函数与导数：含参单调性问题、恒成立求参问题、能成立求参问题专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

函数与导数：含参单调性问题、恒成立求参问题、能成立求参问题专项训练 函数与导数：含参单调性问题、恒成立求参问题、能成立求参问题专项训练 考点一 含参单调性问题 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， ∴，， ∴切线方程为，整理得，. （2）函数定义域为. ∵， ∴， 由得，或. 当，即时，，在上为增函数. 当，即时，由得，或，由得，， ∴在，上为增函数，在上为减函数. 当，即时，由得，或，由得，， ∴在，上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，在上为增函数； 当时，在，上为增函数，在上为减函数； 当时，在，上为增函数，在上为减函数. 2．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数，定义域为，， 时，，时，， 有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， (2) 【详解】（1）由题意得，， 当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 4．（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 5．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减. (2) 【详解】（1）由，得 令则 所以在R上单调递增 又 故时，时， 即时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减. 故. , , 令， 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以在R上单调递减. 又. 所以时，；时，， 故当时，，时，，时，. 故. 6．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)讨论函数在定义域内的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）已知，当时，，其定义域为. 对求导，可得：. 令，即，因为，解得或. 当时，，，则，单调递增； 当时，，，则，单调递减. 所以在处取得极大值，也是在上的最大值，. （2）函数的定义域为，对其求导得： . 令，即，因为，解得或. 当时： 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增. 当时： 在区间上，，，则，单调递增； 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增. 当时： （当且仅当时取等号），所以在上单调递增. 当时： 在区间上，，，则，单调递增； 在区间上，，，则，单调递减； 在区间上，，，则，单调递增.   综上所得： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 7．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值点，无极小值点； (2)当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (3). 【详解】（1）当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. （2），则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 8．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，判断的单调性； (2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【详解】（1）由题意得，， 令，，则， 令得，令得， 所以的增区间为，减区间为. （2）因为，，，所以， 当时，有，，即； 当时，，，即； 可得当时，函数的减区间为，增区间为， 若函数有两个零点，必有，可得， 又由，可得函数在上有一个零点， 令，有，可知函数单调递减， 有，可得当且时，， 当时，有， 又由， 可知函数在上有一个零点， 综上可得：若函数有两个零点，可得实数的取值范围为. 考点二 恒成立求参问题 1．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ， (1)当 时，讨论 的单调性; (2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减 (2) 【详解】（1）当时，（）， 则有， 考虑函数，因为， 令，， 由可得：， 由可得：， 所以在上单减，在上单增， 因为，所以， 则函数在上单增， 因为， 则有时，，时，， 所以时，， 时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，成立， 则有成立， 记，则在成立， ， 记， ①当时，， 当时，，，在单调递减， 当时，，，在单调递增， 故，不满足条件； ②当时，在成立， 故在单调递减，，满足条件； ③当时，，由②知，此时 综上，． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求实数a的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. ，， ，， 在点处的切线方程为. （2），. 令，，. 设，. 则. ，. 当时，在上恒成立， ∴在上单调递减， ， 在上恒成立， ∴函数在上单调递增. 又， 在上恒成立，符合题意. 当时，令，解得； 令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 又，∴在上恒成立， 即存在，使得在上恒成立， 在上单调递减. 又， 在上恒成立，不符合题意. 综上，. 故实数a的最大值为. 3．（2025·山东淄博·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. (1)求实数的值； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数，可得， 所以，即曲线在点处的切线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，解得，故实数的值为. （2）由（1）知， 因为，所以由，即. 设，， 则在，上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是. 4．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数（a为常数）． (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 【答案】(1)答案见解析； (2)2 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，. （2）当时，不等式， 令，依题意，，恒成立， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 5．（2025·辽宁大连·一模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）因为存在，使成立， 即，所以， 令，则， 令可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，有极大值，即最大值， ，所以. （2），令， 令， 则（舍）或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，有极大值，即最大值， ， 则，则的最小值为. 7．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数， (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意正实数恒成立，正实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2) 【详解】（1）当时，，则， 令，解得，令，解得， 则其单调递增区间为，单调递减区间为. （2）对任意正实数恒成立， 即对任意正实数恒成立， 设，，则， 令，解得，且当时，，此时单调递减； 且当时，，此时单调递增， 则，则. 8．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以，切线方程为，即. （2）当时，， ①当时，因为恒成立，所以； ②当时，由恒成立，得 令，. 再令， 所以在上单调递增， 所以，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以. 即的取值范围为： 考点三 能成立求参问题 1．（2025·河北沧州·一模）已知函数. (1)若，证明：； (2)若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，， 则，， 令，.则， 所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，即， 所以函数在上单调递减； 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以. （2）设过点的直线与曲线相切于点， ，则， 则切线方程为，又该切线经过点，所以， 即， 整理得， 即，即， 即，显然当时，不合题意； 则，令，，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以函数在时取得最大值， 且当时，，当时，，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 2．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）根据题意，， 则，且， 所以在处的切线方程为：； （2）令，得或， 则当和时，，则函数单调递增， 则当时，，则函数单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为， 为函数的极小值点，极小值为， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为和， 极大值为，极小值为； （3）根据题意关于x的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，所以， 在上单调递减，所以， 则，解得. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以当时，函数的最小值为， 因为，即， 当时，，即， 即， 令，则， 所以， 故当时，. 即 （3）关于的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解， 又，由（1）可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意. 所以的取值范围为 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）函数的定义域为， 不等式， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此，所以. （2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为， 则切线的方程为：， 又直线过点，于是， 整理得，即，令， 求导得，即在上单调增，又，因此， 切线的方程为，由与函数的图象相切，得， 即，于是，解得， 所以实数的值是. （3）①当时，，则，使，符合题意； ②当时，， ，则，又由（1）知，， 因此，不合题意； ③当时，令， 当时，，则， 当时，，则， 则， 令，求导得， 由，得时；由，得时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即当时，不合题意， 所以的最大值为. 5．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)极小值，无极大值； (2)； (3). 【详解】（1）由题设， 时，，即在上递减， 时，，即在上递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由且，则， 所以，问题化为，使成立， 令，则，且时， 时，即在上递减，对应值域为； 时，即在上递增，对应值域为； 由于，于是，即，此时， 对于且，则， 故时，即在上递增， 时，即在上递减， 所以，故. （3）由题设，令，而， 所以在上恒成立， 令在上递增，则， 令，则， 故上，即在上递减； 上，即在上递增； 所以， 综上，故只需. 6．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 7．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极小值点，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极大值点，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此， ①当时，对，，使得， 因此，符合题意，则； ②当时，，取，对，有，不符合题意； ③当时，函数，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，则， 若对，，使得，只需，即，解得， 所以的取值范围为. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 则， 故所求切线方程为，即. （2），使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：含参单调性问题、恒成立求参问题、能成立求参问题专项训练 函数与导数：含参单调性问题、恒成立求参问题、能成立求参问题专项训练 考点一 含参单调性问题 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 2．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 4．（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 5．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求在区间上的最大值． 6．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)讨论函数在定义域内的单调性. 7．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 8．（2025·陕西·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，判断的单调性； (2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 考点二 恒成立求参问题 1．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ， (1)当 时，讨论 的单调性; (2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求实数a的最大值． 3．（2025·山东淄博·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. (1)求实数的值； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数（a为常数）． (1)讨论函数的单调性； (2)不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 5．（2025·辽宁大连·一模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值. 7．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知函数， (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意正实数恒成立，正实数的取值范围. 8．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     考点三 能成立求参问题 1．（2025·河北沧州·一模）已知函数. (1)若，证明：； (2)若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 2．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 5．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数，. (1)求的极值； (2)已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； (3)已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 6．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 7．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$