新定义问题：函数、圆锥曲线、数列专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

新定义问题：函数新定义、圆锥曲线新定义、数列新定义 新定义问题：函数新定义、圆锥曲线新定义、数列新定义 考点一 函数新定义 1．（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 2．（2025·广西桂林·二模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 3．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. 5．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，设的一个极值点为． （i）判断是否成立，并说明理由；（已知） （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. 7．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）给定两个正整数、，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足，，，（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）．已知函数． (1)记为在处的阶帕德逼近，求解析式； (2)，，求的取值范围． 8．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 考点二 圆锥曲线新定义 1．（2025·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 2．（24-25高二上·广东·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于、两点（在上方），当轴时，直线为的等线. (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由. 【注】双曲线在其上一点处的切线方程为. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若一个椭圆的焦距为素数（素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数），且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. (1)证明：椭圆为“朴素椭圆”； (2)是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由. 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且. (1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程； (2)将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 6．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知动点到轴的距离为为坐标原点，且，其中均为常数，动点的轨迹称为（）曲线． (1)判断 曲线为何种圆锥曲线． (2)当应满足什么条件时，（）曲线为双曲线？ (3)设曲线为曲线，斜率为的直线过曲线的右焦点，且与交于两个不同的点．若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点． 7．（24-25高二上·江西南昌·期中）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）． (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由； (2)已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）． 8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． (1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； (2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； (3)若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 考点三 数列新定义 1．（2025·陕西汉中·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，求数列的前项和． 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）对于项数为m+1的有限数列A:，定义为数k在数列A中出现的次数.若其对于任意的均满足：①，② 则称数列A为自表数列. (1)判断下列数列是否为自表数列： ； (2)已知数列A：为自表数列，求证： (3)求证：时，项数为的自表数列存在且唯一. 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . (1)若 ，求 (直接写出答案)； (2)求满足不等式 的正整数的最小值； (3)求数列的通项公式. 4．（2025·广东中山·模拟预测）有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； (2)已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 6．（2025·北京·模拟预测）已知有穷数列：，，满足，，且恰有项为.  定义，其中，.  对于给定的正整数，若正整数满足，则称是一个“险胜时刻”. (1)对于满足的数列：，写出全部的“险胜时刻”. (2)当时，数列：中“险胜时刻”最多有多少个? (3)求的所有可能值，使得数列：一定存在“险胜时刻”. 7．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 8．（2025·河南开封·二模）设为不小于3的正整数，项数为的数列是公差大于0的等差数列，若存在项数为的数列同时满足： ①数列中任意两项均不相同； ②任意正整数，从小到大排列恰好为数列． 此时称数列是-可拆分等差数列． (1)写出一个3-可拆分等差数列及其对应的一个数列； (2)若数列是一个4-可拆分等差数列，表示事件“数列的前三项成等差数列”，求事件发生的概率； (3)求所有满足数列是-可拆分等差数列的正整数的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$新定义问题：函数新定义、圆锥曲线新定义、数列新定义 新定义问题：函数新定义、圆锥曲线新定义、数列新定义 考点一 函数新定义 1．（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故， 则实数的取值范围为； （2）依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去； 若，则，令， 则，则在上单调递减，且， ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件； ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去， 综上所述，实数的取值范围为. 2．（2025·广西桂林·二模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】(1)为的凸函数 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 3．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2) (3)证明见解析 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 因为，， 所以 ， 又的定义域为，有，则，可取使等号成立，故的最小值为． （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，， . （2）设，则，，，， 以此类推可知，对任意的，，则， 所以， . （3）对任意的，要证明，即证， 即证， 令，其中， 则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即，故原不等式得证. 5．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意知：与的公共定义域为， 令，即，， 令，若与为“契合函数”，则与有交点. ， 当时，，，即；当时，； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示，    由图象可知：当时，与有交点， 即当与为“契合函数”时，的取值范围为. （2）①由题意知：与的公共定义域为， 令，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示：    令，则， 由得：， 在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点， 与有两个不同交点，，， ，解得：，即实数的取值范围为. ②由①得：与的两个不同交点为，且， ，即，，， 令，则由知：，， ，整理可得：，， ， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即. 6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，设的一个极值点为． （i）判断是否成立，并说明理由；（已知） （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 当时，，下面我们开始研究各个小问， （i）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （ii）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则，， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（），则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证． 7．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）给定两个正整数、，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足，，，（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）．已知函数． (1)记为在处的阶帕德逼近，求解析式； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， ，，， 由，得， 所以，则， 由，得， 所以，由，得， 所以． （2）依题意得在区间内恒成立， 可得， 令，其中，且， 则，令， 当时，对任意的，恒成立，即， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时， 对任意的，恒成立，即， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，则，函数有两个不等的零点、，设， 由韦达定理可得，必有， 所以，当时，，即，所以，函数在上单调递减， 此时，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 8．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象是凸的，证明见解析； (2)的凹的区间为，的凸的区间为. (3). 【详解】（1）的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 考点二 圆锥曲线新定义 1．（2025·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 【答案】(1)，点为坐标原点 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）依题意，得即 ，故曲线方程为. 点在曲线上，，故曲线方程为 由对称性可知，点为坐标原点 （2）（i）依题意，得， 得①， 又直线的斜率为2且， ②. 将②代入①中，得③， 将②和③相加，得， 从而是首项为1，公比为的等比数列， . （ii）点在定直线上. 证明如下： ， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为， 令，得， 直线与直线的交点坐标为， 故点在定直线上. 2．（24-25高二上·广东·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于、两点（在上方），当轴时，直线为的等线. (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由. 【注】双曲线在其上一点处的切线方程为. 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【详解】（1）将代入双曲线的方程可得，解得， 因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即. 由，得. 因为双曲线的离心率为，所以双曲线的离心率为， 又因为，所以， 所以，，所以双曲线的方程为. （2）设，则双曲线在点处的切线的方程为. 双曲线的渐近线方程为， 联立可得，同理可得， 所以， 所以是线段的中点. 因为点、到过原点的直线的距离相等， 所以过原点的等线必定满足点、到该等线的距离相等，且分别位于两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为. 方程组解得或，所以. 所以，，所以， 故. （3）设，则双曲线在点处的切线的方程为. 易知与在的右侧，在的左侧， 因为，， 所以点到的距离. 由得. 因为，，所以，， 所以. 因为点到的距离， 点到的距离， 所以，即为的等线. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若一个椭圆的焦距为素数（素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数），且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. (1)证明：椭圆为“朴素椭圆”； (2)是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在实数，理由见解析 (3)为“朴素椭圆”，理由见解析 【详解】（1）由已知椭圆， 即，， 则， 所以焦距，离心率，即， 所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数， 即椭圆为“朴素椭圆”. （2）椭圆的焦距为， 离心率， 若存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”， 则，均为质数， 又，所以，，，，， 即，，，，， 则，，，，，这些数都不是质数， 所以不存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”； （3）设的右焦点为， 则直线方程为， 设直线与椭圆的交点为，， 联立， 得，， 则，， ， 解得， 则的焦距为为质数， 离心率，其倒数为质数， 所以为“朴素椭圆”. 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且. (1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程； (2)将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：. 【答案】(1)， (2)存在，且 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得，则， 即椭圆C的方程为，伴随圆的方程为； （2）由的方程为，则曲线的方程为， 假设存在该点，其为定值， 令，则有， 则， ， 则有，整理得， 令，解得或（舍去）， 故存在，即定点，使得为定值； （3）设、， 由，消去可得， ，即， ，， ， 令，则， 同理可得， 则 ， 即线段中点坐标为，则，故. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)，曲线的方程为； (3). 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 6．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知动点到轴的距离为为坐标原点，且，其中均为常数，动点的轨迹称为（）曲线． (1)判断 曲线为何种圆锥曲线． (2)当应满足什么条件时，（）曲线为双曲线？ (3)设曲线为曲线，斜率为的直线过曲线的右焦点，且与交于两个不同的点．若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点． 【答案】(1)椭圆 (2)且 (3)证明见详解 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且，曲线为双曲线. （3）由，，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立，得. 设，则， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 7．（24-25高二上·江西南昌·期中）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）． (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由； (2)已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）． 【答案】(1)是，相似比为 (2) 【详解】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， ， 椭圆中， ， 则， 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）设椭圆的半焦距为，因为的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为，又与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为，即 所以的面积为， 又两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形”的三个对应角相等， 如图，有， 则，，所以， 又因为， ，所以， 故的面积为. 8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． (1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； (2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； (3)若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【答案】(1)是 (2) (3)是，证明见解析 【详解】（1）由题意得椭圆方程为，所以， 设，则 ， 二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点， ∴椭圆是“圆椭圆”； （2）因为椭圆方程为，，设，， 则，， 由题意得，当且仅当时，函数值达到最大， ①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）； ②当开口向下时，满足， 综上可得的取值范围为． （3）法—：由（2）可得，则椭圆方程为， 由题意：设且， 则，则直线：，则， 则直线，则， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且, ∴，， 则，解得， 所以得定点． 法二：椭圆方程：，设， 则， 所以，， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上， ∴设，则，又，， 所以， ∵，解得， 所以得定点. 考点三 数列新定义 1．（2025·陕西汉中·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：在区间内的偶数为2，4，6，8，10， 共有5个，则． （2）证明：在区间内的偶数为， 则． 因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （3）解：设等差数列的公差为，则， 所以， 所以． 由（2）知，，则， ①， 则②， 所以①-②可得： ， 故． 2．（24-25高三下·北京·阶段练习）对于项数为m+1的有限数列A:，定义为数k在数列A中出现的次数.若其对于任意的均满足：①，② 则称数列A为自表数列. (1)判断下列数列是否为自表数列： ； (2)已知数列A：为自表数列，求证： (3)求证：时，项数为的自表数列存在且唯一. 【答案】(1)数列A是自表数列，数列B不是自表数列. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）判断下列数列是否为自表数列. 定义：对于数列，，，，，若表示数字i在数列中出现的次数，则称该数列为自表数列. 数列 数字0出现3次，；数字1出现2次，；数字2出现1次，； 数字3出现1次，；数字4出现0次，；数字5出现0次，； 数字6出现0次，. 所有条件均满足，因此数列A是自表数列. 数列； 数字0出现3次，但不正确，其他条件也不满足. 因此，数列B不是自表数列. （2）已知数列A为自表数列， 由于数列A为自表数列，每个数字出现的次数为，且总项数为. 对于任意自表数列，必然存在唯一一个数字，其出现次数为1（即）. 其余数字的出现次数均为0或大于1. 因此，从第项到第项中，必然有且仅有一个数字出现一次，其余数字出现次数为0. 由此可得：； （3）对于项的自表数列，其构造需满足以下条件： 每个数字的出现次数为，总项数为. 存在性：当时，构造数列A:为（其中有个0）， 数字0出现次，；数字1出现2次，； 数字2出现1次，；数字3出现1次，； 数字出现0次，，满足自表数列定义， 所以时，项数为m+1的自表数列存在； 唯一性：设项数为的自表数列A:， 因为，且， 假设，即有个， 设初外，非零的中最大的数为由前可知或， 若，会出现矛盾， 若，无法构造符合条件的数列， 当时，只能有（其中有个0）这一种情况， 得证唯一性. 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）定义： 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和， 形成新的数列， 把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1，3，5 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1，4，3，8，5； 第二次 “和扩充” 后得到数列1，5，4，7，3，11，8，13，5. 设数列 经过 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 . (1)若 ，求 (直接写出答案)； (2)求满足不等式 的正整数的最小值； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)10 (3) 【详解】（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. 所以的最小值为10. （3）因为， ， 依次类推，， 故 . 4．（2025·广东中山·模拟预测）有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有； （2）由题意可得， 又为整数，故， 则， 同理可得， 即有，            同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，，           故 ； （3）对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）若有穷正整数数列：，，，…，（）满足如下两个性质，则称数列为数列：①（1，2，3，…，）；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列：1，1，2，2，4，4和数列：1，1，1，3，3，5是否为数列，说明理由； (2)已知数列：，，，…，（）是数列. （ⅰ）若，试列举所有的数列； （ⅱ）证明：对任意的，与不能同时成立. 【答案】(1)数列，数列不是； (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）对于数列A，，，，即数列A满足性质①， 又，，，，，即数列A满足性质②， 所以数列A是T数列； 对于数列B，，，且对任意的正整数， 有，即数列B不满足性质②， 所以数列B不是T数列. （2）（ⅰ）对任意的，由性质①，，由性质②，， 当时，，而为正整数，则， 当时，，而为正整数，则，由（1）知，符合题意， 或，此时，满足性质②，符合题意； 当时，，为正整数， 若，则或或， 当时，，符合题意； 当时，，对任意的正整数， 有，不满足性质②； 当时，由（1）知，符合题意， 若，则或， 当时，由（1）知，不符合题意； 当时，，满足性质②， 因此数列前6项为：；；， 当时，，为正整数， 若，则，满足性质②，或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②； 若，则或满足性质②， 或或都不满足性质②， 所以，所有的数列为：；；； ；. （ⅱ）假设存在，使得， 由性质①，可得， 由性质②，存在正整数，使得， 由，得，则，， 而，矛盾， 所以与不能同时成立. 6．（2025·北京·模拟预测）已知有穷数列：，，满足，，且恰有项为.  定义，其中，.  对于给定的正整数，若正整数满足，则称是一个“险胜时刻”. (1)对于满足的数列：，写出全部的“险胜时刻”. (2)当时，数列：中“险胜时刻”最多有多少个? (3)求的所有可能值，使得数列：一定存在“险胜时刻”. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）所谓“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 该数列的第项和第项为，其余为. 所以是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 那么满足条件的全部为：. （2）①首先证明：数列的“险胜时刻”的个数不会超过. 由于是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 这就意味着，中有两个，一个，此时，称这样的是一个险胜三元组. 当某个属于某个险胜三元组时，将这个和这个险胜三元组配一对，设一共配了对. 设数列的“险胜时刻”的个数为，则恰好也是险胜三元组的个数. 每个险胜三元组恰包含两个，所以. 那么，很显然，中的每个至多属于三个险胜三元组，而第一个和最后一个至多属于两个险胜三元组. 而中恰有个，这就表明，所以，得. 这就证明了数列的“险胜时刻”的个数不会超过. ②另一方面，当的第项为，其它项为时，验证即知中的每个正整数都是的“险胜时刻”. 综合①②两个方面，即知数列的“险胜时刻”最多有个. （3）是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个，即有五个和四个. ①若，则当的第项为，其它项为时，数列的任意连续项之和都为负数，不可能为，所以不存在“险胜时刻”； ②若，可从下面的项数列中任意删去个得到数列： . 此时，数列的任意连续项至少有项为，所以不存在“险胜时刻”； ③若，由于对任意的，都是九个奇数相加，从而一定是奇数。 而对，都有，所以如果无解，则必定有或之一恒成立. 此时，又有 . 假设恒成立，则 由于，故数列的任意连续项至少有项为，故 . 所以. 这表明每个等号都成立，所以，. 且，. 但这导致，矛盾. 再假设恒成立，则 由于，故数列的任意连续项至少有项为，故 . 所以，矛盾. 以上过程表明，和均不能恒成立，所以一定有解，即一定存在“险胜时刻”. 综合①②③，可知全部可能值为. 7．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3). 【详解】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 8．（2025·河南开封·二模）设为不小于3的正整数，项数为的数列是公差大于0的等差数列，若存在项数为的数列同时满足： ①数列中任意两项均不相同； ②任意正整数，从小到大排列恰好为数列． 此时称数列是-可拆分等差数列． (1)写出一个3-可拆分等差数列及其对应的一个数列； (2)若数列是一个4-可拆分等差数列，表示事件“数列的前三项成等差数列”，求事件发生的概率； (3)求所有满足数列是-可拆分等差数列的正整数的值． 【答案】(1)等差数列，数列； (2)； (3)3和4． 【详解】（1）首先项数为，且数列中任意两项均不相同； ，满足条件②，则上述数列满足题意. （2）数列四项均不相同，故总的排列方法有种． 假设数列各项从小到大排列，即， 则两两相加后最小项，次小项，最大项，次大项． 设等差数列公差为，则， 又数列第三项，第四项；或者第三项，第四项， 所以且，得且； 或者 且，得且， 以上两种情况不能同时成立，由以上分析知使前三项等差的排列方式有4种，故 （3）由前两问知可以取3和4． 时，假设数列各项从小到大排列，则两两相加后最小项， 次小项，最大项，次大项， 因为数列等差，故得， ①若，则各不相同，而与两两不同矛盾， 即时数列不可能是－可拆分等差数列； ②时，，即， 此时数列共10项，最小项，次小项，最大项，次大项， 设等差数列公差为，则， 即， 所以， 剩余四项为， 又公差，故是连续三项， 所以只能是第4项或者第7项， 当是第4项时，得，与两两不同矛盾， 当是第7项时，，得，与两两不同矛盾，故不能是5． 综上，满足数列是－可拆分等差数列的正整数只能是3和4． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$