出樱桃重量超过千克时寄送费用（元）关于樱桃重量（千克）之间的函数关系式 任务2 计算最省费用 若樱桃重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小红想在当地购买一批价格为元/千克的樱桃并全部寄送给在市的朋友们．若小红能用来支配的钱有元，请直接写出她最多可以购买多少千克的樱桃？ 【答案】任务一：，；任务二：最省寄送费用是元；任务三： 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式求解是解题的关键． 任务1：利用电子存单或的总费用和计量重量列出方程求出，从而得解； 任务2：根据总计量重量是千克，设计方案求出总费用，比较大小即可； 任务3：要尽可能的多寄送，则应该多寄千克一件的，也就是一件少于千克的，其余都是千克，或者也就是一件千克的，其余都是千克，设小红购买的樱桃一共分件不超过的寄送方式，根据总费用不超过元列出不等式，求出的取值范围，继而求出的最大值，计算购买件千克的樱桃剩余的钱，再根据剩余的钱计算剩余的寄送的重量，从而得解． 【详解】解：任务1：由电子存单2可得：， 解得：， 樱桃重量超过千克时寄送费用（元）关于樱桃重量（千克）之间的函数关系式为： ； 任务2：若单件寄送，则需寄费：（元）， 若分两件寄送，则可一件千克，一件千克，需寄费：（元）， 若分成三份寄送，则可使得三件都少于千克，需寄费：（元）， ， 最省的寄送费用是元； 任务3：前千克的快递费是元，超过千克的部分是元/千克，设小红购买的樱桃一共分件的寄送方式， 由题意得：， 解得：， 又是正整数， 的最大值为， 还剩下：元， ， 件，余下的钱刚好能再购买并寄送， 共可寄送：． 36．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）甲、乙两辆摩托车从相距的两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求：    (1)哪辆摩托车的速度较快？ (2)求甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围？ 【答案】(1)乙的速度较快 (2)甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围为 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出，的解析式，再求出甲、乙两辆摩托车相遇的时间，然后根据两辆摩托车之间距离再次小于列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，故乙的速度较快； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 根据题意，得， 解得：， 根据题意，得， 解得：， ∴甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围为． 37．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)若一次函数为与的图象与x轴分别相交于点A、B，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)点C坐标为 (2)9 (3) 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点C的坐标； （2）分别求出A、B两点坐标，然后可得△ABC的面积； （3）根据图象可直接得到时x的取值范围． 【详解】（1）联立两函数解析式可得方程组 ， 解得：， ∴点C的坐标为（1，-3）； （2）当时,，解得:， ∴A（4，0）， 当时，，解得：， ∴B（-2，0）， ∴ ∵点C坐标为 ∴点C到的距离为3 ∴△ABC的面积为：； （3）由图象可得：时x的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与x轴交点，掌握数形结合思想． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是______； 关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是______； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是______； ②请求出的面积． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到两函数图象在x轴上方部分对应的x的范围即可； （3）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围即可；利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图象，分别与轴交于点、， ∴关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）解：根据图象可以得到关于的不等式组的解集； 故答案为：； （3）解：①∵点， ∴由图象可知，不等式的解集是； ②∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键． 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知函数，且当时；请对该函数及图象进行如下探究： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 3 2 1 3 …          (1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为________； (2)根据解析式，求出如表的，的值；________，________． (3)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描并画出函数图象； (4)写出函数图象一条性质________； (5)解不等式． 【答案】(1) (2)，2 (3)见解析 (4)当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大 (5) 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． （1）将，代入，可求，进而可得结果； （2）将代入得，；将代入得，；计算求解即可； （3）描点连线，作图象即可； （4）结合图象作答即可； （5）如图2，根据的解集为的图象在图象上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）解：将代入得，； 将代入得，； 故答案为：，2； （3）解：描点连线，作图象如图1； （4）解：由图象可知，当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； 故答案为：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； （5）解：如图2， ∵的解集为的图象在图象上方所对应的的取值范围， 由图象可知，的解集为． 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，注意数形结合； （1）把与的值分别代入函数式中即可求得对应a与b的值； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①观察函数图象上升时自变量的取值范围即可； ②观察当时函数图象，即可确定的取值范围； ②观察函数图象是否存在最低点，则判断是否有最小值，若有，最低点的纵坐标是最小值． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：； （2）解：描点、连线得到的函数图象如下： （3）解：①由图象知，当时，图象是上升的，即函数值随自变量的增大而增大； 故答案为：； ②当时，即， 解得：或； ∴当时，由图象知，； 故答案为：； ③观察图象知，函数图象存在最低点，其纵坐标为， ∴函数存在最小值，最小值是． 41．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 【答案】(1)4，2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． （1）把，代入中可求，将，代入即可求出； （2）描点补全图象即可； （3）不等式，即的图象在的上方时，对应自变量的取值范围，数形结合可得答案． 【详解】（1）把，代入中得：， ， 当时，， ． （2）描点连线，如下图所示， （3）由图象可得， 不等式，即的图象在的上方， 解集为或． 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 43．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． (1)求点A与直线之间的“关联距离”； (2)若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； (3)若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）过点A作于点D，根据，，，得出，，，根据等积法求出，即可得出答案； （2）求出直线的解析式为：，把代入得：，求出，根据线段与之间的“关联距离”，求出即可； （3）根据，，得出当时，线段在线段和之间，根据，得出直线过定点，画出图形，根据，得出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ， ， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴； （2）解：∵，， ∴在直线上， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∵线段与之间的“关联距离”， ∴线段向左平移的距离为：． （3）解：∵，， ∴当时，， 当时，， ∴当时，线段在线段和之间， ∵， ∴直线过定点，如图所示： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 根据图可知，当且时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形面积公式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 44．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料： 在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为___________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； 故答案为：； （2）设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，如图：   满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， ． ， ，， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式（组，三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$