排列与组合、二项式定理专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

排列与组合、二项式定理专项训练 排列与组合、二项式定理专项训练 考点一 排列与组合 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 2．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】C 【详解】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种， 则共有种. 故选：C 3．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（   ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【详解】第一种情况，5个小球只包含1种颜色，有3种情况； 第二种情况，5个小球包含2种颜色，两种颜色的球的个数组合为或， 所以包含2种颜色的取法种数有； 第三种情况，5个小球包含3种颜色，3种颜色的球的个数组合为或， 所以包含3种颜色的取法种数有. 所以共有种方法. 故选：C 4．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（   ） A．432种 B．486种 C．504种 D．540种 【答案】A 【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种； 当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种； 所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种， 故选：A 5．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列， 故所有的情况有种. 故选：C. 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（      ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场， 则甲有种选择，其余名歌手任意排列， 所以，不同的安排方法种数为种. 故选：C. 7．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲从8门选修课中任意选择3门，共有种选法， 从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法， 所以共有种选法. 故选：. 8．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 【答案】B 【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法， 则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务， 共有种不同的安排方案. 故选：B． 9．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习·多选）下列说法正确的有（   ） A．某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B．用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C．现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D．把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 【答案】BCD 【详解】对于选项A：每层均有2种选择，从一楼上到五楼可能的走法有种，故A错误； 对于选项B：若个位为0，偶数共有个； 若个位不为0，偶数共有个； 综上所述：偶数共有个，故B正确； 对于选项C：若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，所以放法有种，故C正确； 对于选项D：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有种结果， 字母中包含2个r，则五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， 所以可能出现的错误的种数是，故D正确； 故选：BCD. 10．（2025·福建泉州·二模·多选）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 【答案】AC 【详解】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确； 对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误； 对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序， 由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确； 对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中， 由倍缩法可知，不同的排法种数为种，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习·多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 12．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习·多选）从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（    ） A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 【答案】ABC 【详解】对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种，女生的选法有种，所以共有种不同的选法.故A正确. 对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可， 有种不同的选法，故B正确. 对于C，在10人中任选4人，有种不同的选法，甲乙都不在其中的选法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，故C正确. 对于D，在10人中任选4人，有种不同的选法，只有男生的选法有种， 10人中任选4人不可能全是女生，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种，故D错误.     故选： 13．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知，则 ． 【答案】3 【详解】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 14．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 （请用数字作答） 【答案】30 【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种. 故答案为：30. 15．（2025·河南·二模）某同学收集了第一届全国学生（青年）运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为 .（用数字作答） 【答案】20 【详解】先将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，有种贴法， 再贴“琮琮”，有种贴法， 由分步乘法计数原理可得，不同的贴法种数为种. 故答案为：20. 16．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有 种.（用数字作答） 【答案】 1512 324 【详解】将这9个数填入，不同的填法种数为， 这9个数中有4个奇数，5个偶数， 因为填入的每行数之和为偶数， 故每行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按分成三组， 当两个1在同一行时， 不同的填法种数为， 当两个1不在同一行时， 不同的填数方法种数为. 故不同的填法种数为. 故答案为：1512；324. 17．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）90；（4）360；（5）1560 【详解】（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法； （2）无序部分均匀分组问题：共有＝15（种）分法； （3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法， 同时3人不同，需要排序，故有（种）分配方式； （5）分两类： 第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 由加法原理，知共有种不同分法. 18．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ (5)若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ 【答案】(1)60； (2)21； (3)91； (4)120； (5)181440 【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. （5）根据题意，将9人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法. 19．（24-25高二下·湖北孝感·期中）有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ (2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？ + (3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ (4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？ （要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【答案】(1)24 (2)384 (3)90 (4)168 【详解】（1）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品：共有种. （2）一共抽取5次结束，则 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是正品：种， 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是次品：种， 共有种 （3）第1，2次测出次品结束： 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束： 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束： 共有种- （4）①最终以正品结束， 则共抽5次，则第1次为次品，其余均为正品，共有种； ②最终以次品结束， 则分三种情况： 共抽4次，则第1，4次为次品，第2，3次为正品，共有种； 共抽5次，则第1，5次为次品，第2，3，4次为正品，共有种； 共抽6次，则第1，6次为次品，第2，3，4，5次为正品，共有种； 共有：种 20．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 【答案】(1)72 (2)243 (3)150 【详解】（1）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻， 先将丙丁戊排成一列有种方法， 再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种）. （2）去三个城市游览，每人只能去一个城市， 可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人， 则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是（种）. 21．（2025·山西·一模）在正整数的任意一个排列A：中，对于任意，且，若，则称为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为．例如对于排列A：1，2，3，5，4，为一个峰对，． (1)设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，2，试写出，的值； (2)将排列中的n与互换位置，得到排列C，求的值； (3)对的任意排列A，求的最大值． 附：． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对于排列A：1，2，5，4，3，峰对有，所以， 对于排列B：1，2，5，4，7，6，2， 峰对有， 所以． （2）由题，，排列C的峰对必涉及n，，必有，或． 若，为峰对当且仅当，，共个峰对． 若，为峰对当且仅当，，或，共个峰对． 峰对，在两类中都有涉及，故． （3）若为峰对，其中j为常数，且， 由题， ， 设集合中的元素个数为x， 则集合的元素个数为， 此时峰对的个数为个． 若为奇数，可知当且仅当时，取最大值； 若为偶数，可知当且仅当，或时，取最大值； 依次考虑，可知， 当时等号成立，故的最大值为． 考点二 二项式定理 1．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 2．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在中，令， 得所有项的系数和为，解得， 故的展开式中， 的系数为. 故选：B. 3．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 4．（2025·广东茂名·模拟预测）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【详解】由二项式定理的通项公式得：， 令，解得：，所以的系数为：， 故选：B． 5．（2025·辽宁大连·一模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 7．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 8．（2025·北京西城·一模）在的展开式中，的系数等于（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 令，则，即的系数等于24. 故选：D 9．（23-24高二下·浙江台州·期中·多选）的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】CD 【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误. 对于：由二项式，可得展开式的通项为：，. 令，可得，则项的系数为，所以选项错误. 对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确. 对于：二项式系数和为，所以选项正确. 故选：. 10．（2025·江西赣州·一模·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确； 故选：ACD. 11．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习·多选）设，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D． 【答案】ACD 【详解】因为， 取，可得，A正确， 取，可得， 所以，D正确， 二项式的展开式的通项公式为，， 取可得，， 所以，B错误； 二项式的所有二项式系数之和为,C正确； 故选：ACD. 12．（2025·辽宁·一模·多选）设，则（    ） A． B． C． D．若表示正数的整数部分，则 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，令，可得，故B错误； 对于C，令，可得， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D， 所以，故D正确； 故选：ACD 13．（2025·陕西咸阳·二模）在的展开式中，项的系数为60，则的值为 . 【答案】 【详解】展开式的通项公式， 令，可得，则项的系数为，可得. 故答案为： 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，的系数为 （结果用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可知：含的为， 所以的系数为. 故答案为：. 15．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 16．（23-24高二下·江苏苏州·期末）被6除所得的余数为 ． 【答案】 【详解】， 展开式的前项都能被整除，只有最后一项不能被整除，所以问题转化为被的余数， 而，被除的余数为，所以被除的余数为. 故答案为： 17．（23-24高二下·上海·期末）除以49的余数是 . 【答案】15 【详解】由题意得 ， 由于为49的倍数，除以49 余15， 故除以49的余数是15， 故答案为：15 18．（23-24高二下·广东揭阳·期中）= ， 今天星期四，天后星期几？ 【答案】 6 星期一 【详解】由组合数的计算公式，可得； 由 ， 今天星期四，所以天后是星期一. 故答案：；星期一. 19．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）在的展开式中， (1)求展开式中的系数； (2)求二项式系数的和； (3)求二项式系数最大的项； (4)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)216 (2)16 (3) (4) 【详解】（1）设二项式展开式的通项为： 令则则所以求展开式中的系数为216. （2）二项式系数的和为 （3）二项式系数最大为：二项式系数最大的项为： （4）展开式的系数分别为： 系数分别为16，-96，216，-216，81. 故系数绝对值最大的项为 20．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. （2），， 当为整数时为有理项，即， 即第项是有理项， 则的取值集合为. 21．（24-25高二上·江苏无锡·期末）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$排列与组合、二项式定理专项训练 排列与组合、二项式定理专项训练 考点一 排列与组合 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 3．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（   ） A．15 B．19 C．21 D．23 4．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（   ） A．432种 B．486种 C．504种 D．540种 5．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（      ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（      ） A． B． C． D． 8．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 9．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习·多选）下列说法正确的有（   ） A．某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B．用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C．现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D．把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 10．（2025·福建泉州·二模·多选）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 11．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习·多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习·多选）从7名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（    ） A．如果4人中男生女生各有2人，那么有63种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 13．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知，则 ． 14．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 （请用数字作答） 15．（2025·河南·二模）某同学收集了第一届全国学生（青年）运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为 .（用数字作答） 16．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有 种.（用数字作答） 17．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 18．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ (5)若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ 19．（24-25高二下·湖北孝感·期中）有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ (2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？ (3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ (4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？ （要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 20．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 21．（2025·山西·一模）在正整数的任意一个排列A：中，对于任意，且，若，则称为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为．例如对于排列A：1，2，3，5，4，为一个峰对，． (1)设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，2，试写出，的值； (2)将排列中的n与互换位置，得到排列C，求的值； (3)对的任意排列A，求的最大值． 附：． 考点二 二项式定理 1．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 2．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 5．（2025·辽宁大连·一模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 8．（2025·北京西城·一模）在的展开式中，的系数等于（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 9．（23-24高二下·浙江台州·期中·多选）的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 10．（2025·江西赣州·一模·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习·多选）设，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D． 12．（2025·辽宁·一模·多选）设，则（    ） A． B． C． D．若表示正数的整数部分，则 13．（2025·陕西咸阳·二模）在的展开式中，项的系数为60，则的值为 . 14．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）的展开式中，的系数为 （结果用数字作答） 15．（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 . 16．（23-24高二下·江苏苏州·期末）被6除所得的余数为 ． 17．（23-24高二下·上海·期末）除以49的余数是 . 18．（23-24高二下·广东揭阳·期中）= ， 今天星期四，天后星期几？ 19．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）在的展开式中， (1)求展开式中的系数； (2)求二项式系数的和； (3)求二项式系数最大的项； (4)求系数绝对值最大的项． 20．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合． 21．（24-25高二上·江苏无锡·期末）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$