19.2.2一次函数十五大题型-2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.2.2一次函数十五大题型 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1：一次函数的定义 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数k≠0)的函数,叫做一次函数。 注意：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点2：一次函数的图像及性质 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像也是一条直线，我们称它为直线y=x+b，其图像与性质如下表： y=kx+b k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 图像 性质 图像经过第一、二、三象限； 图像经过第一、三、四象限； 图像经过第一、二、四象限； 图像经过第二、三、四象限； y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 自变量x的取值范围是全体实数； 技巧归纳： 直线y=kx+b(≠0)与y轴交于点(0,b),与y轴交于点(0，b)，与x轴交于点(-b/k，0)。其中b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,截距不是距离,是直线与y轴交点的纵坐标。因此,截距可正,可负,也可为0. 知识点3：一次函数图像的画法 选取满足函数解析式y=x+b的两点(x1，y1),(x2,y2),过这两点画直线,即得函数y=kx+b的图像。 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以由直线=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)。 一次函数解析式与一次函数图像的关系： 知识点4：待定系数法 (1)待定系数法的定义 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法。 如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数。 (2)用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有待定系数的解析式(看是正比例函数,还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组),求出待定系数的值; ④将求出的待定系数代入所设的解析式,得所求的解析式。 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：一次函数的定义】 【题型2： 判断一次函数的图象位置】 【题型3：由一次函数定义求参数】 【题型4：求一次函数自变量或函数值】 【题型5：由一次函数解析式判断经过的象限】 【题型6：由一次函数的位置确定参数取值范围】 【题型7：一次函数的图象与坐标轴的交点】 【题型8：画一次函数的图象】 【题型9：一次函数的平移】 【题型10：一次函数的增减性】 【题型11：由一次函数的增减性求参数】 【题型12：比较一次函数的函数值大小】 【题型13：求一次函数的解析式】 【题型14：一次函数的规律探究】 【题型15：一次函数与三角形面积】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：一次函数的定义】 【例1】．下列函数中一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．在函数①；②；③；④中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】．下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列说法错误的是（　　） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数 C．函数不是一次函数 D．在（k，b都是不为零的常数）中，与x成正比例 【题型2： 判断一次函数的图象位置】 【例1】．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【变式2-3】．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A．B．C． D． 【题型3：由一次函数定义求参数】 【例3】．若是关于的一次函数，则的值为 ． 【变式3-1】．若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【变式3-2】．已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【变式3-3】．已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 【题型4：求一次函数自变量或函数值】 【例4】．已知一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则的值是（　　） A．5 B． C．1 D． 【变式4-1】．已知函数，当时，其对应的函数值为 ． 【变式4-2】．若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 【变式4-3】．若，两点都在一次函数的图象上，则 ． 【题型5：由一次函数解析式判断经过的象限】 【例5】．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】．一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式5-2】．已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6：由一次函数的位置确定参数取值范围】 【例6】．一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【变式6-1】．先化简，再求值： ，其中是使得一次函数图象经过第一、二、四象限的整数． 【变式6-2】．已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 【变式6-3】．已知一次函数．若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围． 【题型7：一次函数的图象与坐标轴的交点】 【例7】．一次函数的图象与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】．如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．函数图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】．一次函数经过点，那么这个一次函数（    ） A．y随x的增大而增大 B．图像与y轴交点在x轴的下方 C．图像与x轴交点在y轴的左侧 D．图像不经过第三象限 【题型8：画一次函数的图象】 【例8】．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 【变式8-1】．已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【变式8-2】．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为．将直线向下平移个单位长度得到直线． (1)求点，点的坐标，画出直线及直线； (2)求直线的解析式； (3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式． 【变式8-3】．已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【题型9：一次函数的平移】 【例9】．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为 ． 【变式9-1】．要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 【变式9-2】．已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【变式9-3】．将直线向右平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为 ． 【题型10：一次函数的增减性】 【例10】．已知一次函数图象上两点，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】．下列函数中，的值随的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】．已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C．随的增大而减小 D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小 【变式10-3】．已知是一次函数图象上的两个点，则 ．（填“”“”或“＝”） 【题型11：由一次函数的增减性求参数】 【例11】．已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 【变式11-1】．已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【变式11-2】．一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式11-3】．已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【题型12：比较一次函数的函数值大小】 【例12】．点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是 ． 【变式12-1】．已知是一次函数图象上两点，若，则 ．（填“>”“<”或“”） 【变式12-2】．已知是直线上的两点，则 （填：、或） 【变式12-3】．已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 【题型13：求一次函数的解析式】 【例13】．若，两点都在一次函数的图象上，则 ． 【变式13-1】．一次函数 的图像经过点，则代数式的值为 ． 【变式13-2】．直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为 ． 【变式13-3】．写一个图象不经过第三象限且经过点的一次函数解析式 ． 【题型14：一次函数的规律探究】 【例14】．如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 【变式14-1】．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 【变式14-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【变式14-3】．正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．    【题型15：一次函数与三角形面积】 【例15】．已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 【变式15-1】．已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【变式15-2】．如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【变式15-3】．直线与直线的图象交于点，且在y轴上的截距是，求： (1)这两个函数关系式； (2)这两条直线与x轴围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.2.2一次函数十五大题型（解析版） 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1：一次函数的定义 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数k≠0)的函数,叫做一次函数。 注意：当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点2：一次函数的图像及性质 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像也是一条直线，我们称它为直线y=x+b，其图像与性质如下表： y=kx+b k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 图像 性质 图像经过第一、二、三象限； 图像经过第一、三、四象限； 图像经过第一、二、四象限； 图像经过第二、三、四象限； y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 自变量x的取值范围是全体实数； 技巧归纳： 直线y=kx+b(≠0)与y轴交于点(0,b),与y轴交于点(0，b)，与x轴交于点(-b/k，0)。其中b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,截距不是距离,是直线与y轴交点的纵坐标。因此,截距可正,可负,也可为0. 知识点3：一次函数图像的画法 选取满足函数解析式y=x+b的两点(x1，y1),(x2,y2),过这两点画直线,即得函数y=kx+b的图像。 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以由直线=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)。 一次函数解析式与一次函数图像的关系： 知识点4：待定系数法 (1)待定系数法的定义 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法。 如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数。 (2)用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有待定系数的解析式(看是正比例函数,还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组),求出待定系数的值; ④将求出的待定系数代入所设的解析式,得所求的解析式。 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：一次函数的定义】 【题型2： 判断一次函数的图象位置】 【题型3：由一次函数定义求参数】 【题型4：求一次函数自变量或函数值】 【题型5：由一次函数解析式判断经过的象限】 【题型6：由一次函数的位置确定参数取值范围】 【题型7：一次函数的图象与坐标轴的交点】 【题型8：画一次函数的图象】 【题型9：一次函数的平移】 【题型10：一次函数的增减性】 【题型11：由一次函数的增减性求参数】 【题型12：比较一次函数的函数值大小】 【题型13：求一次函数的解析式】 【题型14：一次函数的规律探究】 【题型15：一次函数与三角形面积】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：一次函数的定义】 【例1】．下列函数中一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫做一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、，是一次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】．在函数①；②；③；④中一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次例函数的定义：形如（k为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； 其中属于一次函数的有3个， 故选：C． 【变式1-2】．下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答．本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意； B、不是一次函数，故该选项不符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D 【变式1-3】．下列说法错误的是（　　） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数 C．函数不是一次函数 D．在（k，b都是不为零的常数）中，与x成正比例 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数和正比例函数的关系等知识点，掌握正比例函数是特殊的一次函数成为解题的关键． 根据一次函数和正比例函数的定义、二者之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：A、当时，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．故此选项错误，符合题意． B、正比例函数是特殊的一次函数．故此选项正确，不符合题意． C、函数不是一次函数，故此选项正确，不符合题意． D、在（k、b都是不为零的常数）中，与x成正比例，符合正比例函数定义．故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 【题型2： 判断一次函数的图象位置】 【例1】．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式2-1】．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：一次函数，随着的增大而减小， ， 又， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 【变式2-2】．下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据、的取值判断一次函数图象，即可解题． 【详解】解：中， 一次函数图象必过二、四象限， ， 一次函数与轴交于负半轴， 函数图像大致是 故选：B． 【题型3：由一次函数定义求参数】 【例3】．若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】．若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3-2】．已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 【变式3-3】．已知关于的函数是一次函数． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）先根据一次函数的定义求出m的值，进而可得解析式； （2）把代入一次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在一次函数图象上，否则不在． 【详解】（1）解：因为函数是关于的一次函数， 所以，所以． 又因为当时，，不合题意，舍去； 所以的值为， 所以． （2）解：由（1）可知，此函数的表达式为． 当时，， 所以点在此函数图象上． 【题型4：求一次函数自变量或函数值】 【例4】．已知一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则的值是（　　） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质， 根据两个一次函数的图象关于y轴对称，得出它们与y轴的交点相同，进而可求出n的值，再在所得一次函数的图象上任意取一点，将其关于y轴的对称点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：当，， ∴一次函数与y轴的交点坐标为. ∵一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则将代入得，， 所以一次函数的解析式为． 令得，， 则点关于y轴的对称点坐标为． 将代入得， ， 解得， 所以． 故选：D． 【变式4-1】．已知函数，当时，其对应的函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出值即可，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【变式4-2】．若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：点在直线上， ，即， 故答案为：． 【变式4-3】．若，两点都在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵，两点都在一次函数的图象上， ∴ 解得： 故答案为： 【题型5：由一次函数解析式判断经过的象限】 【例5】．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据一次函数的性质，可以得到一次函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：一次函数，，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选D． 【变式5-1】．一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数解析式中k与b的几何意义是解答此题的关键．根据函数解析式中k与b的几何意义，运用排除法即可完成解答． 【详解】解：由函数解析式知，它是一次函数，因为，所以图象经过第二、四象限；又，所以图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，即图象经过第一、二、四象限． 故选：A． 【变式5-2】．已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限是解决此题的关键，由于正比例函数函数值随的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：正比例函数（为常数，）中的的值随着值的增大而减小， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限； 故选：． 【变式5-3】．已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把一次函数解析式变形为，则可得到当时，，则直线过定点，据此可得答案． 【详解】解：∵直线解析式为， ∴当，即时，， ∴直线过定点， ∴不论取什么值，该直线必定经过第四象限， 故选：D． 【题型6：由一次函数的位置确定参数取值范围】 【例6】．一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查了一次函数图象与系数的关系． （1）当y随x的增大而减少时，，解之即可得出结论； （2）图象经过第一、二、三象限时，，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 即当时，y随x的增大而减小； （2）解：若图象过第一、二、三象限，则 ， 解得， 故当时，图象能过第一、二、三象限． 【变式6-1】．先化简，再求值： ，其中是使得一次函数图象经过第一、二、四象限的整数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数的图象性质，熟练掌握分式运算法则、一次函数的图象性质是解题关键． 先化简分式，再根据一次函数确定的取值范围，代入计算即可． 【详解】解： ， 一次函数图象经过第一、二、四象限， ， 解得：， 是整数， ，，，， ，，， ，，， ， 原式． 【变式6-2】．已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，熟记一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）根据正比例函数定义，得到，，求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图象，结合图象得到，，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是正比例函数， ，， 解得，； （2）解：一次函数图象经过第一，三，四象限，如图所示： ，， 解得，． 【变式6-3】．已知一次函数．若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据函数经过的象限得到，，即可得到答案． 【详解】解：图象经过一、二、三象限， 故，， 解得，， ． 【题型7：一次函数的图象与坐标轴的交点】 【例7】．一次函数的图象与轴的交点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了考查一次函数与轴的交点坐标，令求出的值，即可写出一次函数与轴的交点坐标． 【详解】解：令，即， 解得： ∴一次函数与轴的交点坐标为 故选：B． 【变式7-1】．如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求出直线与轴的交点坐标，再代入到直线中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵直线与直线相交于轴上， ∴把代入，得：， 解得：； 故选D． 【变式7-2】．函数图象向上平移3个单位后，对应函数图象与y轴交点纵坐标为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据函数图象向上平移3个单位后解析式为，当时，，解答即可． 本题考查了平移，图象与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：根据函数图象向上平移3个单位后解析式为， 当时，． 故函数图象与y轴交点纵坐标为2， 故选：A． 【变式7-3】．一次函数经过点，那么这个一次函数（    ） A．y随x的增大而增大 B．图像与y轴交点在x轴的下方 C．图像与x轴交点在y轴的左侧 D．图像不经过第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的增减性，求一次函数解析式，一次函数图像与其系数的关系，先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可判断增减性和经过的象限，再求出与坐标轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴原一次函数解析式为， ∴y随x的增大而减小，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意；D说法正确，符合题意； 当时，，当时，， ∴一次函数与x轴，y轴分别交于， ∴图像与y轴交点在x轴的上方，图像与x轴交点在y轴的右侧，故B、C说法错误，不符合题意； 故选：D． 【题型8：画一次函数的图象】 【例8】．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于、两点． (1)求、两点的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数图像的画法是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点、坐标即可； （2）根据点、坐标，画出一次函数图象即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴， （2）如图，直线即为所求． 【变式8-1】．已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 【变式8-2】．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为．将直线向下平移个单位长度得到直线． (1)求点，点的坐标，画出直线及直线； (2)求直线的解析式； (3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式． 【答案】(1)，，画图见解析 (2) (3)见解析 【分析】（）把代入可求出点坐标，进而画出直线； （）根据平移的性质解答即可求解； （）求出直线与轴的交点坐标即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，画一次函数图象，一次函数图象的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴点的坐标为， 画图如下： （2）解：∵将直线向下平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 即； （3）解：把代入，得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴直线还可以看作由直线向右平移个单位长度得到的． 【变式8-3】．已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数． （1）设一次函数的表达式为，把当时，；时，代入利用待定系数法求解即可． （2）先求出时x的值，再根据一次函数的图像和性质得出当时，，然后画出的一次函数图像即可． 【详解】（1）解：由题知，设一次函数的表达式为， 则， 解得： 所以一次函数的表达式为． （2）解：当， 解得：， ∵， ∴当时，， 函数图象如图所示， 【题型9：一次函数的平移】 【例9】．将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”．据此解答即可． 【详解】解：将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为， 故答案为：． 【变式9-1】．要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数的平移规律是解题的关键．由直线向上平移个单位，其图象经过点，把代入平移后的解析式：即可得到答案． 【详解】解：设直线向上平移个单位，其图象经过点， 点在的图象上， ， ， 故答案为： 【变式9-2】．已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一次函数平移规律即可解答． 【详解】解：设直线l的解析式为， ∵直线l经过和，则， 解得：， ∴直线l的解析式为， 把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 则直线的解析式为， 故答案为：． 【变式9-3】．将直线向右平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点代入计算即可． 【详解】解：将直线向右平移3个单位长度后，所得直线解析式为， 所得直线经过点， ， 解得：， 故答案为：． 【题型10：一次函数的增减性】 【例10】．已知一次函数图象上两点，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到y随x的增大而增大，比较自变量的大小即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【变式10-1】．下列函数中，的值随的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．“当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小”，据此求解即可． 【详解】解：函数，和，的值都大于0，则的值随的值增大而增大；都不符合题意； 只有函数，满足，则的值随的值增大而减小， 故选：C． 【变式10-2】．已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C．随的增大而减小 D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，﹥，且随的增大而增大，故选项A结论正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； 图象与轴交于负半轴，所以，B选项错误，不符合题意； 图形向上平移，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变小，当过原点后，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变大，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式10-3】．已知是一次函数图象上的两个点，则 ．（填“”“”或“＝”） 【答案】 【分析】根据中，得到y随x的增大而减小，结合，得到解答即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型11：由一次函数的增减性求参数】 【例11】．已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．先求得一次函数的增减性，即可得出． 【详解】解：一次函数的图象经过点、，且， 一次函数随的增大而增大， 故答案为：． 【变式11-1】．已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质得出，求解即可． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式11-2】．一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的函数值随的增大而减小得出，解不等式求解即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值随增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式11-3】．已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 【题型12：比较一次函数的函数值大小】 【例12】．点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质， 根据一次函数值y随着x的增大而增大，可得答案. 【详解】解：∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大. ∵， ∴. 故答案为：. 【变式12-1】．已知是一次函数图象上两点，若，则 ．（填“>”“<”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：因为一次函数解析式为， 所以y随x的增大而减小． 因为在此一次函数图象上，且， 所以． 故答案为：>． 【变式12-2】．已知是直线上的两点，则 （填：、或） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴随的增大而减小， 又∵是直线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】．已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对于一次函数，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型13：求一次函数的解析式】 【例13】．若，两点都在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵，两点都在一次函数的图象上， ∴ 解得： 故答案为： 【变式13-1】．一次函数 的图像经过点，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】把点代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式的值． 本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵的图像经过点， ∴， ， 故答案为：1． 【变式13-2】．直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查两条直线相交或平行问题，解题的关键在于确定k的值． 根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据直线相交于点，计算求出b，即可得解． 【详解】∵直线与直线平行， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为： 【变式13-3】．写一个图象不经过第三象限且经过点的一次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵此函数的图象不经过第三象限， ∴， 又经过点， ∴符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型14：一次函数的规律探究】 【例14】．如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的变化规律，先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：由题意知， 设， 则， 解得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式14-1】．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 【变式14-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，先求出的坐标并归纳出规律是解题关键．先求出的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由题意得：把代入直线， 得， 把代入直线得： ∴， 由等腰直角三角形的性质得：， 的横坐标为 则的横坐标为1，代入直线得，，即， 由等腰直角三角形的性质得， ， 即的横坐标为， 同理可得：的横坐标为， ∴的横坐标为（为正整数）， ∴的横坐标为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：． 【变式14-3】．正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探究；根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出、、的坐标，找出规律得出的坐标为，即可解答． 【详解】解：直线和轴交于， 的坐标， 即， 四边形是正方形， ， 把代入得：， 的坐标为， 同理的坐标为， 的坐标为， 的坐标是，即， 故答案为：． 【题型15：一次函数与三角形面积】 【例15】．已知一次函数的图象过点，和. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数与轴，轴的交点坐标； (3)求此一次函数与坐标轴所围成的面积. 【答案】(1) (2)此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； (3)4 【分析】（1）求此一次函数表达式，先设一次函数表达式，再根据交点坐标带入计算即可得到函数解析式； （2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标，需分别假设时，和时相对应的点坐标，通过计算就可以得出一次函数与x轴、y轴的交点坐标； （3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积，利用函数与x轴，y轴的交点坐标结合三角形面积公式即可得到结果． 本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 把点和点代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵ 当时，， 则此函数与轴的交点坐标为； 当时，， 解得 则此函数与轴的交点坐标为； （3）解：∵此函数与轴，轴的交点坐标分别为，； ∴此一次函数与坐标轴所围成的面积． 【变式15-1】．已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）将代入即可求出y的值，将代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象； （2）先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得：． 填写表格如下， x 0 0 图象见下图： ； （2）解：平移后的直线为， 即， 当时，， 当时，， 解得：， 则点A的坐标为，点B的坐标为． 所以的面积． 【变式15-2】．如图，直线与坐标轴分别交于、两点，．点在直线上．动点从点出发，沿路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．设点的运动时间为秒． (1)求点的坐标； (2)用含的代数式表示的长度； (3)当时，求的面积； (4)当的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)； (4)当的面积为6时，的值为4或11． 【分析】本题主要考查对于一次函数的应用． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再将代入求解即可； （2）分两种情况，写出的长度即可； （3）先求得的长度，利用三角形的面积公式求解即可； （4）分两种情况，利用三角形的面积公式列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：当点在上即时，， ∴， 当点在上即时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵点的坐标为， ∴； （4）解：当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； ∴当的面积为6时，的值为4或11． 【变式15-3】．直线与直线的图象交于点，且在y轴上的截距是，求： (1)这两个函数关系式； (2)这两条直线与x轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了两条直线相交的问题，三角形面积，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，直线与x轴的交点的求法． （1）根据在y轴的截距求出b，再将交点坐标代入求出，得到第一个函数解析式，将交点坐标代入直线解析式求出，得到第二个函数解析式； （2）分别求出第一条直线与x轴的交点坐标，从而得到三角形的底边长， 【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距是， ∴， ∵直线与直线的图象交于点， ∴， ∴， ∴这两个函数关系式分别为； （2）解：令，则， 解得， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∴这两条直线与x轴围成的三角形在x轴上的边长为6， ∴这两条直线与x轴围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$