1.5.1 平面上两点间的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

复习回顾 方程组 的解 直线l1和l2交点个数 直线l1和l2的位置关系 唯一解 1个 相交 无数个解 无数个 重合 无解 0个 平行 一、两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 方程组的解就是交点的坐标. 若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交， 二、交点个数与直线位置关系 LOGO 2025/4/10 1.5.1 平面上两点间的距离 第一章 直线与方程 LOGO 在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线的位置关系。 在各种几何量中，直线段的长度是最基本的数量关系. A的坐标满足 方程 点A 直线l 点A在直线l上 代数表示 几何元素 几何关系 、性质 直线l1∥l2 直线l1⟂l2 直线l1∩l2=A 代数方法 探究新知 思考：在解析几何中，怎样研究点与点，点与直线及平行直线间距离？ LOGO 探究新知 (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 P1(x1,y1) P2(x2,y2) x y o P2(x2,y2) (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 |P1P2|= ? 问题 1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 | ? LOGO 4 探究新知 已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？ x y o P1 P2 已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，求点P1和P2的距离？ x y o P1 P2 M 两点间的距离公式 LOGO 探究新知 问题 1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 | ? O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) 我们用平面向量的知识来解决. 如图, 由点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 得 由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为 ①特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为 追问 你还可以用其他方法求出两点间的距离公式的吗？ 坐标法 向量求模长 LOGO 6 探究新知 O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) Q (x2,y1) 平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为 一、两点间的距离公式 LOGO 7 课堂练习 (1) A(6, 0), B(－2, 0)； (2) C(0, －4), D(0, -1)； (3) P(6, 0), Q(0, －2)； (4) M(2, 1), N(5, －1). |AB|=8 |CD|=3 2. 已知A(a, －5)与B(0, 10)两点间的距离是17，求a的值. 1. 求下列两点间的距离： LOGO 8 例题讲解 例3 已知点A(－1, 2), B(2, ), 在x轴上求一点P, 使得|PA|=|PB|, 并求|PA|的值. 1.求两点间的距离 LOGO 9 课堂练习 巩固训练1 求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的的点的坐标. 巩固训练2 已知点P的横坐标是7, 点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. LOGO 10 例题讲解 例4 用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. y x O (a+b,c) A B D C (b,c) (0,0) (a,0) 证明: 如图所示, 以顶点A为原点, 边AB所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系. 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. 建 设 限 代 化 2.坐标法证明几何问题 在 ABCD中, A(0, 0), 设点B(a,0), 点D(b,c), 由平行四边形的性质, 得点C的坐标为(a+b,c). LOGO 11 探究新知 第一步：建立坐标系，设坐标表示有关的量； 第二步：找到限制条件，进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果化简整理，“翻译”成几何关系 用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤: 坐标系的建立是否适当，对证明非常重要，如若不然，点的坐标会比较复杂，从而加大计算量，增加出错的几率. 问题 2 在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题. 你能回忆一下证明过程吗? 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 建：建立坐标系 设：用坐标表示有关的量 限：限制条件 代：进行有关代数运算 化：化简 第一步：建立平面几何与向量的联系，向量表示几何元素例：设； 第二步：通过向量的线性运算； 第三步：把代运算结果化简整理，“翻译”成几何关系 用向量法证明简单的平面几何问题的步骤: LOGO 12 课堂练习 y x O B C A M (0,0) (a,0) (0,b) 3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. LOGO 13 例题讲解 4.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值. 解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示. LOGO 14 例题讲解 3.两点间的距离公式的应用 LOGO 15 例题讲解 例6 已知直线过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y+6＝0截得的线段长为5，求直线的方程. LOGO 16 例题讲解 【总结】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程. 这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，数形结合。如对称，线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的. LOGO 17 例题讲解 例7 在直线l：3x-y-1＝0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大； （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小. 【解题提示】设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足 （1）；设C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点P满足 （2）.事实上，对（1），若P′是l上异于P的点，则|P′A|-|P′B|＝|P′A|-|P′B′|<|AB′|＝|PA| -|PB′|＝|PA|-|PB|； 对于（2），若P′是l上异于P的点，则|P′A|+|P′C|＝|P′A|+|P′C′|>|AC′| ＝|PA| +|PC|. LOGO 18 例题讲解 例7 在直线l：3x-y-1＝0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大 LOGO 19 例题讲解 ◆利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线的交点即可.对于在直线上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 例7 在直线l：3x-y-1＝0上求一点P，使得： （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小. LOGO 20 例题讲解 例8 已知点M（3，5），在直线 ：x-2y+2＝0和y轴上各找一点P和Q， 使△MPQ周长最小. LOGO 21 课堂小结 2.用坐标法解决几何问题的基本步骤 1.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为 建：建立坐标系 设：用坐标表示有关的量 限：限制条件 代：进行有关代数运算 化：化简 [注意]合理建系；建系时让图形中尽可能多的点对称的落在坐标轴上，便于运算 LOGO 22 布置作业 （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 LOGO ②已知斜率为k的直线y=kx+b上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) ＝eq \r(1＋k2) · |x2－x1| ＝eq \r(1＋\f(1,k2)) · |y2－y1| ∵正三角形ABC的边长为a, ∴B-,0,C,0,A0,a.设P(x,y),由两点间的距离公式,得 |PA|2+|PB|2+|PC|2 =x2+y-a2+x+2+y2+x-2+y2 =3x2+3y2-ay+ =3x2+3y-a2+a2≥a2, 当且仅当x=0,y=a时,等号成立, 故所求最小值为a2,此时点P的坐标为0,a. 例5求函数y＝eq \r(x2－8x＋20)＋eq \r(x2＋1)的最小值． 【分析】常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结构联想距离． 解：原式可化为y＝eq \r(（x－4）2＋（0－2）2)＋eq \r(（x－0）2＋（0－1）2)， 考虑两点间的距离公式形式得三点A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)， 则上述问题转化为：在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小． 作点A(4，2)关于x轴的对称点A′(4，－2)， 可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度． 由两点间的距离公式，得|A′B|＝eq \r(（4－0）2＋（－2－1）2)＝5， 所以函数y＝eq \r(x2－8x＋20)＋eq \r(x2＋1)的最小值为5. 解：设直线与直线l1，l2分别交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）＝5.　① 由已知及两点间距离公式，得（x1-x2）2+（y1-y2）2＝25.　② 由①②解得 或 又点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线l上， ∴直线l的斜率为0或不存在. ∵直线l过点P（3，1）， ∴直线l的方程为y＝1或x＝3. 【解】（1）如图所示，设点B关于的对称点B′的坐标为（a，b）， kBB′·kl＝-1，即3· ＝-1，∴ a+3b-12＝0.　① 又BB′的中点坐标为 ，且在直线上，∴ 3· - -1＝0，即3a-b-6＝0.　　② 由①②得a＝3，b＝3，∴ B′（3，3）.于是直线AB′的方程为 ＝ ，即2x+y-9＝0. 解由的直线方程与AB′的直线方程组成的方程组得x＝2，y＝5， 即l与AB′的交点坐标为（2，5），∴ P（2，5）. （2）如图所示，设C关于l的对称点为C′，可求出C′的坐标为 . ∴ AC′所在直线的方程为19x+17y-93＝0. AC′和l交点坐标为 . 故P点坐标为 . 解：由点M（3，5）及直线，可求得点M关于的对称点为M1（5，1）. 同样可求得点M关于y轴的对称点为M2（-3，5）. 由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7＝0. 解方程组 得交点 ， 令x＝0，得M1M2与y轴的交点 . ∴ 当P和Q的坐标分别为 ， 时，△MPQ的周长最小. $$