精品解析：重庆市第十一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

重庆市第十一中学校高2026届（下）数学试卷 2025.04 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（ ）种 A. 120 B. 24 C. 48 D. 96 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 5. 北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 6. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 10. 已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 11. 函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 13. 已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______． 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 16. 已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列. （1）求n的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 17. 已知，，过原点作图像的切线，切点为M，已知 （1）求的解析式； （2）若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a的值． 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 19. 帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：. 注：. 已知函数在处的阶帕德近似. （1）求的表达式； （2）记，当时，证明不等式； （3）当，且时，证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校高2026届（下）数学试卷 2025.04 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（ ）种 A. 120 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法可得答案. 【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得种排法， 两名女生排序有种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 3. 函数（）的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，求即可得解. 【详解】（）， 令，解得， 故在上单调递增， 故选：B． 4. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 5. 北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得． 【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团. 首先分析甲，甲不参加“生物研启社”， 则有3种情况， 再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况； 若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况． 则除甲外的4人有（种）参加方法． 故不同的参加方法的种数为 故选：C 6. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项. 【详解】，，， 排除选项ABD. 故选：C. 7. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先求的通项公式为，再求出的通项公式，结合条件列式即可得解. 【详解】在的展开式中，通项公式为， 对于，通项公式为，，，r、k， 令，可得，故，， 故项的系数为， 故选：B. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，则； 令，则， 在上单调递减，，即，则； ，即； 令，则， 在上的单调递增，，即， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. [多选题]下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种 C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D． 【详解】A项，，正确； B项，h，e，r，o的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确； C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确； D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确． 故选：ABC. 10. 已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可. 【详解】因为为二次函数，开口向下，必存在负值， 由题意得在上恒成立， 则，解得. 故选：ABC. 11. 函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三次函数性质，对参数的正负进行分类讨论画出其大致图象可知当，则有3个零点，即A正确；显然在极值点处只能作一条直线与相切，可知B错误；若，结合的正负进行分类讨论可知只有一个零点，即C正确；利用三次函数的对称中心以及导函数零点可得，所以D正确. 【详解】根据题意可得，且； 当时，易知时，；时，； 此时在和上单调递增，在上单调递减； 且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于； 利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示： 此时由图象可知有3个零点； 同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增； 且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于； 利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示： 此时由图象可知有3个零点； 所以若，则有3个零点，即A正确； 由题意知， 所以过或有且仅有一条直线与相切，且切线为水平直线，所以B错误； 当时，由选项A易知在处取得极大值，在处取得极小值，且； 若，则，即； 此时其图象如下图所示： 由图可知，只有一个零点； 同理当时，易知在处取得极小值，在处取得极大值，且； 若，则，即； 此时其图象如下图所示： 由图可知，只有一个零点； 综上可知，若，则只有一个零点，即C正确； 由三次函数性质可知，函数关于成中心对称， 所以满足， 又是方程的两根，则满足； 所以，即，所以D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：研究三次函数性质时，需要记忆三次函数图象的几种常见模型以及对称中心坐标的表达式，结合极值、极值点等概念综合考虑可判断结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对原函数求导，将代入求即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案 【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点， 所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数， 若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为， 若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为， 若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为，所以点的个数为6. 故答案为：6 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则有，应用导数研究函数的单调性，将问题化为恒成立，再应用导数求右侧最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设， 令，则，且， 令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 则，即在R上单调递增， 所以且，故恒成立， 令，则， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 则，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2）76 【解析】 【分析】（1）求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可； （2）分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可 【小问1详解】 ，是函数的一个极值点 ， ， ， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 函数在的极大值为，又， 函数在区间上的最大值为. 16. 已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列. （1）求n的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求； （2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率. 【小问1详解】 因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、， 由题意可知：，即， 显然，整理可得， 解得或（舍去），所以． 【小问2详解】 由（1）可知展开式的通项为， 可知展开式共8项，当为有理项，共3项， 所以由插空法可得有理项不相邻的概率． 17. 已知，，过原点作图像的切线，切点为M，已知 （1）求的解析式； （2）若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义列方程求出切点横坐标，再根据求；(2)由(1)可得与曲线相切，由此可求a的值． 【小问1详解】 设切点，∵，∴，∴， ∴，又； ∴，∴ 【小问2详解】 此公切线即为（1）中的切线，∵，∴切线为，设与的图像切于点，又∵，∴，解得，∴ 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：.（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 ， ， 在处的切线为. 【小问2详解】 ， ，则，所以， 在上单调递减， 时，， 因为对任意恒成立，所以， 则，的最大值为. 【小问3详解】 设， ， 在上单调递增， ， ，使， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：. 注：. 已知函数在处的阶帕德近似. （1）求的表达式； （2）记，当时，证明不等式； （3）当，且时，证明不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据的定义，即可利用求导以及待定系数求解系数，进而可求解， （2）构造函数，求导得单调性，即可求解最值求解， （3）根据（2）的结论，可得，由放缩法得，即可裂项相加，结合对数运算求解. 【小问1详解】 由题意，. 因为，所以，所以. 因为，且，所以. 因为，且，所以. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 记，则， 因为，所以，所以在单调递减. 所以，所以. 【小问3详解】 由（2）得，当时，. 所以，当时，. 又因为，所以. 所以，当时，， ，， ， 以上各式两边相加，得 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $