8.4.2公式法（第1课时 运用公式法分解因式）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

8.4.2公式法 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 第1课时 运用公式法分解因式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点） 2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点） 情景导入 多项式a2-b2有什么特点？ 是两个数的平方差，可以写成(a+b)(a-b)的形式. 你能将它分解因式吗？ a2-b2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 新知探究 如何将 x2－2x + 1 因式分解？ x2－2x + 1 = (x－1)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 －2ab + b2 = a2 －b2 (a + b)2 (a － b)2 (a + b)(a－b) 完全平方公式： 平方差公式： a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 －2ab + b2 a2 －b2 = (a － b)2 = (a + b)(a－b) 运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫作公式法. 例题讲解 例3 把下列各式分解因式： （1）x2 + 14x + 49； （2）9a2－30ab + 25b2 ； 解（1）x2 + 14x + 49 = x2 + 2 · x · 7 + 72 = (x + 7)2 （2）9a2－30ab + 25b2 = (3a)2－2×3a×5b + (5b)2 = (3a－5b)2 （3）x2 － 81； （4）36a2－25b2 . （3）x2 － 81 = x2 － 92 = (x + 9)(x－ 9) （4）36a2－25b2 = (6a)2－(5b)2 = (6a + 5b)(6a－5b) 例题讲解 例4 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . 解（1）ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式） （用平方差公式） 例题讲解 （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 例4 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式） （用完全平方公式） 例题讲解 例5 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； （2）x4 － 2x2 + 1 . 解（1）16x4 － 81 = (4x2 + 9)(4x2 － 9) = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－ 3) （提取公因式） （用平方差公式） 例题讲解 例5 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； （2）x4 － 2x2 + 1 . （2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式） = [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式） = (x + 1)2(x － 1)2 解： (x2+6x) 2+18(x2+6x) +81 =(x2+6x) 2+2·( x2+6x)· 9+92 =( x2+6x+9) 2 =( x+3) 4. (1)(x2+6x) 2+18(x2+6x) +81. 完全平方公式可以连续使用， 因式分解的结果要彻底 . 变式练习 解：原式=［4(a － b) +5( a+b)］［4( a － b) － 5( a+b)］ =(4a － 4b+5a+5b)(4a － 4b － 5a － 5b) =(9a+b)( － a － 9b) = － (9a+b)( a+9b) . (2)16( a－b) 2－25( a+b) 2. 变式练习 课堂练习 1. 把下列各式写成完全平方的形式： （1）0.81x2 = ( )2； （2） m2n4 = ( )2； （3）y2－8y + 16 = ( )2； （4）x2 + x + = ( )2 . ±0.9x y－4或4－y 2. 把下列各式分解因式： （1）x2 + 2x + 1 ； （2）y2 － 4 ； 解 （1）x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 （2）y2 － 4 = (y + 2)(y－2) （3）1 － 6y + 9y2 ； （4）1－36n2 ； （3）1 － 6y + 9y2 （4）1－36n2 = (1 － 3y)2 = 12－(6n)2 = (1 + 6n)(1－6n) （5）9n2 + 64m2 － 48mn ； （6）－16 + a2b2 . （5）9n2 + 64m2 － 48mn （6）－16 + a2b2 = (3n)2 － 2·3n·8m + (8m)2 = (3n － 8m)2 = (ab)2 －42 = (ab + 4)(ab －4) 3. 把下列多项式分解因式： （1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab； 解（1）2x3－32x = 2x(x2－16) = 2x(x + 4)(x－4) （2）9a3b3－ab = ab(9a2b2－1) = ab(3ab + 1)(3ab－1) （3）mx2－8mx + 16m； （4）－x4 + 256； （4）－x4 + 256 （3）mx2－8mx + 16m = m(x2－8x + 16) = m(x－4)2 = (16)2 －(x2)2 = (16 + x2)(16－x2) = (16 + x2)(4 + x)(4－x) （5）－a + 2a2－a3； （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 . （5）－a + 2a2－a3 （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 = －a(1－ 2a2 + a2) = －a(1－ a)2 = (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2 = (9a2 －4b2)2 = [(3a + 2b)(3a －2b)]2 = (3a + 2b)2(3a －2b)2 分层练习 基础题 1.将 分解因式，结果正确的是( ) B A. B. C. D. 2.把多项式 分解因式，结果正确的是( ) C A. B. C. D. 3.多项式 因式分解为( ) A A. B. C. D. 4.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，其中 没有分解彻底的是( ) A A. B. C. D. 5. 若,，则多项式 的值为 ( ) A A. 2 B. C. 5 D. 6 23 6. 如图，一个大正方形被分割成四部分的面积 分别为,,, ， 则大正方形的边长为( ) D A. B. C. D. 【点拨】因为 ， 所以大正方形的边长为 .故选D. 24 7. 把 分解因式，其中正确的是( ) B A. B. C. D. 8.利用因式分解计算 的结果是( ) D A.44 B.800 C.2 200 D.8 800 9.因式分解： (1)[2024·合肥一模] _________________. (2) _______________. 25 10.把下列各式分解因式： (1) ； 解：原式 . (2) . 解：原式 . 26 11.把下列各式分解因式： (1) ; 解：原式 . (2) ; 解：原式 . 27 12.因式分解： （1） ； 【解】 . 28 （2） . . 29 综合应用题 13.[2024·合肥期中] 将 分解因式，所得结果正 确的是( ) D A. B. C. D. 14.在有理数范围内把 分解因式，结果中因式的个数是( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 因为 , 所以结果中因式的个数是5. 31 15. [2024·郑州期末] 数 学活动课上，同学们一起玩卡片 D A.甲： B.乙： C.丙： D.丁： 游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减 运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏， 否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中 被淘汰的是 ( ) 32 16. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有 这样一条信息：，5， ，，， 分别对应强、 我、祖、爱、国、有.现将 因式分解，则结 果呈现的密码信息可能是( ) B A. 我爱祖国 B. 强国有我 C. 我爱国 D. 我有祖国 33 18.[2024泰安期中] 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差， 那么称这个正整数为“幸福数”，如 ， ，因 此24和56都是“幸福数”，下列4个结论：①最小的“幸福数”是8； 是“幸福数”；③“幸福数”一定是4的偶数倍； 以内的所有“幸 福数”之和是24.其中正确结论的序号为__________. ①②③④ 17.［分类讨论思想］[2024·淄博中考] 若多项式能用 完全平方公式因式分解，则 的值是_____. 34 19.有下列式子：； ； ；； . 其中在实数范围内能用公式法分解因式的是______.（填序号） ②④ 【点拨】本题容易错选⑤，注意提出负号后，原式变为 ， 无法利用平方差公式分解. 35 20.把下列各式分解因式： (1) ； 解：原式 . (2) . 解：原式 ． 36 21.已知长方形的长为，宽为 ，周长为16，两边的平方和 为40. (1)求此长方形的面积； 解：由题意知 , 所以 . 因为,所以 . 答：此长方形的面积为12. (2)求 的值. . 37 创新拓展题 22.［运算能力］下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程. 解：设 ，则 原式 (第一步) (第二步) (第三步) .(第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___. C A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或 “不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果： _________. 不彻底 39 (3)请你仿照以上方法尝试对多项式 进行因式分解. 解：设 ，则 . 40 23. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动 加上，同时B区就会自动减去 ，且均显示化简后的结果.已知A，B 两区初始显示的分别是25和 ，如图①. 第一次按键后，A，B两区分别显示如图②. （1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果. 【解】A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 . 41 （2）从初始状态按4次后，计算A， B两区式子的和，这个和可能为负数 吗？说明理由. 【解】这个和不可能为负数.理由如下： 根据题意，得 . 因为 ，所以这个和不可能为负数. 42 课堂小结 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法. 平方差公式： 完全平方公式： 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$